Расчет системы линейных алгебраических уравнений
Трех переменных .......................................................................................... 18
Расчет системы линейных алгебраических уравнений шести переменных ........................................................................................................................ 19
Практическое задание 5 ............................................................................ 21
Построение графиков ............................................................................. 21
Выставление меток и применение параметров ..................................... 22
Построение графиков и применение параметров.................................. 25
Практическое задание 6 ............................................................................ 28
Вычисление системы нелинейных уравнений ....................................... 28
Определение корней системы уравнений............................................... 29
Решение системы нелинейных уравнений.............................................. 29
Практическое задание 7............................................................................. 30
Построение графика................................................................................ 30
Построение графика согласно условию................................................. 30
Построение графика, изображающего символы................................... 32
Практическое задание 8............................................................................. 34
Операции с комплексными числами....................................................... 34
Построение суммы векторов, отражающей символ «9»....................... 38
Практическое задание 9........................................................................... 40
|
|
|
Расчет дифференциального уравнения и графическое сравнение с точным решением........................................................................................................................ 40
Расчет дифференциального уравнения с использованием символьного интегрирования............................................................................................. 41
Расчет дифференциального уравнения, нахождение среднеквадратичного отклонения........................................................................................................................ 42
Практическое задание 10......................................................................... 44
Операции с рядами................................................................................ 44
Расчет ряда методом трапеций............................................................. 45
Практическое задание 11......................................................................... 47
Сохранение массива в файл.................................................................. 47
Вывод массива из файла ..................................................................... 49
Заключение............................................................................................... 51
Список использованных источников............................................................ 52
1 Введение
Все технические дисциплины требуют точных и быстрых вычислений. Именно по этой причине освоение системы Маткад является важным для студентов технических специальностей. В дальнейшем полученный опыт и навыки пригодятся для получения новых знаний по профилирующим техническим дисциплинам.
|
|
|
В ходе учебного процесса будут решены дифференциальные уравнения, системы нелинейных уравнений, построены графики функций, проведены операции с комплексными числами и рядами.
2 Практическое задание 1
Вычисление математического выражения
Ввести в Маткад и вычислить выражение:
|
|
Решение:
|
|
Вычисление выражения, содержащего арифметические корни
Вычислить выражение:
|
|
Решение:
|
|
2.3 Вычисление тригонометрических выражений
Выражение имеет знак «=», значит нужно рассчитать отдельно правую и левую части этого выражения:
3 Практическое задание 2
3.1 Вычисление математического выражения
Вычислить выражение при a=5, b=4:
Решение:
|
|
a:=5
b:=4
3.2 Доказательство тождества
Доказать тождество:
|
|
|
|
Решение:
|
|
|
|
|
|
|
|
4 Практическое задание 3
4.1 Задание и расчет функции
Задать и рассчитать при x=2 функцию:
|
|
|
Решение:
|
|
|
|
|
|
Функции нескольких переменных
Найти значение функции нескольких переменных при заданных значениях аргументов:
Решение:
5 Практическое задание 4
5.1 Расчет системы линейных алгебраических уравнений трех переменных
Исходная система:
44*x1+100*x3=344
-69*x2=207
24*x1-10*x2-57*x3=-117
Приведем исходную систему к нормированному виду:
44*x1+0*x2+100*x3=344
0*x1-69*x2+0*x3=207
24*x1-10*x2-57*x3=-117
Зададим матрицу А размерности 3 x 3 и вектор В (размерности 3):
Расчет с помощью обратной матрицы и результат проверки:
Расчет с помощью встроенной функции:
Расчет по методу Крамера:
5.2 Расчет системы линейных алгебраических уравнений шести переменных
Исходная система:
-43*x2-77*x3-81*x4-88*x6=-1173
84*x1+92*x2-77*x3+23*x4-32*x5=68
10*x3+75*x4-36*x6=174
-45*x1-97*x2+69*x4+28*x5+96*x6=-1779
-61*x1-56*x2+99*x3-33*x4+41*x5=755
58*x2-67*x3+66*x4+77*x5-24*x6=-1683
Преобразуем систему в нормированный вид:
0*x1-43*x2-77*x3-81*x4+0*x5-88*x6=-1173
84*x1+92*x2-77*x3+23*x4-32*x5+0*x6=68
0*x1+0*x2+10*x3+75*x4+0*x5-36*x6=174
-45*x1-97*x2+0*x3+69*x4+28*x5+96*x6=-1779
-61*x1-56*x2+99*x3-33*x4+41*x5-29*x6=755
0*x1+58*x2-67*x3+66*x4+77*x5-24*x6=-1683
Зададим матрицу A размерности 6 x 6 и вектор B (размерности 6):
Расчет с помощью обратной матрицы:
Расчет с помощью встроенной функции:
|
|
|
Расчет с помощью метода Крамера:
6 Практическое задание 5
6.1 Построение графиков
Заданы функции f1(x) = 
; f2(x) = ctg(x); интервал x=(3;6).
