Задача 3. Расчет балки на прочность при изгибе.

№ вар.	F,кН	M,кНм	q,кН/м	a₁_,м	a₂_,м	l,м
1	2	20	2	1,0	2	5
2	3	21	2	1,1	2	5
3	4	22	2	1,2	3	5
4	5	23	3	1,3	3	5
5	6	24	3	1,4	4	5
6	7	25	3	1,5	4	5
7	8	25	4	1,6	2	5
8	9	27	4	1,7	2	5
9	10	28	4	1,8	2	5
10	11	29	5	1,9	2	5
11	12	30	5	2,0	3	6
12	13	31	5	2,1	3	6
13	14	32	2	2,2	1	6
14	15	33	2	2,3	1	6
15	16	34	2	2,4	1	6
16	17	35	3	2,5	2	6
17	18	36	3	2,6	2	6
18	19	37	3	2,7	2	6
19	20	38	1	2,8	1	6
20	21	39	2	2,9	1	6

Практические рекомендации для расчета

Расчет балки на изгиб следует условно разделить на три этапа:

I. Определение опорных реакций.

II. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

III. Подбор сечения балки (проектный расчет).

I. Определение опорных реакций

Для того чтобы балка могла сопротивляться действию внешней нагрузки, она, как правило, должна быть соответствующим образом закреплена. Обычно используются три вида опорных закреплений, которым соответствует определенное количество накладываемых связей:

Вид опоры	Схема и реакции	Характеристика опоры
Шарнирно подвижная		Эта опора препятствует перемещению балки по вертикали, и разрешает горизонтальное смещение и поворот сечения.
Шарнирно неподвижная		Эта опора препятствует линейному перемещению балки в любом направлении.
Жесткое защемление (заделка)		Невозможны линейное перемещение сечения и поворот.

Последовательность решения данной задачи:

1. Освободить балку от связей (опор) и изобразить действующие на нее заданные нагрузки. В данную расчетную схему включить неизвестные опорные реакции, векторы которых должны быть направлены перпендикулярно оси балки. Для неподвижной опоры следует дополнительно ввести опорную реакцию, вектор которой направлен вдоль оси балки. Направления векторов всех неизвестных опорных реакций на данном этапе расчета можно назначать произвольным образом.

2. Выбрать систему координат и составить уравнения равновесия. Начало координат удобнее совмещать с левым концом балки, за ось принять ось балки. Представляется целесообразным составлять уравнения равновесия моментов относительно тех точек балки, в которых приложены неизвестные опорные реакции. При наличии внешней нагрузки, вызывающей горизонтальную составляющую у реакции в неподвижной опоре, необходимо добавить уравнение равновесия проекций действующих нагрузок, включая неизвестные опорные реакции, на горизонтальную ось балки.

3. Решить составленные уравнения равновесия. В случае отрицательных значений у вычисленных опорных реакций следует изменить направления соответствующих векторов на противоположные.

4. Проверить правильность полученных результатов по уравнению, которое не было использовано в ходе решения, путем подстановки в него вычисленных опорных реакций с учетом их уточненных направлений.

II.Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Данный этап расчета проводить в следующей последовательности:

1. Балку разделить на участки, границы которых совпадают с точками приложения сосредоточенных сил, сосредоточенных моментов или с точками начала и конца действия распределенной нагрузки.

2. На каждом участке провести сечение и, рассматривая равновесие отсеченной части балки (левой или правой), составить уравнения, выражающие через текущую координату X поперечную силу Q и изгибающий момент M.

3. Подставляя в найденные уравнения значения абсцисс на каждом участке вычислить в ряде сечений величины поперечных сил и изгибающих моментов. Если в пределах участка поперечная сила меняет знак, необходимо найти величину текущей координаты X, которой соответствует нулевое значение поперечной силы Q. На эпюре изгибающего момента этой координате будет соответствовать экстремальное значение М, которое следует вычислить.

При записи выражений для Q и M следует придерживаться определенных правил.

А. Поперечная сила численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Внешняя сила дает положительное слагаемое, если поворачивает оставшуюся часть балки относительно данного сечения по часовой стрелке. Следует мысленно установить шарнир в рассматриваемом сечении, относительно которого поворачивается отсеченная часть балки от действующих сил, перпендикулярных оси балки.

Б. Изгибающий момент численно равен сумме моментов относительно рассматриваемого сечения от всех нагрузок, действующих по одну сторону от этого сечения. Момент от нагрузки считается положительным, если вызывает сжатие верхних волокон рассматриваемой части балки. Мысленно установить в этом сечении заделку и рассмотреть состояние верхних волокон отсеченной части балки в зависимости от данного вида нагрузки.

