Приближённые алгоритмы вычисления характеристик матриц парных сравнений.
Вычисление собственного значения и собственного вектора весов является достаточно трудоёмкой процедурой при n³3, поэтому разработаны приближённые методы для вычисления этих основных характеристик матриц парных сравнений. Способы вычисления собственного вектора матрицы парных сравнений перечислены ниже:
Первый способ
1. Суммируем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
2. Складываем все элементы найденного столбца;
3. Делим каждый из элементов этого столбца на полученную сумму.
Второй способ
1. Суммируем элементы каждого столбца и записываем полученные результаты в столбец;
2. Заменяем каждый элемент полученного столбца на обратный ему;
3. Складываем элементы столбца из обратных величин;
4. Делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
Третий способ
1. Суммируем элементы каждого столбца;
2. Делим элементы каждого столбца на их сумму;
3. Складываем элементы каждой строки полученной матрицы;
4. Записываем результаты в столбец;
5. Делим каждый из элементов последнего столбца на порядок исходной матрицы n.
Четвертый способ
1. Перемножаем элементы каждой строки и записываем полученные результаты в столбец;
2. Извлекаем корень n-ой степени из каждого элемента найденного столбца;
3. Складываем элементы этого столбца;
4. Делим каждый из этих элементов на полученную сумму.
Каждый из этих четырёх способов при применении к идеальной матрице парных сравнений приводит к одному и тому же точному результату.
|
|
|
В применении к обратносимметричной, но не согласованной матрице, ни один из предложенных способов уже не даёт собственного вектора, но при ОС меньшем 0,1, полученные значения достаточно близко подходят к значениям собственного вектора. То есть полученное значение будет приближённым, но вполне достаточным для оценки альтернатив и их ранжирования. Сложность вычислений возрастает с увеличением номера способа, но при этом возрастает и точность.
Подведём итоги: заключительная часть иерархического анализа связана с обработкой сформированных матриц парных сравнений. На основе теоретически точных алгоритмов метода анализа иерархий это производится в следующей последовательности:
· С помощью собственного значения lmax оценивается согласованность (степень непротиворечивости) матриц парных сравнений и в случае их приемлемой согласованности переходят к оценке весомости элементов иерархии (собственного вектора w) на основе этих матриц. Для случая плохой согласованности какой-то из матриц парных сравнений возвращаются на этап формирования этой матрицы и стараются устранить плохую согласованность элементов матрицы. Практически это всегда можно сделать, улучшив качество экспертной работы, в крайнем случае, можно рассмотреть несколько вариантов парных оценок.
|
|
|
· Проводится вычисление весов для элементов иерархии на основе матриц парных сравнений и итоговый расчёт весов альтернатив с учётом структуры иерархии (иногда итоговые веса называют рангами или рейтингами альтернатив).
· Общий вес альтернативы будет вычисляться следующим образом: нормированный вес по каждому критерию для заданной альтернативы умножается на нормированный вес самого критерия, а затем результаты складываются. Процесс вычисления общего веса альтернатив можно записать в матричной форме:
WА – ПР= WА – К * W К– ПР, где WА – ПР - вектор весов альтернатив относительно ПР, W К– ПР - вектор весов критериев относительно ПР, WА – К - матрица весов альтернатив по критериям. Эта формула легко обобщается на любое число уровней, в правой части появляются дополнительные множители, соответствующие ещё одному уровню.
Пример.
Рассмотрим задачу с выбором места работы, о которой мы говорили выше. Сформируем матрицу парных сравнений по первому критерию. Пусть этот критерий – размер оплаты труда. Пусть для трёх альтернатив он имеет следующие значения: А1 – 600 у.е., А2 – 2000у.е., А3 – 1200 у.е.
|
|
|
Предположим, что после беседы с ЛПР мы получили следующую матрицу парных сравнений альтернатив по первому критерию
| К1 | А1 | А2 | А3 |
| А1 | 1 | 1/9 | 1/7 |
| А2 | 9 | 1 | 5 |
| А3 | 7 | 1/5 | 1 |
Из этой матрицы видно, что самой плохой является первая вакансия, вторая абсолютно предпочтительнее первой, а третья гораздо предпочтительнее первой по мнению ЛПР. Из второй строчки видно, что вторая вакансия просто предпочтительнее третьей по мнению принимающего решения.
Сначала решим точным методом в EXCEL. Вспомним функцию подбор параметра, которая даст возможность подобрать lmax.
