А) Рассмотрим линейную регрессию.

                                                                                                                                                                                                                                                     10                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     5                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          50   100 150     X

Из диаграммы следует, что между показателями  и  действительно наблюдается зависимость. Но сделать вывод -какая именно, трудно, поэтому рассмотрим все три регрессии, а затем выберем лучшую.

А) Рассмотрим линейную регрессию.

Составим исходную расчетную таблицу. Для удобства можно добавить в нее еще два столбца: , чтобы сразу получить общую сумму квадратов.

№ п/п	Объем товаро-оборота  (тыс. руб.)	Издержки  (тыс. руб.)
1	140	12,6	19600	158,76	1764	12,2	+0,4	0,16	3,17
2	100	6,7	10000	44,89	670	7,2	-0,5	0,25	7,46
3	130	11,2	16900	125,44	1456	10,9	+0,3	0,09	2,68
4	120	9,6	14400	92,16	1152	9,6	0	0	0
5	70	3,4	4900	11,56	238	3,3	0,1	0,01	2,94
6	110	8,4	12100	70,56	924	8,4	0	0	0
7	65	2,8	4225	7,84	182	2,7	0,1	0,01	3,57
8	150	13,0	22500	169	1950	13,4	-0,4	0,16	3,08
9	90	6,1	8100	37,21	549	5,9	0,2	0,04	3,28
10	60	1,9	3600	3,61	114	2,1	-0,2	0,04	10,53
Итого	1035	75,7	116325	721,03	8999	75,7	0	0,76	36,71
Сред.зн.	103,5	7,57	11632,5	72,1	899,9	7,57	-	-	3,671

Функция издержек выразится зависимостью: .

Для определения коэффициентов «a» и «b» воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК):

(1)

Домножим уравнение (1) системы на (-103,5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

9202,5b = 1164,05 или b = 0,12649.

Коэффициент регрессии b можно находить по формуле (2), не решая систему (1) непосредственно:

(2) ,   

Результат аналогичен.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1) системы (1):

10a = 75,7-1035b; 10a = 75,71035*0,12649; 10a =- 55,2;

a = -5,52.

Или можно «a» вычислить по формуле (3) ,   

.

Уравнение регрессии будет иметь вид:  = -5,52 + 0,126 x

Затем, подставляя различные значения  из столбца 2, получим теоретические значения  для столбца 7:

,

аналогично для …и.

В столбце 8 находим разность текущего значения  и    (теоретического), найденного по формуле (4).

Для расчета используем следующие формулы:

, , ,

, , .

Коэффициент аппроксимации определим по формуле:

.

Средняя ошибка аппроксимации:

.

Допустимый предел значений  - не более 10 %, это говорит о том, что уравнение регрессии точно аппроксимирует исходную зависимость.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции . Найдем его по формуле для

.

Коэффициент . Характер связи устанавливается по таблице Чеддока:

В примере получилась связь прямая, весьма высокая.

Для вычисления коэффициента , используются и другие формулы:

.

3. Дисперсионный анализ. Общая сумма квадратов отклонений (т.е. общая дисперсия ) равна:

,

где  - общая сумма квадратов отклонений,

 - сумма отклонений, обусловленная регрессией (факторная),

 - остаточная сумма квадратов отклонений.

.

Остаточная сумма  определена в таблице в 9 столбце и равна 0,76. Тогда объясненная (факторная) сумма квадратов будет равна

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей доле дисперсии  характеризует индекс детерминации . Он определяется отношением объясненной дисперсии к общей .

Качество всего уравнения регрессии в целом, проверяется F-тестом.

Составим таблицу дисперсионного анализа:

Источники вариации	Число степеней свободы	квадр. отклонений.	Дисперсия на 1 степ.свободы.	F отн
				Факт	табл. (0,05)
общая	9	147,98		1549,68	5,32
объясненная	1	147,22	147,22
остаточная	8	0,76	0,095

F_табл определяем по [1] в зависимости от уровня значимости (α = 0,05) и числа степеней свободы (df=8). F_табл=5,32.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н_о о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи r_ху.

