Черных И.В. Simulink- среда для создания инженерных приложений.-М. «Диалог- МИФИ», 2004.

Лабораторная работа №2

Исследование законов распределения случайных процессов

Цель работы: Из блоков системы Simulink cоздать модель устройства для измерения функции распределения и плотности вероятностей случайных процессов и показать ее в работе.

1. Сведения из теории

Пусть x(t)- стационарный случайный процесс. Вероятностное описание этого процесса обычно производится по следующей схеме. Фиксируется некоторый момент времени t; значение процесса в этот момент времени представляет собой случайную величину X. Эта случайная величина может быть исчерпывающим образом описана путем задания функции распределения. Функция распределения, по определению, есть вероятность того, что случайная величина X примет значения, меньшие некоторого фиксированного значения x, т.е. . Таким образом, функция распределения есть зависимость вероятности неравенства от текущего значения аргумента x. Для непрерывных случайных процессов более удобной характеристикой является плотность вероятностей , которая является производной от функции распределения . Во многих практических задачах для изучения стационарных случайных процессов достаточно знать лишь одномерные функцию распределения и плотность вероятностей.

Экспериментальное определение законов распределения наиболее просто для случайных процессов, обладающих эргодическим свойством. Эргодическое свойство случайного процесса позволяет определить закон распределения не по множеству реализаций, зафиксированных в некоторый момент времени, а по одной реализации x(t) на большом интервале времени При времени наблюдения T, во много раз превышающем интервал корреляции, случайные отклонения статистических характеристик случайного процесса от теоретических становятся несущественными.

Наиболее распространенным методом экспериментального определения одномерного закона распределения случайного процесса является метод измерения относительного времени пребывания процесса выше определенного уровня (при измерении функции распределения) или между известными уровнями (при измерении плотности вероятностей). При этом для стационарного случайного процесса, обладающего эргодическим свойством, относительное время пребывания реализации случайного процесса x(t) выше определенного уровня x является оценкой для вероятности того, что случайный процесс в фиксированный момент времени t превысит этот уровень. Экспериментально найденная оценка для вероятности позволяет оценить эмпирическую функцию распределения с помощью соотношения

Процесс измерения по относительному времени пребывания иллюстрируется на рисунке 1. На эпюре 1 изображена реализация случайного процесса и два уровня ограничения x и +dx. На эпюре 2 показана часть реализации (усиленная и ограниченная), превысившая уровень . Чтобы не затемнять рисунок, часть реализации (усиленная и ограниченная), превысившая уровень x+dx, не показана. На эпюре 3 изображены прямоугольные импульсы, которые получаются путем вычитания части реализации, превысившей уровень x+dx, из части реализации, превысившей уровень x. Длительность импульсов, изображенных на эпюрах, соответствует времени пребывания реализации случайного процесса выше установленного уровня или между двумя уровнями. На эпюрах 4 и 5 показаны импульсы, длительность которых соответствует времени пребывания реализации выше уровня и между уровнями и x+dx соответственно, заполненные счетными импульсами.

Рис. 1. Эпюры напряжений, показывающие принцип измерения функции распределения и плотности вероятностей случайного процесса.

Интервалы времени t_i, втечение которых реализация находится выше установленного порога, будучи просуммированными, дают оценку для вероятности выше написанного неравенства, т.е.

(2)

В соответствии с (1) выражение для функции распределения принимает вид

. (3)

Изменяя пороговый уровень x так, чтобы перекрыть диапазон возможных значений исследуемого процесса и, всякий раз определяя долю времени, когда процесс превышает установленный уровень, мы по формуле (3) определим экспериментальную функцию распределения .