Графически правило знаков для поперечных сил Q и изгибающих моментов Mв зависимости от движения к сечению показано на рис.13.

4. По вычисленным значениям поперечных сил и изгибающих моментов построить в масштабе соответствующие эпюры. Положительные значения откладывать от нулевой линии вверх, отрицательные – вниз. Полученные плоские фигуры заштриховать вертикальными линиями с указанием знаков.

5. Проверить построенные эпюры на их соответствие следующим правилам:

- если на участке отсутствует распределенная нагрузка, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.

-если на участке имеется распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратичной параболы. При этом парабола всегда обращена выпуклостью навстречу распределенной нагрузке.

- в сечении, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент достигает экстремального значения.

- в сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, перпендикулярная к оси балки, эпюра Q имеет скачок на величину этой силы, а эпюра М – излом (смежные участки эпюры не имеют плавного сопряжения).

- в сечении, где приложен внешний сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок на величину этого момента. На эпюре Q это не отражается.

- в концевом сечении балки поперечная сила Q и изгибающий момент М равны соответственно приложенной в этом сечении внешней сосредоточенной силе (активной или реактивной) либо сосредоточенному моменту (активному или реактивному).

III. Подбор сечения балки

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид:

= ,

где W – осевой момент сопротивления сечения.

Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимую величину осевого момента сопротивления:

Исходя из формы поперечного сечения, по найденному моменту его сопротивления находят размеры сечения.

Требуется:

Выполнить расчет балки на двух опорах, изображенной на рис.14.а. Для этого необходимо решить следующие задачи:

a. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.

b. Из расчета на прочность подобрать сечение балки из пластичного материала следующих профилей:

- - в форме сплошного круга,

- - в форме прямоугольника с соотношением сторон .

При расчетах принять: , , , , .

Решение:

Расчет выполняется в полном соответствии с п.3.4.1

I. Определение опорных реакций (рис.14.б)

Вначале освободим балку от опор, изобразив все действующие на нее нагрузки, включая неизвестные (направления векторов последних выберем произвольно). Вектор -вниз, – вверх.

Назначаем систему координат, связанную с левым концом балки. Ось Х направляем вдоль оси балки вправо. Ось Y – вертикальна. Ввиду отсутствия внешней нагрузки, имеющей горизонтальную составляющую, из уравнения статического равновесия проекций всех нагрузок на ось Х можно сразу установить, что

При составлении уравнений статического равновесия моментов примем для удобства правило знаков, по которому сила или сосредоточенный момент, поворачивающие балку вокруг данной точки в направлении вращения часовой стрелки, обуславливают положительное слагаемое в данном уравнении моментов.

, ,

откуда .

Обратим внимание на знаки вычисленных реакций и . В случае с назначенное направление этого вектора оказалось удачным, об этом свидетельствует положительное значение .Реакция получила отрицательное значение, что означает необходимость изменить направление этого вектора на противоположное, т.е. направить его вверх. Прежний вектор пометим короткой наклонной чертой, в дальнейших расчетах он не используется.

Проверку осуществим на основе уравнения

Следовательно, опорные реакции определены верно.

Разделим балку на участки:

I участок II участок

III участок IV участок .

Для дальнейших расчетов представляем расчетную схему балки согласно рис.15.в.

II.Построение эпюр поперечных сил (рис.14.г)

На участке I величину и знак Q определим, проведя на нем произвольное сечение и рассматривая равновесие левой отсеченной части (отдельно ее не показываем). Внешней нагрузкой, действующей на левую отсеченную часть балки, является сила , стремящаяся повернуть эту часть против хода часовой стрелки. Следовательно, здесь Q отрицательна.

На этом участке эпюра Q – прямая, параллельная оси абсцисс.

На участке II поперечная сила также постоянна. На левую отсеченную часть действуют силы F и .

Отметим, что в сечении балки над левой опорой А на эпюре Q получается скачок на величину силы V_A.

На участке III действует распределенная нагрузка, поэтому поперечная сила Q будет изменяться по линейному закону в виде наклонной прямой в зависимости от значения текущей координаты . Сечение балки в точке С, где начинает действовать распределенная нагрузка, сдвинуто вправо от точки О начала координат на 2м. По этой причине выражение для Q выглядит следующим образом:

Произведение представляет собой выражение для внешней силы от распределенной нагрузки.

Подставляя крайние значения получаем величины Q в точках С и В.

При .

Поскольку на этом участке наблюдается изменение знака Q, то найдем координату , при которой поперечная сила становится равной нулю. С этой целью решаем уравнение

Получаем .