Если F_факт>F_табл (1549>5,32), то гипотеза Н_о о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их значимость и надежность.

Б) Степенная регрессия

Для того, чтобы построить степенную модель, необходимо линеаризовать переменные путем логарифмирования обеих частей уравнения :

Пусть , тогда

Рассчитываем  и b по формулам:

Все необходимые расчеты представлены в таблице 2.

№ п/п	x	y	X	Y	XY	X2	Y2				Ai
1	140	12,6	4,9416	2,5337	12,2053	24,4198	6,4196	11,6	1,0	1,0	7,9
2	100	6,7	4,6052	1,9021	8,7596	21,2076	3,6180	6,7	0	0	0
3	130	11,2	4,8675	2,4159	11,7594	23,6929	5,8366	10,7	0,5	0,25	3.73
4	120	9,6	4,7875	2,2617	10,8282	22,9201	5,1156	9,3	0,3	0,09	0,93
5	70	3,4	4,2485	1,2237	5,1702	18,0497	1,4976	3,7	0,3	0,09	2,64
6	110	8,4	4,7005	2,1282	10,0037	22,0945	4,5294	7,8	0,6	0,36	4,28
7	65	2,8	4,1744	1,0296	4,2980	17,4255	1,0601	3,4	- 0,6	0,36	12,8
8	150	13,0	5,0106	2,5649	12,8519	25,1065	6,5790	12,9	0,1	0,01	0,08
9	90	6,1	4,4998	1,8083	8,1369	20,2483	3,2699	5,7	0,4	0,16	2,62
10	60	1,9	4,0943	0,6418	2,6279	16,7637	0,4120	2,9	- 1,0	1,0	52,6
Итого	1035	75,7	45,9299	18,5099	86,6419	211,9286	37,9258	74,7	1,6	3,32	87,59
Средн.зн.	103,5	7,57	4,59299	1,85099	8,66419	21,19286	3,79258				8,759

Параметры будут равны:

Подставим их в уравнение и получим линейное уравнение:

Потенцируя которое, получим:

По этому уравнению заполняется вторая половина таблицы.

В) Уравнение гиперболы

Линеаризуется при замене , тогда

Все необходимые расчеты представим в таблице 6.

№ п/п	x	y							Ai
1	140	12,6	0,0071429	0,05	0,000051	10,7	1,9	3,61	15
2	100	6,7	0,01	0,067	0,0001	8,1	-1,4	1,96	20
3	130	11,2	0,007692	0,086154	0,000059	10,3	0,9	0,81	8
4	120	9,6	0,008333	0,08	0,000069	9,6	0	0	0
5	70	3,4	0,014286	0,048571	0,000204	4,2	-0,8	0,64	23
6	110	8,4	0,009091	0,076364	0,000083	8,9	-0,5	0,25	5,9
7	65	2,8	0,015385	0,043077	0,000237	3,2	-0,4	0,16	14
8	150	13,0	0,006667	0,086667	0,000044	11,3	1,7	2,89	13
9	90	6,1	0,011111	0,067778	0,000125	7,1	-1	1	16
10	60	1,9	0,016667	0,031667	0,000278	2	-0,1	0,01	5,2
Сумма	1035	75,7	0,106375	0,434124	0,001537	75,5		11,33	120,1
Ср. знач.	103,5	7,57	0,0106375	0,0434124	0,000154				12

Найдем параметры  и , используя МНК.

Для этого решим систему (1), учитывая, что .

Таким образом, получили систему уравнений:

: :

Можно воспользоваться формулами.

Итак, получим уравнение:

.

Оценим тесноту связи результативным фактором и факторным признаком с помощью индекса корреляции  (для нелинейных моделей) и коэффициента детерминации , которые рассчитываются по следующим формулам:

,               

Для степенной регрессии:

Для гиперболы получим:………………………………………

Найдем средний коэффициент эластичности по формулам, представленным в таблице 7.