Аналогичный принцип может быть положен в основу построения устройства для экспериментального определения плотности вероятностей стационарного случайного процесса. Действительно, измеряя относительное время пребывания случайного процесса между двумя уровнями, мы получим оценку для вероятности того, что значение процесса x(t) в фиксированный момент времени лежит в интервале от x до x+dx. Экспериментально найденная оценка вероятности позволяет оценить плотность вероятностей с помощью соотношения

(4)

Процесс измерения по относительному времени пребывания иллюстрируется на рисунке 1. Определяя отношение времени, втечение которого реализация случайного процесса находится между уровнями x и x+dx, к общему времени наблюдения T, мы получим оценку для вероятности, стоящей в числителе выражения (4). Деление полученной вероятности на величину зазора между уровнями dx дает выражение для эмпирической плотности вероятностей

(5)

Для того чтобы получить значения эмпирической плотности вероятностей для всех значений аргумента, необходимо, оставляя постоянной величину зазора dx, изменять уровень анализа x, чтобы перекрыть весь диапазон возможных значений случайного процесса x(t).

2. Построение модели устройства для измерения функции распределения

случайного процесса

Выше описанный алгоритм получения функции распределения и плотности вероятностей можно реализовать с использованием блоков системы Simulink.

Рассмотрим вначале модель устройства для измерения функции распределения. Первой операцией, которую надо выполнить над наблюдаемой реализацией случайного процесса, является определение той ее части, которая превышает установленный уровень x. Это можно сделать с помощью блока Saturation (ограничитель) из библиотеки Discontinuities (нелинейные блоки). Итак, после открытия окна модели, необходимо перетащить в него блок Saturation и в окне задания параметров установить Upper limit (верхний порог ограничения, который не может превысить с большой вероятностью любая реализация случайного процесса). Для этого с помощью блока variance (Signal Processing Blocset/Statistics/ variance) измерить дисперсию на выходе генератора случайного процесса, определить среднее квадратическое значение и установить верхний предел из условия, что он должен быть больше 3 . Lower limit (нижний предел) должен быть равен установленному уровню x (аргументу, для которого находится функция распределения). Сигнал на выходе ограничителя будет содержать постоянную составляющую, равную нижнему пределу ограничения. Для устранения этой составляющей необходимо использовать два блока: сумматор (Sum) из библиотеки Math Operations (блоки математических операций) и источник постоянного сигнала (Constant) из библиотеки Sources (источники сигналов). В блоке Constant установить постоянный по уровню сигнал, равный нижнему пределу ограничения. На выходе сумматора будет сигнал, минимальное значение которого равно нулю.

Для того чтобы сформировать прямоугольные импульсы, длительность которых равна времени пребывания процесса выше уровня x, необходимо сигнал с выхода ограничителя усилить и ограничить с помощью блоков Gain (усилитель) из библиотеки Math Operations и блока Saturation из библиотеки Discontinuities. Коэффициент усиления в блоке Gain установить, возможно, большим, а в блоке Saturation установить нижний предел, равным нулю, а верхний предел, равный единице. Таким образом, сигнал на выходе второго ограничителя будет представлять последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой, равной единице, и длительностью, равной интервалу времени, втечении которого наблюдаемая реализация случайного процесса находится выше установленного уровня.

Чтобы измерить суммарное время пребывания реализации выше установленного уровня, поступим следующим образом: заполним сформированные прямоугольные импульсы счетными импульсами с известным периодом следования и сосчитаем их за время наблюдения Это достигается путем использования блока Product (умножение) из библиотеки Math Operations, на один из входов которого подаются импульсы с выхода второго ограничителя, а на второй вход- счетные импульсы. Счетные импульсы генерируются в блоке Sources/Pulse Generator; в окне задания параметров которого указать амплитуду равную единице, период (возможно меньшее значение) и длительность импульсов, составляющую 50 % от периода. Чем меньше установлен период счетных импульсов, тем точнее будет измерена длительность импульсов с выхода второго ограничителя. На выход блока Product будут проходить те счетные импульсы, которые по времени совпадают с импульсами на втором входе блока. Счетчик импульсов можно организовать на базе сумматора, в цепи обратной связи которого установлен блок Transport Delay (Блок фиксированной задержки) из библиотеки Continuous и Display (цифровой дисплей) из библиотеки Sinks. В блоке Transport Delay установить время задержки (Time delay), равное периоду следования счетных импульсов.

Выше перечисленные операции над наблюдаемой реализацией будут выполняться в модели, структурная схема которой показана на рисунке 2.