Построить графики функций на одной координатной сетке на заданном интервале; найти по графику корни; определить по графику наибольший корень на заданном интервале, при котором значения функций не отличались более чем на 5%.
При выбранном по умолчанию масштабе построения графиков функции невозможно определить количество корней, поэтому уменьшаем шаг по оси X до 0,1. Теперь по графику видно, что функции (сплошная и точечная линии) на интервале (3;6) имеют четыре корня (Рисунок 6.1).
Рисунок 6.1 – Построение графиков
Определим один из корней графически с помощью трассировщика. Результат приведен на рис 6.2.
Рисунок 6.2 - Трассировка
Из рисунка 6.2 видно, что найденная погрешность составляет
2,8×10-3 %, что меньше допустимой 5%.
6.2 Выставление меток и применение параметров
Выставить метку на оси X равной найденному х0. Выставить метки на оси Y равными соответственно f1(х0) и f2(х0). График функции f1(х) задать сплошной черной линией толщиной 4. График функции f2(х) задать пунктирной черной линией толщиной 7. Нижний предел графика установить на 10% ниже значения f1(x0). Верхний предел графика установить на 10% выше значения f2(х0). Левый и правый пределы графиков не должны превышать заданного интервала. Установить сетку по осям с автоматической разметкой. Скрыть аргументы, отобразить легенду.
Для начала выставляются метки на оси X, равная x0, и на оси Y, равные f1(x0) и f2(x0). Затем применяются параметры, изображенные на рисунке 6.3, для задания цвета и толщины линий графика функции. Результат изображен на рисунке 6.4.
Рисунок 6.3 – Применяемые параметры
Рисунок 6.4 – Выставление меток
По завершении всех необходимых действий получился график функций удовлетворяющий всем начальным условиям. Результат изображен на рисунке 6.5.
Рисунок 6.5 – Конечный результат
Для построения графика были использованы настройки и параметры, изображенные на рис 6.6.
Рисунок 6.6 – Форматирование графика и осей
6.3 Построение графиков и применение параметров
Выполнить задание аналогично части 1 и 2 для f3(x)= 
; f4(x)= 
на интервале x (0;10)
По графику видно, что функции (сплошная и пунктирная линии) на интервале (0;10) имеют один корень (Рисунок 5.7). Определим один из корней графически с помощью трассировщика. Результат приведен на рис 6.7.
Рисунок 6.7 - Трассировка
Из рисунка 6.7 видно, что найденная погрешность составляет
1,665×10-14 %, что меньше допустимой 5%.
Для выполнения задания части 2 сначала выставляются метки: на оси X - x0, на оси Y - f3(x0) и f4(x0). Затем применяются параметры, изображенные на рис. 6.3, для задания цвета и толщины линий графика функции. Для построения графика были использованы настройки и параметры, изображенные на рис 6.6. По завершении всех необходимых действий получился график функций, удовлетворяющий всем начальным условиям. Результат изображен на рисунке 6.8.
Рисунок 6.8
7 Практическое задание 6
7.1 Вычисление системы нелинейных уравнений, нахождение наименьшего и наибольшего корней
Вычислить систему нелинейных уравнений:
Так как требуется определить наибольший корень на интервале x=(3,6), то целесообразно взять наибольшее значение x:
Относительная разность составила 300%, значит данный корень не подходит. Возьмем х=5:
Относительная разность составила 7,452*10-6%, значит задача решена.
7.2 Определение корней нелинейных уравнений
Определить наименьший корень системы уравнений на интервале (0;10).
Из графика на рисунке 6.1 видно, что наименьший корень находится в интервале х=(4;5), поэтому попробуем взять х=4.5:
Получили корень, входящий в интервал значений.
7.3 Решение системы нелинейных уравнений
Решить систему нелинейных уравнений.
Вводим значения х и у, а затем вводим блок Given:
8 Практическое задание 7
8.1 Построение графика
Построим график функции f(x) на интервале, характеризующем каждую часть условия (Рисунок 8.1).
Рисунок 8.1 – График функции f(x)
8.2 Построение графика согласно условию
Построим график, соответствующий заданию.
Пусть z – длина каждого отрезка:
Выполним все условия и составим функцию h(x). График функции g(x) изображен на рисунке 8.2. График функций g(x) и h(x) на одной координатной плоскости изображен на рисунке 8.3.
График функции g(x) изображен на рисунке 8.2. График функций g(x) и h(x) на одной координатной плоскости изображен на рисунке 8.3.
Рисунок 8.2 – График функции g(x)
Рисунок 8.3 – Графики функций g(x) и h(x)
8.3 Построение графика, изображающего символы
Задать функцию t(x), изображающую последовательность символов «TV».
Решение изображено на рисунке 8.4.