Выражение для Q_IV на последнем участке отличается от Q_III на величину

При м .

При мQ_D = 0.

Полученные значения поперечной силы наносим на эпюру Q, соединяя прямыми линиями значения Q на краях каждого участка.

III.Построение эпюр изгибающих моментов (рис.14.д)

На участке I изгибающий момент изменяется по линейному закону.

Знак минус перед силой F поставлен по той причине, что левая часть балки на этом участке от силы F изгибается выпуклостью вверх, т.е. сжатые волокна балки находятся снизу.

При ,

при м м.

На участке II эпюра момента также имеет линейный вид:

Здесь сила V_A приложена к балке снизу, поэтому от нее балка изгибается выпуклостью вниз, т.е. сжатые волокна расположены сверху. Плечо момента от силы V_A до рассматриваемого сечения с координатой равно , т.к. оно короче плеча до силы F на 1м.

Подставляем крайние значения текущей координаты.

При м ,

м .

На участке III для сечения с координатой начинает действовать распределенная нагрузка, что является причиной для изменения характера эпюры момента; она становится квадратичной параболой.

В этом выражении составляющая изгибающего момента от распределенной нагрузки имеет 3 сомножителя. Второй сомножитель является расстоянием от сечения с координатой до сечения, где начинает действовать распределенная нагрузка, т.е. до точки . Суммарное воздействие на балку от распределенной нагрузки, равное , эквивалентно сосредоточенной нагрузке того же значения, но приложенной точно посередине этого участка. По этой причине плечо эквивалента распределенной нагрузки до рассматриваемого сечения всегда вдвое короче длины нагруженного распределенной нагрузкой участка, а именно: .

Следует обратить внимание, что в точке С приложен сосредоточенный момент, что вызывает соответствующий скачок изгибающего момента на эпюре. Сосредоточенный момент берется со знаком минус, т.к. он гнет левую часть балки выпуклостью вверх (сжатые волокна снизу).

При м ,

Найдем вершину квадратичной параболы, т.е. экстремальное значение изгибающего момента в той координате , которой соответствует нулевое значение Q_III.

Для IV участка изгибающий момент имеет следующий вид

По крайним значениям строим эпюру, которая также имеет вид квадратичной параболы, выпуклой частью обращенной навстречу распределенной нагрузке.

При м .

Примечание к данному пункту.

Построение эпюр Q и М на IV участке можно осуществить и на основе других выражений, что может одновременно послужить и способом самоконтроля для проверки правильности вычисления Q и М.

Значения Q для этого участка удобнее определять, рассматривая правую отсеченную часть балки. В этом случае начало координат размещается на правом конце балки, а ось Х - в противоположном направлении вдоль оси балки, т.е. . Это позволяет существенно упростить выражение для Q_IV , а именно: .

При Q_D = 0,

Q_B =2кН.

Результат, как видим, полностью совпадает с предыдущими вычислениями.

По аналогии изгибающий момент на IV участке

При ,

Оценивая построенные эпюры Q и М с точки зрения правил п.3.4.2 можно сделать заключение, что обе они соответствуют приведенным там критериям проверки.

III. Подбор сечения балки

Опасным является сечение в точке А, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент .

Условие прочности для балки из пластичного материала .

КРУГЛОЕ СЕЧЕНИЕ

С учетом выражения для момента сопротивления изгибу балки круглого сечения W = 0,1*D³ условие прочности примет вид .

Решая это неравенство, вычисляем диаметр круглого сечения.

В соответствии с рядом стандартных линейных размеров (Приложение П.3) окончательно выбираем D = 56мм.

Вычисляем момент сопротивления балки этого размера

W= 0,1*D³ =0,1*5,63 =17,56 см3,

Максимальные напряжения

оказались ниже допустимых , что и требовалось.

2. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ (h=3 b)

Как известно, момент сопротивления изгибу для балки прямоугольного сечения равен .

Условие прочности примет вид: .

Решая это неравенство, вычисляем ширину сечения

В соответствии с рядом линейных размеров (Приложение 3) выбираем

b = 24мм, h = 71мм.

Момент сопротивления у данного профиля

Максимальные напряжения в сечении балки над опорой А будут

, а это меньше, чем ,что и требовалось.

Вопросы для защиты.

1. Какой вид нагружения называется изгибом?

2. Дайте определение понятия "прямой чистый изгиб", "прямой поперечный изгиб".

3. Какие внутренние усилия возникают в поперечном сечении балки при прямом изгибе?

4. Приведите правила знаков для изгибающих моментов и перерезывающих сил.

5.Как записывается условие прочности при изгибе?

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 322; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!