Рис.2 Структурная схема модели устройства для измерения функции распределения случайного процесса.

Модель устройства сохранить в файле.

Число импульсов n, которое показывает Display, пропорционально суммарной длительности импульсов на выходе второго ограничителя (Суммарной длительности пребывания случайного процесса выше установленного уровня x). Число счетных импульсов N за время наблюдения T равно частному от деления T на период следования счетных импульсов. Согласно формуле (3) эмпирическая функция распределения будет равна

. (6)

3. Измерение функции распределения случайного процесса

Для измерения функции распределения случайного процесса x(t) необходимо открыть окно, в котором расположен генератор случайного процесса и устройство для измерения функции распределения и, в панели управления меню Simulation/Parameters на вкладке Solver установить интервал моделирования (время наблюдения реализации случайного процесса). Затем ввести значение аргумента x, для которого измеряется функция распределения. Для этого в блоке Saturation 1 установить Lower limit (нижний уровень ограничения) равный значению x. Это же значение установить в блоке Constant. Параметры в остальных блоках установить так, как описано в предыдущем параграфе.

Далее осуществить запуск моделирования с помощью пункта меню Simulation/Start или кнопки на панели инструментов. Записав показание Display и поделив его на число счетных импульсов за время наблюдения, получим по формуле (6) значение функции распределения при аргументе, равном x. Затем изменим значение аргумента x (значение параметров в блоках Saturation 1 и Constant); получим значение функции распределения при другом значении аргумента. Перебрав все возможные значения аргумента, по точкам построим функцию распределения исследуемого случайного процесса.

4. Модель устройства для измерения плотности вероятностей случайного процесса

Согласно формуле (4) плотность вероятностей определяется как отношение вероятности того, что случайный процесс будет находиться между двумя уровнями x и x+dx, к величине зазора между уровнями. Эту формулу положим в основу построения модели устройства для измерения плотности вероятностей. Вероятность, стоящую в числителе формулы (4), можно выразить через функцию распределения

и плотность вероятностей записать в виде

. (7)

Из последней формулы следует, что плотность вероятностей можно измерить с помощью двух каналов, в каждом из которых измеряются функции распределения при аргументах x и x+dx соответственно.

Структурная схема модели устройства для измерения плотности вероятностей показана на Рис.3. В верхнем канале нижний уровень ограничения в блоке Saturation и значение константы в блоке Constant устанавливаются равными верхнему уровню анализа x+dx, в нижнем канале эти параметры в блоках Saturation 1 и Constant 1 устанавливаются равными нижнему уровню анализа x. На выходе блока Saturation 2 будут формироваться прямоугольные импульсы, длительность которых равна времени пребывания реализации случайного процесса выше уровня x+dx, на выходе блока Saturation 3 будут формироваться импульсы, длительность которых равна времени пребывания реализации выше уровня x. На выходе сумматора будут формироваться импульсы, длительность которых равна времени пребывания реализации между уровнями x и x+dx.

Рис.3 Структурная схема модели устройства для измерения плотности вероятности случайного процесса

Важным моментом является выбор зазора dx между уровнями анализа. Если зазор небольшой, то в него попадет малое число счетных импульсов, и период счетных импульсов будет представлять существенную часть длительности импульсов на выходе сумматора. Следствием этого будет малая точность определения длительности импульсов (времени пребывания реализации случайного процесса между двумя уровнями анализа). Если зазор большой, то выражение (4) выполняется лишь приближенно. Для точного определения плотности вероятности необходимо dx устремить к нулю. Таким образом существует оптимальное значение зазора dx, при котором погрешность измерения времени пребывания реализации между двумя уровнями будет наименьшей.

