Общее решетке уравнения диффузии в случае неограниченного тела

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Решая уравнения (11.3.2), как отмечалось, для каждого конкретного случая можно определить диффузионный профиль в любой момент времени t. Применив метод разделения переменных (в общем случае для неограниченного тела), можно получить следующее выражение:

(11.3.4)

где f(x)—начальное распределение концентраций, равное N(x,0). Спрактической точки зрения интерес представляют два частных случая, характеризующие в какой-то мере две стадии диффузии, применяемые в технологии изготовления элементов ИС.

Первый случай представляет собой диффузию примеси от поверхности с постоянной концентрацией или диффузию из источника неограниченной мощности. Поверхностная концентрация в этих условиях остается постоянной, а граничные условия при этом можно записать как

N(x, 0)=0, х≥0;

N(0, t)=N₀, t≥0. (11.3.5)

Решение (11.3.4) в этом случае принимает следующий вид:

(11.3.6)

где erfc означает дополнительную функцию ошибок. Распределение примесей в соответствии с уравнением (11.3.6) показано на рис. 11.3.2.

Рассмотренный пример реализуется обычно при малых поверхностных концентрациях примеси no и больших глубинах диффузии.

Рассмотрим второй случай, который называется диффузией из ограниченного источника. В этом случае начальное распределение концентрации примеси в окрестности некоторой точки а имеет постоянное значение N₀, а за ее пределами обращается в нуль:

(11.3.7)

Общее решение уравнения (11.3.4) при этом примет следующий вид:

(11.3.8)

Количество вещества Q в интервале (а-h, a+h) в случае одномерной диффузии находится по формуле Q=N₀2h, после устремления h к нулю для распределения концентраций получим следующее выражение:

(11.3.9)

Распределение (11.3.9), представленное на рис. 11.3.2, обычно называют гауссовским распределением. Последнее решение в практике легирования имеет важное значение и соответствует диффузии из очень тонкого легированного слоя, расположенного у самой поверхности образца, причем диффузия наружу от образца исключается наличием соответствующей защиты, например слоя оксида.

Рис.11.3.2. Распределение примесей при диффузии из постоянного (а) и ограниченного (б) источников

Следует отметить, что ряд задач диффузии решается при граничных условиях, отличных от вышеописанных. Рассмотрим процесс диффузии, когда поток диффундирующей примеси через поверхность образца отсутствует, т. е. граница является непроницаемой. Обратимся к формуле (11.3.1), описывающей перенос атомов и по существу являющейся формулой для диффузионного потока. Отсутствие потока примесей для всех t³0 через поверхность x=0 означает равенство нулю выражения для потока

(11.3.10)

В случае испарения примеси из образца диффузионное уравнение Фика (11.3.2) решается при следующем граничном условии:

(11.3.11)

где a — константа, определяющая скорость прохождения частиц примеси через поверхность образца из его объема.

Функция ошибок

В табл. 11.3.1 приведены некоторые частные случаи решения одномерного уравнения диффузии.

Рис. 11.3.3. График функции y=erfc(x)×exp(x²)

Решение диффузионного уравнения (11.3.2) в ряде случаев описывается функцией ошибок или ее комбинацией с показательной функцией (рис. 11.3.3). Рассмотрим функцию ошибок и некоторые ее свойства. Функция ошибок выражается так:

(11.3.12)

Дополнительная функция ошибок определяется как

(11.3.13)

Рассмотрим некоторые их общие свойства;

erf(0) = 0, erf(¥) = l

Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 285; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!