Перенесём на лист EXCEL составленную матрицу парных сравнений. За начальное значение l примем 3,00 (с учётом размерности матрицы) и скопируем матрицу парных сравнения в свободную область листа. Заменим диагональные элементы матрицы (1) на формулу - (1 – ссылка на ячейку, где записано значение l (3)).Это и будет матрица(А - l*Е). Используем функцию МОПРЕДдля нахождения определителя этой матрицы в отдельной ячейке листа, значение этой функции по определению собственного значения должно равняться 0, но так как матрица не является идеальной, то её собственное значение отклоняется от 3, и мы получим результат отличный от 0.Длянахождения истинного собственного значения воспользуемся возможностью EXCEL подобрать необходимое значение в формуле для получения заданного результата. Откроем вкладку Данные- Работа с данными - Анализ «что, если» - Подбор параметра. Зададим требования, чтобы в ячейке с вычисленным значением определителя получился 0, подбирать необходимо значение ячейки, в которой мы задали собственное значение матрицы равное 3. Необходимо помнить, что по диагонали матрицы, определитель которой считается, обязательно должны стоять формулы со ссылкой на ячейку, значение которой подбираем, иначе результат не будет найден. Дальше в отдельных ячейках посчитаем индекс согласованности и отношение согласованности для данной матрицы парных сравнений. Индекс согласованности для найденного значения lИС=0,10423 – вычислялся по формуле (3.20843-3)/2 и отношение согласованности ОС=0.17971 (ИС делится на 0,58, которые взяты из таблицы случайных индексов, приведённой выше, для n=3).После вычислений получим следующую картинку в EXCEL.
|
|
|
| К1 | А1 | А2 | А3 |
| А1 | -2,21 | 0,11 | 0,14 |
| А2 | 9,00 | -2,21 | 5,00 |
| А3 | 7,00 | 0,20 | -2,21 |
| lмахl | 3,20843 | ||
| Определитель матрицы | 0,00045517 | ||
| ис | 0,10421471 | ||
| ос | 0,17968054 |
Отношение согласованности больше 0,1, то есть матрица плохо согласована. Улучшить согласованность матрицы в нашем случае можно взяв в качестве элементов матрицы отношения уровней зарплат для соответствующих мест работы.
| К1 | А1 | А2 | А3 |
| А1 | 1 | 1/3 | 1/2 |
| А2 | 3 | 1 | 1,5 |
| А3 | 2 | 2/3 | 1 |
Элементы этой матрицы сложнее интерпретировать в рамках универсальной шкалы сравнений (в реальности зарплаты могут отличаться в несколько раз больше), но зато она идеально согласована. lmax=3, а нормированные веса для этой матрицы вычислим, например, первым упрощённым способом, он даст результат соответствующий точным методам, так как матрица идеально согласована. При сложении элементов строк получим следующий столбец
| К1 | Сумма |
| А1 | 1,83 |
| А2 | 5,5 |
| А3 | 3,66 |
Сложив полученные в столбце значения, получим 10,99, далее последовательно делим элементы на эту сумму и окончательно получаем вес вакансий по первому критерию.
| К1 | Вес |
| А1 | 0,167 |
| А2 | 0,500 |
| А3 | 0,333 |
Так как значения нормализованы, то их сумма, естественно, равна 1.
Можно попробовать использовать более взвешенную матрицу сравнений на основе универсальной шкалы
| К1 | А1 | А2 | А3 |
| А1 | 1 | 1/7 | 1/5 |
| А2 | 7 | 1 | 3 |
| А3 | 5 | 1/3 | 1 |
Для этой матрицы lmax=3,006489, индексы согласованности ИС=0,0324 и ОС=0.05594, то есть близка к идеальной.
Вывод: для количественных критериев иногда лучше рассматривать их идеальные матрицы, а для качественных плохо согласованных оценок проводить уточнения у ЛПР соотношений значимости.