Рисунок 8.4 – График функции t(x)
9 Практическое задание 8
9.1 Операции с комплексными числами
Заданы комплексные числа:
Вещественная часть комплексных чисел:
Мнимая часть комплексных чисел:
Аргумент комплексных чисел в градусах:
Найдем модуль для записи чисел в экспоненциальном виде:
Запись комплексных чисел в экспоненциальном виде ( угол в градусах переводим в радианы):
Запись комплексных чисел в тригонометрическом виде (угол в градусах переводим в радианы):
Расчет суммы чисел и запись в экспоненциальном виде:
Комплексные числа и их сумма изображены на рисунке 9.1.
Рисунок 9.1 – Графики комплексных чисел в полярных системах координат
Процесс сложения векторов одним графиком:
Сложение изображающих векторов изображено на рисунке 9.2.
Рисунок 9.2 – Сумма комплексный чисел одним графиком
Сложение изображающих векторов с обозначением каждого вектора изображено на рисунке 9.3.
Рисунок 9.3 – Сумма комплексных чисел отдельными графиками
9.2 Построение суммы векторов, отражающей символ «9»
Построим сумму векторов таким образом, чтобы получился символ «9». Результат изображен на рисунке 9.4.
Рисунок 9.4 – Сумма векторов, изображающая символ «9»
10 Практическое задание 9
10.1 Расчет дифференциального уравнения и графическое сравнение с точным решением
Рассчитаем дифференциальное уравнение и графически сравним с точным решением, рассчитаем среднеквадратичное отклонение (Рисунок 10.1):
Рисунок 10.1 – Графическое сравнение решения дифференциального уравнения и точного решения
10.2 Расчет дифференциального уравнения с использованием символьного интегрирования
Решим дифференциальное уравнение, найдем точное решение символьным интегрированием:
Найдем среднеквадратичное отклонение:
Графическое сравнение решения дифференциального уравнения и точного решения изображено на рисунке 10.2.
Рисунок 10.2 – Графическое сравнение решения дифференциального уравнения и точного решения
Среднеквадратичная погрешность составила 15%.
10.3 Расчет дифференциального уравнения, нахождение среднеквадратичного отклонения
Рассчитаем систему дифференциальных уравнений и найдем среднеквадратичное отклонение:
Графическое сравнение решения системы дифференциальных уравнений и точного решения на рисунке 10.3.
Рисунок 10.3– Сравнение решения системы дифференциальных уравнений с точным решением
11 Практическое задание 10
11.1 Операции с рядами
Для ряда 
найти символьное значение суммы ряда, определить минимальное количество слагаемых ряда М, при котором разница частичной суммы и точного значения не более 0,01%, определить погрешность суммы ряда, рассчитанной по M слагаемым:
Подбор М по значению погрешности:
Подбор N по значению погрешности:
Построенные графики функций с(n) и p(n) изображены
на рисунке 11.1. Из рисунка 11.1 видно, что с > p, значит N>M, следовательно, оценка с(n) является более строгой, то есть оценкой сверху.
Рисунок 11.1 – Графики функций с(n) и p(n)
11.2 Расчет ряда методом трапеций
Рассчитаем методом трапеций интеграл функции 
на промежутке [2;4], сравним полученный результат с полученным символьным вычислением:
Определим количество разбиений N такое, что N разбиений погрешность определения интеграла составляла не более 1%, при N-1 разбиений более 1%:
12 Практическое задание 11
12.1 Сохранение массива в файл
Для вектора Х=(9,5,3,3) случайным образом сформируем систему линейных алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, принадлежащими диапазону [-99,99].
Введем вектор Х и счетчик по строкам и столбцам:
Сформируем случайным образом целочисленную матрицу и рассчитаем вектор свободных коэффициентов:
Зададим счетчик по строкам в результирующем массиве и заполним его символом «*»:
Вводим в массив матрицу А и массив свободных коэффициентов B:
Вынесем отрицательный знак коэффициентов, перед столбцом свободных коэффициентов поставим знак равно:
Сформируем вектор строк x1,x2… и введем массив этих строк:
Сохраним массив в файле sys.txt:
Массив M изображен на рисунке 12.1. Содержимое файла sys.txt изображено на рисунке 12.2.
Рисунок 12.1 - Массив
Рисунок 12.2 – Окно блокнота с результатом
12.2 Вывод массива из файла
Загрузим файл sys.txt и зададим счетчик по строкам и столбцам:
Сформируем матрицу А и вектор B из массива N:
Рассчитаем систему линейных алгебраических уравнений, сформируем вектор строк х1,х2…, добавим символ «=»:
Введем вектор Х:
Сохраним в файле sysx.txt:
Содержимое файла sysx.txt изображено на рисунке 12.3.
Рисунок 12.3 – Окно блокнота с полученным результатом
13 Заключение
Все поставленные цели были достигнуты в ходе выполнения работы. В результате выполнения работы была освоена система Маткад и были выполнены все практические задания, были получены знания, необходимые для дальнейшего изучения технических дисциплин.
Список использованных источников
1 Головин Е.Д. Методические указания по вычислительной практике для специальности 210202 «Проектирование и технология электронно-вычислительных средств». – Томск, 2010. – 143 с.
2 Образовательный стандарт ТАСУР. – Томск, 1997. – 27 с.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 210; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!