5. Измерение плотности вероятностей случайного процесса

Для измерения плотности вероятностей случайного процесса надо открыть окно, в котором находится генератор случайного процесса и модель устройства для измерения плотности вероятностей. В панели управления меню Simulation/Parameters установить интервал моделирования (время наблюдения реализации случайного процесса). С помощью блока Signal Processing Blockset/Statistics/varianceизмерить дисперсию процесса на выходе формирующего фильтра, определить его среднее квадратическое значение s и интервал возможных значений случайного процесса Далее грубо выбрать зазор dx между уровнями анализа из условия . Затем в первом ограничителе одного из каналов установить нижний уровень ограничения, равный установленному уровню анализа x, а в первом ограничителе второго канала установить нижний уровень ограничения, равный уровню анализа x+dx. Значение констант в блоках Constant выбрать равными уровню анализа соответствующего канала. В сумматоре со знаком плюс берется выход канала с более низким уровнем анализа. Параметры других блоков устанавливаются так же, как при измерении функции распределения.

Далее осуществляется запуск моделирования. Число импульсов n, которое показывает Display, пропорционально суммарному времени пребывания исследуемого процесса между уровнями x и x+dx. В соответствии с формулой (5) эмпирическая плотность вероятностей будет равна

где N- число счетных импульсов за время наблюдения T.

6. Задание на лабораторную работу

Открыть окно модели и поместить в него генератор случайного процесса и модель устройств для измерения функции распределения. Формирующий фильтр можно взять из предыдущей лабораторной работы.
Определить диапазон возможных значений случайного процесса на выходе формирующего фильтра и разделить его на 15-20 частей. Таким образом, Вы определите 15-20 значений аргумента (уровней анализа), для которых будет определяться экспериментально функция распределения случайного процесса.
Установите значения параметров отдельных блоков так, как указано в п.3. Измерение функции распределения начинать для минимального значения аргумента (уровня анализа), который устанавливается в качестве параметра в блоках Saturation и Constant. Затем определяется функция распределения для других значений аргумента и по точкам строится график функции распределения.
Затем открыть окно, в котором размещены блоки генератора шума и модель устройства для измерения плотности вероятностей случайного процесса.
Выбрать величину зазора dx между уровнями анализа и в порядке, указанном в п.5 произвести измерение плотности вероятностей случайного процесса для тех же значений аргумента, для которых измерялась функция распределения, и по полученным данным построить график плотности вероятностей.
Изменить величину зазора в сторону больших и меньших значений и повторить измерения. Представить графики плотности вероятностей для новых значений зазора.

7. Содержание отчета

Привести формулы для функции распределения и плотности вероятностей случайного процесса, которые используются при построении модели устройств для измерения этих характеристик.

2. Описать порядок создания модели устройства для измерения функции распределения и плотности вероятностей случайного процесса (какие блоки используются, какие параметры модели задаются)

Привести структурные схемы моделей упомянутых выше устройств.
С помощью осциллографа посмотреть сигналы на выходе всех блоков моделей устройств для измерения функции распределения и плотности вероятностей случайных процессов.
Представить в виде таблиц и графиков результаты измерения функции распределения и плотности вероятностей шума, причем графики плотности вероятностей шума привести для трех значений зазора между уровнями анализа.
Дать объяснение полученным зависимостям и сделать выводы по работе.

Литература

Черных И.В. Simulink- среда для создания инженерных приложений.-М. «Диалог- МИФИ», 2004.
Чумаков А.С. Основы статистической радиотехники.-ТУСУР, 2003.

Лабораторная работа №3

Исследование узкополосных гауссовских случайных процессов

Цель работы: создать модель генератора узкополосного гауссовского шума и исследовать свойства его квадратурных составляющих, огибающей и фазы.

1. Сведения из теории

Узкополосным называется случайный процесс, основная мощность которого сосредоточена в узкой полосе частот по сравнению со средней частотой процесса. Если случайный процесс является низкочастотным, то его спектральная плотность записывается в виде

. (1)

Если случайный процесс является узкополосным и его спектральная плотность центрируется на частоте , то выражение для принимает вид

(2)

В этом выражении a- параметр, характеризующий ширину спектра на уровне половинной мощности, а w₀- средняя частота процесса. Первое слагаемое в последней формуле характеризует распределение мощности процесса на положительных частотах, а второе слагаемое- распределение мощности на отрицательных частотах. После приведения слагаемых к общему знаменателю в формуле (2) получим

Спектральная плотность, записанная как функция комплексной частоты , будет

(3)

Чтобы создать случайный процесс с такой спектральной плотностью необходимо последовательно соединить генератор белого шума и формирующий фильтр. Передаточную функцию формирующего фильтра найдем путем факторизации спектральной плотности S(s). Для этого надо найти нули и полюса функции S(s) и к одному множителю отнести нули и полюса с положительной вещественной частью, а к другому - нули и полюса с отрицательной вещественной частью. Тогда множитель, у которого нули и полюса лежат в левой полуплоскости плоскости комплексных частот s, и будет представлять передаточную функцию формирующего фильтра.