Таблица 7

Вид регрессии	Формула для расчета
Линейная
Степенная
Гиперболическая

Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле:

, где .

Оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерия Фишера:

.

Для степенной регрессии имеем:

.

Для гиперболы

.

Для линейном модели уже строили таблицу дисперсионного анализа

Для сравнения полученных уравнений регрессии построим следующую таблицу:

Таблица

Вид регрессии	,	R2, r2			F
Линейная	0,997	0,994	3,67	1,3973	1549	0,76
Степенная	0,988	0,978	8,76	1,2558	355,64	3,32
Гиперболическая	0,961	0,923	12	1,0796	95,90	11,33

Из итоговой таблицы видно, что коэффициент корреляции наибольший для линейной регрессии, коэффициент детерминации max, а коэффициент аппроксимации минимален, поэтому можно сделать вывод: наиболее сильное влияние на уровень издержек в зависимости от товарооборота получается при использовании в качестве аппроксимирующей функции линейную функцию.

Для всех моделей , следовательно, все модели являются адекватными.

Из таблицы видно, что лучшим уравнением регрессии является линейная функция, так как коэффициент детерминации для этой функции является наибольшим из представленных в таблице, сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от расчетных является наименьшей и средний коэффициент аппроксимации является наименьшим.

Если получается, что коэффициент детерминации для нелинейной регрессии  больше  коэффициента детерминации для линейной регрессии, надо рассмотреть модуль . Если разность небольшая, т.е. условие модуля выполняется, то все равно выбираем линейную регрессию для дальнейших расчетов.

 Чем больше кривизна линии регрессии, тем < . Если  превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается  не оправданным. В этом случае проводится оценка существенности различия  по критерию Стьюдента.

- ошибка разности между  и

Если t<2, то различия между  и несущественны, и возможно применение линейной регрессии.

Если t>2, то различия существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна.

В нашем примере лучшей является линейная модель. Для  линейнойрегрессии выполним дальнейшие расчеты.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывают t-критерий.

Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

,       ,                       .

, т.к.

где , или из табл. дисперсионного анализа (0,095).

,        .

Для примера определим стандартную ошибку для параметра «b»:

Критерий Стьюдента для параметра «b» равен 39,5.

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

,                      39,5²=1560.

Табличное значение t_табл критерия Стьюдента определяем по [1] для и уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы df = 8, , т.к. > , то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку  для каждого показателя:

Доверительный интервал, , .

Для расчета доверительного интервала для параметра а, найдем:

, т.к. критерий Стьюдента двусторонний, а параметр а - отрицательный, то он значим. Найдем для него доверительный интервал:

Найдем доверительный интервал для параметра r:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательная, а верхняя положительная, то оцениваемый параметр принимается нулевым, т.к. не может одновременно принимать и положительное и отрицательное значения.

Прогнозное значение  определяется путем подстановки в уравнение регрессии:

Вычислим ошибку прогноза для уравнения :

.

И для уравнения :

(*) ,

,

.

Для * ,

,

,

,

,

.

Для уравнения с :

,

.

9. При оценке параметров уравнения регрессии мы использовали МНК. При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей e_i. Исследование остатков  предполагает наличие следующих пяти предпосылок МНК:

1. Случайный характер остатков.

Чтобы проверить случайный характер остатков строится график зависимости e_i от . Из первой таблицы  своего варианта берем два столбца  и  . Приведены данные не для варианта 31, а другого

№	ŷх
1	3,995	0,2049
2	10,986	-0,186
3	8,364	1,2356
4	6,617	-0,317
5	7,490	-0,091
6	5,742	0,4572
7	12,734	-1,334
8	4,869	-1,569
9	11,860	0,3401
10	9,238	1,2617

По этим данным строится график зависимости e_iот .Если на графике получена горизонтальная полоса, то это означает что остатки не зависят от полученных теоретических значений . Можно сделать вывод о случайном характере остатков (зависимость отсутствует), т.е.  хорошо аппроксимирует фактические значения. Если не получается полоса, а появляется зависимость e_iот , то МНК использовать нельзя, нужно построить новое уравнение регрессии или добавить другие переменные в уравнение регрессии.

