COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL METHODS OF CALCULATING DERIVATIVE

Сравнительный анализ ЧИСЛЕННЫХ методов вычисления производной

МОЖАЙСКИЙ ВАЛЕРИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ

студент гр. МА-14-1

СЁМИНА ВАЛЕРИЯ ВЛАДИМИРОВНА

старший преподаватель

ФГБОУ ВО «Липецкий государственный технический университет»

Аннотация: существуют сложные функции, вычисление производных которых стандартными аналитическими методами достаточно сложно. рассмотрена два нестандартных метода вычисления производной в заданной точке функции и проведен их сравнительный анализ.

Ключевые слова:численное дифференцирование, аппроксимации функций, метод наименьших квадратов.

Рассмотрим аппроксимацию заданной функции методом наименьших квадратов с последующим нахождением производной.

Для того, чтобы найти коэффициенты в многочлене

Решим систему уравнений:

Данную систему можно решить методом Гаусса. Получим коэффициенты многочлена P(x) и продифференцируем его.

Для демонстрации данного метода я написал программу, получающую на вход n точек с координатами x и y, принадлежащих функции и выводящую полученный многочлен, его производную, её значения в заданных точках x, а также для сравнения результатов значения многочлена в данных точках и значения производной, посчитанные стандартным методом. В качестве примера выбрана достаточно простая функция .

Как видно из результатов даже при достаточно точной аппроксимации (разность между значениями многочлена и значениями функции меньше одной сотой) значения производной многочлена, сильно отличаются от контрольных значений, данный метод является весьма неточным.

Второй метод связан с формулами, полученными из определения производной:

Для вычисления производной можно воспользоваться формулами

Более точным будет среднее значение этих формул:

Точность результата вычисления производной по данным формулам зависит от величины Δx, которая должна быть достаточно мала. Для нахождения необходимого значения Δx можно сравнивать значения и . Когда разность этих значений меньше или равна допустимой погрешности ε, Δx выбрано верно.

Для демонстрации этого метода написана программа, содержащая исходную функцию , получающая на вход n значений x и выводящую значения производной в этой точке по показанной выше формуле и контрольные значения.

Перед этим программа вычисляет оптимальное значение Δx такое, чтобы погрешность была минимальной, так как при слишком малых значениях Δx округления, обусловленные возможностями языка и среды программирования снижают точность вычислений. Программа выводит оптимальное найденное значение, а также среднюю погрешность вычислений.

Очевидно, данный метод обладает очень высокой точностью при весьма низких затратах ресурсов. Также он по сравнению с первым методом реализуется намного проще как вручную, так и с помощью ЭВМ. Первый метод требует громоздкие вычисления для заполнения матрицы и нахождения коэффициентов методом Гаусса или недостаточно универсальными для данной задачи методами Крамера или обратной матрицы. Программа для первого метода также намного сложнее и ресурсозатратнее: многочисленные многомерные циклы для метода Гаусса или рекурсивный алгоритм, сложность которого равна m!, для нахождения определителя матрицы высокого порядка, необходимого в вычислениях методами Крамера или обратной матрицы.

Таким образом, метод численного дифференцирования обладает высокой точностью и универсальностью и достаточно прост в реализации, в то время как использование дифференцирования многочлена, полученного аппроксимацией, полезно лишь для решения узкого круга задач.

Список литературы

1. Шмырин, А.М. Компьютерные технологии моделирования систем в интегрированных математических пакетах [Текст] / А.М. Шмырин, В.В. Сёмина, О.А. Мещерякова. – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2017. – 160 с.

2. Шмырин, А.М. Избранные главы высшей математики [Текст] / А.М. Шмырин, В.В, Семина, И.А. Седых – Липецк: Изд-во Липецкого государственного технического университета, 2016. – 160 с.

3. Садовничая, И.В. Математический анализ. Дифференцирование функций одной переменной [Текст] / И. В. Садовничая, Т. Н. Фоменко, Е. В. Хорошилова. – Москва: Издательство Юрайт, 2018. – 156 с.

COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL METHODS OF CALCULATING DERIVATIVE

MOZHAYSKY VALERY EVGENIEVICH

student of group MA-14-1

SEMINA VALERIYA VLADIMIROVNA

Senior lecturer

Lipetsk State Technical University

Summary: There are complex functions whose calculation of the derivatives by standard analytical methods is rather difficult. Two nonstandard methods for calculating the derivative at a given point of the function are considered and their comparative analysis is carried out.

Keywords: numerical differentiation, function approximations, least squares method

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 35; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!