Предположим, что после проведения сравнений по всем четырём критериям для ЛПР, мы получили следующий набор весов(у каждого ЛПР этот набор должен быть свой, так как не существует двух абсолютно одинаковых людей)
| Вакансии | Зарплата | Близостьк дому | Перспективы карьерного роста | Вероятность не потерять работу |
| А1 | 0,167 | 0,670 | 0,412 | 0,350 |
| А2 | 0,500 | 0,214 | 0,255 | 0,250 |
| А3 | 0,333 | 0, 116 | 0,333 | 0,400 |
После определения весов вакансий по отдельным критериям, необходимо определить отношения ЛПР к самим критериям, если все критерии имеют для ЛПР одинаковую важность, то для определения нужной вакансии достаточно сложить все веса этой вакансии. Но в жизни такой вариант практически не встречается. Кому-то важнее перспективы, кому-то зарплата, кому-то дорога, а кому-то стабильность. Да и соотношения между критериями могут отличаться. Предположим, что для ЛПР наиболее важным является стабильность (вероятность не потерять работу), близость к дому и зарплата имеют приблизительно одинаковое значение, а карьерный рост наименее значим. Точную таблицу, как в случае с зарплатой построить не удастся, положим, что после беседы с ЛПР была получена следующая матрица парных сравнений:
| Выбор работы | Зарплата | Близость к дому | Перспективы карьерного роста | Вероятность не потерять работу |
| Зарплата | 1 | 1 | 3 | 1/5 |
| Близость к дому | 1 | 1 | 3 | 1/5 |
| Перспективы карьерного роста | 1/3 | 1/3 | 1 | 1/7 |
| Вероятность не потерять работу | 5 | 5 | 7 | 1 |
Проверим согласованность данной матрицы. За начальнуювеличину собственного значения в этом случае необходимо принять 4, а при определении отношения согласованности делитель из таблицы случайных индексов берётся для размерности 4 и равен 0,9. В результате получим следующее
| Выбор работы | Зарплата | Близость к дому | Перспективы карьерного роста | Вероятность не потерять работу |
| Зарплата | -3,07347 | 1 | 3 | 0,2 |
| Близость к дому | 1 | -3,07347 | 3 | 0,2 |
| Перспективы карьерного роста | 0,333333 | 0,333333 | -3,073466931 | 0,142857 |
| Вероятность не потерять работу | 5 | 5 | 7 | -3,07347 |
| Собственное значение | 4,073467 | Определитель | -4,4E-06 | |
| ИС | 0,024489 | |||
| ОС | 0,02721 |
Мы видим, что матрица достаточно хорошо согласована. Определим вес критериев для ЛПР. Для этого воспользуемся четвёртым из предложенных выше алгоритмов. Найдём произведение элементов каждого столбца и извлечём из полученных значений корень четвёртой степени. Резульатпредставлен ниже
| Выбор работы | Произведение | Корень четвёртой степени |
| Зарплата | 0,6 | 0,88 |
| Близость к дому | 0,6 | 0,88 |
| Перспективы карьерного роста | 0,159 | 0,35 |
| Вероятность не потерять работу | 175 | 3,64 |
Сложим элементы последнего столбца 5,75 и разделим корень четвёртой степени для каждого критерия на найденную сумму. Это и будет требуемый вес критериев.
| Выбор работы | Вес |
| Зарплата | 0,15 |
| Близость к дому | 0,15 |
| Перспективы карьерного роста | 0,07 |
| Вероятность не потерять работу | 0,63 |
Теперь можно окончательно определить вес каждой вакансии либо, воспользовавшись выше приведённой матричной формой, умножив матрицу с весами вакансий по критериям (результат обработки критериев см. выше) и последний полученный столбец, либо по формуле:
Вес вакансии = Вес вакансии по зарплате * Вес зарплаты + Вес вакансии по близости к дому * Вес близости к дому + Вес вакансии по перспективам * Вес перспектив + Вес вакансии по вероятности не потерять работу * Вес вероятности не потерять работу.
Посчитаем для первой вакансии
А1=0,167*0,15+0,670*0,15+0,412*0,07+0,35*0,63=0,375
Окончательно получим следующие веса
| Альтернативы | Общий вес |
| А1 | 0,374787 |
| А2 | 0,283051 |
| А3 | 0,342162 |
Ответ: Окончательно делаем вывод, что ЛПР должен выбрать первую вакансию с учётом своих предпочтений.
Выполнить следующие упражнения, пройдя все этапы метода анализа иерархий и выбрав наилучший вариант, как в выше изложенном примере.
Задание 1.
Определить город (или район в Вашем городе), наилучшим образом приспособленный к проживанию (у каждого человека могут быть свои предпочтения). Для решения задачи создать полную трёхуровневую иерархию, содержащую не менее трёх критериев, по которым идёт оценка (например, качество инфраструктуры, экология и т.д.), и не менее трёхвариантов для выбора.
Задание 2.
Определить вид физической нагрузки, наилучшим образом подходящий Вам для поддержания здоровья. Для решения задачи создать полную трёхуровневую иерархию, содержащую не менее трёх критериев, по которым идёт оценка (например, физическая нагрузка, насколько интересен лично Вам данный вид занятий и др.), и не менее трёх вариантов для выбора.
Задание 3.
Определить отношение согласованности для следующей матрицы парного сравнения
| А | В | С | |
| А | 1 | n | m |
| В | 1/n | 1 | 3 |
| С | 1/m | 1/3 | 1 |
Где n– первая цифра в номере студенческого билета, а m- вторая.
Если ОС окажется больше 0,1 предложите вариант изменения соотношений (не больше двух), который бы давал удовлетворительное отношение согласованности. Опишите полученные соотношения словами. Например, объект А значительно лучше В, но чуть хуже С.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1176; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!