У нас на графике получена горизонтальная полоса и  остатки представляют собой случайные величины и МНК оправдан.

2. Нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х_j

Нужно проверить математическое ожидание остатков равно 0. . Зависимость отсутствует.

№	х
1	50	0,2049
2	130	-0,186
3	100	1,2356
4	80	-0,317
5	90	-0,091
6	70	0,4572
7	150	-1,334
8	60	-1,569
9	140	0,3401
10	110	1,2617
Итого	980	0

По этим данным строится график зависимости e_i от .Если на графике расположения остатков не имеет направленности, то это означает то остатки не зависят от значений . Если же график показывает наличие зависимости e_i от , то модель не адекватна. Причины неадекватности могут быть разные. В этом случае проводят корректировку модели, в частности использовать кусочно-линейные модели.

Из графика следует, что нет зависимости между  и _j, т.е. модель адекватна. Остатки независимы от значений х.

3.Проверка на гомоскедастичность.

ИИспользуем метод ранговой корреляции Спирмэна. Проранжируем факторы Х и абсолютные величины    по возрастанию фактора.

№ п/п		Х		Расчет ранговой корреляции
				Rx	R| |	d= Rx- R| |	d2
1	50		0,2049	1	3	-2	4
2	60		-1,569	2	10	-8	64
3	70		0,457	3	6	-3	9
4	80		-0,317	4	4	0	0
5	90		-0,091	5	1	4	16
6	100		1,236	6	7	-1	1
7	110		1,262	7	8	-1	1
8	130		-0,186	8	2	6	36
9	140		0,340	9	5	4	16
10	150		-1,334	10	9	1	1
Итого							148

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена

Сравниваем это значение с табличным при 5%-м уровне значимости и числе степеней свободы df = 8   т.к. 0,2929 < 2,306, то на уровне значимости 5% принимается гипотеза об отсутствии гетероскедастичности.

4. Отсутствие автокорреляции остатков.

Это значит, что остатки _i распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. _i – текущие, _j – предыдущие. Пусть j=i-1, n=10, отбрасываем одно значение будетn-1=9

№ п/п	j	i	i* j	j2	i2
1	0,2049
2	-0,186	0,2049	-0,03811	0,0346	0,04198
3	1,236	-0,186	-0,2299	1,5277	0,0346
4	-0,317	1,236	-0,3918	0,1005	1,5277
5	-0,091	-0,317	0,0288	0,0083	0,1005
6	0,4572	-0,091	-0,0416	0,2090	0,0083
7	-1,334	0,4572	-0,6099	1,7796	0,2090
8	-1,569	-1,334	2,0930	2,4618	1,7796
9	0,340	-1,569	-0,5335	0,1156	2,4618
10	1,262	0,340	0,4291	1,5926	0,1156
		1.262
	-0,2018	-1,262	0,70609	7,8297	6,2710
ср. зн.	-0,0224	-0,1402	0,0785	0,87	0,6968

0,0785 – (-0,0224)(-0,1402) = 0,07536

 при 9 – 2 = 7 степенях свободы явно незначимо и демонстрирует отсутствие автокорреляции остатков.

5. Остатки подчиняются нормальному закону распределения.

Эта предпосылка позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью t- и F-критериев. Даже если предпосылка не выполняется, МНК дает хорошие результаты.

Вывод: все предпосылки проверены, метод наименьших квадратов использован верно для расчета коэффициентов уравнения регрессии.

Мы поможем в написании ваших работ!