В нашем случае нули равны: и , а полюса равны: , , , . Множитель с нулями и полюсами в левой полуплоскости комплексных частот запишем в виде

= K(s). (4)

K(s) – искомая передаточная функция формирующего фильтра. При получении этой формулы мы положили в выражении (3) .

Зададим параметры спектральной плотности процесса, который мы собираемся моделировать: , т.е. ширина спектра равна 100 Гц и средняя частота равна 1000 Гц. Для выбранных параметров передаточная функция формирующего фильтра будет равна

. (5)

Для генерирования низкочастотного случайного процесса, спектральная плотность которого описывается выражением (1), необходимо поставить формирующий фильтр с передаточной функцией вида

(6)

На рисунке 1 показана реализация низкочастотного шума, а на рисунке 2- реализация узкополосного шума. Из рассмотрения рис. 2 следует, что реализация узкополосного шума представляет синусоиду со средней частотой w₀ процесса, у которой амплитуда и фаза изменяются во времени. Это наблюдение позволяет записать узкополосный процесс в виде

(4)

где и - огибающая и фаза, которые являются медленными функциями времени.

Рис. 1 Реализация низкочастотного случайного процесса, ширина спектра которого 100 Гц

Рис. 2 Реализация узкополосного случайного процесса, ширина спектра которого равна 100 Гц и средняя частота 1000 Гц.

2. Построение генератора узкополосного случайного процесса

Чтобы построить генератор узкополосного шума необходимо последовательно соединить генератор белого шума с ограниченным спектром по полосе (Band-Limited White Noise) и формирующий фильтр. Граничную частоту генератора белого шума выбрать так, чтобы его спектр перекрывал частотную характеристику формирующего фильтра (например ). Чтобы установить в Band-Limited White Noise полученное значение граничной частоты, необходимо такт дискретности (Sample time) выбрать из условия

Передаточную функцию формирующего фильтра найдена в предыдущем пункте и для выбранных параметров спектральной плотности равна

. (6)

3. Получение квадратурных составляющих и огибающей узкополосного процесса.

Узкополосный процесс можно представить в виде

, (7)

где

(8)

-квадратурные составляющие процесса .

При исследовании узкополосных процессов обычно интересуются огибающей и фазой, поскольку именно эти параметры несут информацию о передаваемом сообщении. Огибающая и фаза узкополосного процесса выражаются через косинусную и синусную квадратурные составляющие с помощью формул

, . (9)

Чтобы получить алгоритм выделения квадратурных составляющих узкополосного прoцесса помножим выражение (4) на . Тогда получим

(10)

(11)

Первые слагаемые в (10) и (11) являются низкочастотными и представляют квадратурные составляющие процесса , вторые слагаемые являются высокочастотными и их мощность центрируется на частоте . Если теперь результат перемножения пропустить через низкочастотный фильтр, то вторые слагаемые в (10) и (11) будут подавлены и мы выделим квадратурные составляющие процесса . Чтобы получить огибающую , необходимо согласно (9) возвести квадратурные составляющие в квадрат, сложить их и извлечь корень квадратный. Все описанные операции выполняются в модели, изображенной в верхней части Рис.3. В нижней части Рис.3 изображена модель устройства для измерения плотности вероятности огибающей узкополосного случайного процесса.

