Аппроксимация степенным полиномом
Глава 5а
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ
Ранее было показано, что нелинейные резисторы существенно отличаются от линейных следующими общими свойствами:
1) при переходе от одного участка вольтамперной характеристики к другому сопротивления не остаются постоянными;
2) сопротивления и динамические сопротивления в общем не равны друг другу (они могут совпадать по значению только в отдельных точках или на отдельных участках характеристики);
3) нелинейный элемент может иметь несимметричную характеристику; в этом случае сопротивление этого элемента зависит от знака приложенного напряжения, иначе говоря, он обладает свойством выпрямления.
Указанные свойства характерны для нелинейных элементов как при постоянном, так и при переменном токе. Кроме того, в цепях переменного тока обнаруживается ряд специфических особенностей элементов, связанных с частотой воздействующих колебаний.
В достаточно широком диапазоне частот многие нелинейные элементы (электронные и полупроводниковые диоды и др.) являются безынерционными: их нелинейная характеристика выражает зависимость между мгновенными значениями тока и напряжения. Если к такому нелинейному элементу подвести синусоидальное напряжение, то вследствие нелинейности характеристики ток будет несинусоидальным (рисунок 5.1, а) .Для удобства построения кривой тока оси времени функций u(t) и i(t) расположены соответственно по вертикальной и горизонтальной осям нелинейной характеристики.
|
|
|
В свою очередь, если через нелинейный элемент будет проходить синусоидальный ток, то напряжение на нем будет несинусоидальным (рисунок 5.1, б). Следовательно, нелинейный элемент обладает способностью преобразовывать спектр воздействующих на него колебаний-, в токе появляются гармонические составляющие, которые в приложенном напряжении отсутствуют, а в другом случае в напряжении появляются гармонические составляющие, отсутствующие в токе.
Эта важная особенность нелинейных элементов наряду с другими их свойствами лежит в основе многих применений их в современной автоматике и радиотехнике.
Нелинейность характеристик некоторых нелинейных сопротивлений обусловлена изменением температуры в результате нагрева их током. Так как тепловые процессы (нагревание и охлаждение) являются инерционными процессами, то даже при сравнительно низкой частоте (например, 50 Гц) температура таких элементов и соответственно сопротивление их в течение периода практически не изменяются. Поэтому зависимость i(u) между мгновенными значениями тока и напряжения сохраняется линейной; зависимость же I(U) между действующими значениями тока и напряжения будет нелинейной. Такие нелинейные элементы называются инерционными. К их числу относятся электрические лампы накаливания, бареттеры, терморезисторы и др.
|
|
|
Рисунок 5.1 Преобразование спектра частот с помощью нелинейного элемента.
АППРОКСИМАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Расчет электрических цепей переменного тока с безынерционными нелинейными элементами в общем случае представляет сложную задачу.
Нелинейные характеристики элементов обычно в виде кривых, снятых экспериментально. Замена заданной нелинейной характеристики аналитической функцией, приближенно выражающей заданную зависимость, называется аппроксимацией нелинейной характеристики.
Точная аппроксимация характеристик обычно приводит к сложным математическим выражениям, что сильно затрудняет анализ. Кроме того, и сами нелинейные характеристики не являются абсолютно точными и стабильными: они зависят от различных внешних факторов (температуры и т. д.); характеристики разных образцов одного и того же типа элементов не идентичны. Поэтому на практике не стремятся к особо точной аппроксимации характеристик.
|
|
|
Аппроксимация нелинейной характеристики достаточно простой аналитической функцией позволяет исследовать процесс в нелинейном элементе аналитически. На практике пользуются различными способами аппроксимации нелинейной характеристики: степенным полиномом, ломаной прямой (кусочно-линейная аппроксимация) и т д.
Аппроксимация степенным полиномом
Если функция i(u) непрерывна и при u = u0 имеет производные i'(u0), i//(u0) ит д., то она может быть представлена рядом Тейлоса:
i(u)=i( 
а при u0 = 0 – рядом Маклорена:
i(u)= 
Такой степенной ряд при большом числе слагаемых достаточно точно аппроксимирует действительную характеристику Для упрощения часто ограничиваются степенью полинома не выше третьей.
Если к нелинейному элементу, характеристика которого аппроксимирована полиномом третьей степени, подвести синусоидальное напряжение u = Um sin ωt, то выражение для тока будет иметь вид:
i= 
Используя известные тождества
получаем:
i= 
Следовательно, ток содержит постоянную составляющую и гармоники частот, кратных частоте приложенного синусоидального напряжения, причем наивысший коэффициент кратности равен степени аппроксимирующего полинома.
|
|
|
Постоянная составляющая тока
амплитуда первой гармоники
амплитуда второй гармоники
амплитуда третей гармоники
Приведенные выражения показывают, что постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник тока зависят только от коэффициентов при четных степенях полинома, а амплитуды нечетных гармоник - от коэффициентов при нечетных степенях.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 721; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!