Рис.3 Структурная схема модели для исследования узкополосного случайного процесса

Перед запуском модели следует установить параметры отдельных блоков. В блоке Band-Limited White Noise значение параметра Sample Time выбрать таким, чтобы граничная частота спектра шума перекрывала частотную характеристику формирующего фильтра. В блоке Sine Wave выбрать следующие значения параметров: амплитуда-1, частота- 1000 Гц, фаза- в одном канале 0, в другом- Полосу пропускания фильтров Transfer выбрать так, чтобы они пропускали медленные изменения квадратурных составляющих и подавляли составляющие сигнала на частоте Попытайтесь увеличить подавление сигнала на частоте путем выбора фильтра с более крутыми скатами АЧХ по сравнению с фильтром, показанном на Рис.3.

При установке параметров модели устройства для измерения плотности вероятности огибающей использовать рекомендации, сделанные в описании к лабораторной работе №2.

4.Исследование свойств квадратурных составляющих и огибающей смеси узкополосного шума и синусоидального сигнала.

При исследовании квадратурных составляющих и огибающей смеси узкополосного случайного процесса и синусоидального сигнала можно использовать модель, изображенную на Рис.3, добавив два блока. Этими блоками являются генератор синусоидального сигнала и сумматор. На один вход сумматора подается сигнал с выхода формирующего фильтра, на второй вход- сигнал от вновь введенного генератора синусоидального сигнала. Выходной сигнал сумматора подается на перемножители в каналах выделения квадратурных составляющих. Частота генератора синусоидального сигнала устанавливается равной средней частоте узкополосного процесса, фаза произвольная, а амплитуда такой, чтобы обеспечить требуемое отношение сигнал/шум по мощности

(12)

Здесь А- амплитуда синусоидального сигнала, - мощность узкополосного случайного процесса. Измерив дисперсию шума на выходе формирующего фильтра и задавшись отношением сигнал/шум, из (12) находим какую амплитуду надо установить в генераторе синусоидального сигнала.

5. Задание на лабораторную работу.

1. Построить модель генератора узкополосного шума и модель устройства выделения квадратурных составляющих и огибающей этого шума.

2. Установить значения параметров отдельных блоков модели в соответствии с рекомендациями, изложенными в предыдущих пунктах.

3. Запустить модель и снять осциллограммы процессов на выходе формирующего фильтра, квадратурных составляющих и огибающей узкополосного случайного процесса.

4. Измерить среднее значение и дисперсию процессов на выходе формирующего фильтра, и огибающей узкополосного шума.

5. Измерить плотность вероятности огибающей процесса, используя рекомендации из описания к лабораторной работе №2.

6. Включить дополнительный генератор синусоидального сигнала и установить отношение сигнал/шум, равное 2 и10.

7. Для этих значений отношений сигнал/шум измерить среднее значение и дисперсию процессов в точках, указанных в пункте 4.

8. Измерить плотность вероятности огибающей смеси синусоидального сигнала и узкополосного шума для выбранных значений отношения сигнал/шум.

6. Содержание отчета.

Описать каким образом из узкополосного случайного процесса формируются его квадратурные составляющие и огибающая.
Определить вариант Вашего задания и по нему параметры моделирования спектральной плотности: ширину спектра и среднюю частоту узкополосного случайного процесса
Указать параметры, установленные в отдельных блоках модели для исследования свойств узкополосного случайного процесса.
Привести осциллограммы процесса на выходе формирующего фильтра и огибающей узкополосного случайного процесса, а также измеренные среднее значение и дисперсию этих процессов.

5. Привести график экспериментально определенной плотности вероятности оги бающей узкополосного процесса.

Показать графики экспериментально определенных плотностей вероятности огибающей смеси синусоидального сигнала и узкополосного шума для отношений сигнал/шум, указанных в п.5 предыдущего раздела.
Указать среднее значение и дисперсию огибающей смеси синусоидального сигнала и узкополосного шума для двух значений отношения сигнал/шум.
Сравнить теоретическую и экспериментально определенную плотность вероятности огибающей узкополосного шума и смеси синусоидального сигнала и узкополосного шума.
Дать объяснение полученным зависимостям и сделать выводы по работе.

Литература

Черных И.В. Simulink- среда для создания инженерных приложений.-М. «Диалог- МИФИ», 2004.
Чумаков А.С. Основы статистической радиотехники.-ТУСУР, 2003.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 318; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!