Прямойпереводмежду 16-, 8, и 4-нойсистемамисчисления

Глава 1

Информацияиеекодирование

Системысчисления

 

Системой счисления называется совокупность правил наименования и изобра­жения чисел с помощью конечного набора символов, называемых цифрами.

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. Примером непозиционной системы является римская система, в которой существует базо­вый набор чисел:

I	V	X	L	С	D	М
1	5	10	50	100	500	1000

Все остальные числа получаются в результате сложения или вычитания чисел базового набора по следующему правилу: если меньшая цифра стоит пе­ред большей (слева от большей), то ее значение вычитается. Например, число MCMXCVII можно представить как

1000 - 100 + 1000 - 10 + 100 + 5 + 1 + 1 = 1997.

Классическая римская система позволяет составлять числа в диапазоне от 1 до 3999.

Система счисления называется позиционной, если значение цифры в запи­си числа зависит от позиции, которую она занимает в последовательности цифр, изображающей число. Например:

Основание системы счисления - количество цифр, используемых в записи числа. В таблице собраны примеры нескольких систем счисления с указанием их основания и алфавита.

Название системы	Основание	Используемые цифры
Десятичная	10	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Двоичная	2	0,1
Восьмеричная	8	0,1,2,3,4,5,6,7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F

 

В следующей таблице приведены первые 17 чисел нескольких систем счисления^-.

 

Основание
«10»	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
«2»	0	1	10	11	100	101	110	111	• • •
«8»	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
«16»	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А	В	С	D	Е	F	10

Обратите внимание, что при последовательном счете, начиная с нуля, в любой системе счисления обязательно наступает момент, когда число обо­значается как «10». Появление двух знаков в изображении числа означает, что кончились знаки алфавита данной системы счисления и приходится использо­вать комбинацию из двух цифр.

В общем случае имеет место равенство

q=10_q

где q - основание позиционной системы счисления, а 10_q (читается как «один, ноль») - способ обозначения, что число записано в q-ичной системе счисления. Например: 2 = 10₂, 8 = 10₈, 16 = I0_I6.

Переводвдесятичнуюсистему

Любое число в десятичной системе счисления можно разложить по степеням

числа «10», то есть представить в виде:

4444 = 4 х 1000 + 4 х 100 + 4 х 10 + 4 х 1 =4 х 10³ + 4 х 10² + 4 х 10¹ +4 х 10°

Число с дробной частью записывается по тем же правилам: 33,5 = 3х 10¹+Зх 10° + 5х 10^-1

Аналогичное утверждение имеет место для чисел любой системы счис­ления.

Переводиздесятичнойсистемывдругиесистемысчисления

Принципы перехода от десятичной системы к другим позиционным системам рассмотрим на примере перевода в двоичную систему.

Для перевода чисел из десятичной системы в двоичную применяют метод последовательного деления целой части на 2, как показано на рисунке ниже. Пусть, например, требуется перевести число 157 из десятичной системы в дво­ичную. Деление продолжается до тех пор, пока в частном не окажется число, меньшее делителя. Результат записывается как обычно слева направо по пра­вилу: начинаем с последнего частного, а за ним выписываем каждый остаток в порядке, указанном стрелкой. В нашем случае получится 10011100₂

Дробную часть числа, если таковая имеется, переводят по другому прави­лу. Пусть требуется перевести число 0,375 из десятичной системы в двоичную. Для этого дробная часть числа последовательно умножается на 2.

Справа от вертикальной черты записываются цифры дробной части, по­лучаемые в процессе умножения. В нашем примере умножаем число 375 на 2 (в десятичной системе). Получим 750. Слева от черты ставим «0». Далее 750 Умножаем на 2. Получаем 1500. При этом справа от вертикально черты должно находиться ровно столько цифр, сколько их было в дробной части исходного числа. В нашем случае 3 цифры. 1 попадает в разряд единиц, поэтому окажется слева от черты.

Обратите внимание на то, что умножение проводится только с числом, стоящим справа от вертикальной черты. Таким образом, следующим действием будет 500 х 2 = 1000. При записи результата умножения единица окажется сле­ва от черты, справа будут нули «000». Умножение закончено. Теперь осталось выписать ответ. В дробной части двоичного числа будут находиться цифры, оказавшиеся слева от черты в порядке, указанном стрелкой. То есть: 0,011₂.

Бывают случаи, когда в результате умножения не получается конечной дроби. Тогда умножение проводят столько раз, сколько это требуется по усло­вию задачи. Например: «дробную часть вычислять до пятого знака».

Для перевода десятичного числа в другие позиционные системы пра­вила аналогичны: целую часть нужно последовательно делить на основание системы, в которую переводится число, а дробную часть умножать на это основание.

 

Пример 1:

Перевести число 2517,19 из десятичной системы в шестнадцатеричную. Дробную часть вычислять до пятого знака.

Решение.

1. Переводим целую часть методом деления. Последнее частное равно 9. Остатки 13 и 5. Записываем результат, помня о том, что число 13 в шестнадцатеричной системе записывается как «D». Получается: 9D5.

2. Переводим дробную часть.

Записываем результат, помня о том, что число 13 в шестнадцатеричной системе записывается как «D», а число 10 как «А». Получается: 0,30A3D₁₆.

Ответ: 2517,19₁₀= 9D5,30A3D₁₆.

 

Прямойпереводмежду 16-, 8, и 4-нойсистемамисчисления

Существует взаимно-однозначное соответствие между цифрами, используе­мыми в четверичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах и числа­ми двоичной системы. Это соответствие можно наглядно представить в виде таблицы.

В последней колонке представлено соответствие между цифрами четве­ричной системы и двоичными числами. Рассуждения таковы: в четверичной системе счисления используются 4 цифры: 0, 1, 2 и 3. Для того чтобы закоди­ровать каждую цифру в этой системе потребуется 2 бита информации. Причем двоичные числа не только поставлены в соответствие четверичным цифрам, но и равны им по величине:

0₂ = 0₄; 1₂=1₄; 10₂ = 2₄;11₂ = 3₄

Получается, что каждый разряд четверичного числа может быть пред­ставлен в виде двухразрядного двоичного числа.

Аналогичными будут рассуждения для восьмеричных и шестнадцатеричных цифр. Такое взаимно однозначное соответствие позволяет легко перево­дить числа из двоичной системы в четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную и наоборот.

 

Пример 2:

Перевести число 5А2,4Е₁₆ в двоичную систему.

Решение.Существует взаимно однозначное соответствие между шестнадцатеричными цифрами и числами двоичной системы. Каждая шестнадцатеричная цифра может быть представлена четырехразрядным двоичным числом, равным по величине этой цифре. Цифра 5₁₆ представляется как 0101₂. (В двоичном числе должно быть ровно 4 разряда! Поэтому, несмотря на то, что 5₁₆ = 101₂, мы добавили к двоичному числу незначащий ноль. По­лучилось 0101₂. Это не повлияло на величину числа). Распишем по этому правилу каждый разряд исходного шестнадцатеричного числа:

5	А	2	4	Е
0101	1010	0010	0100	1110

В результате мы получили:

5А2,4Е₁₆ = 010110100010,01001110₂.

 

Незначащие нули слева и справа можно отбросить.

Ответ: 5А2,4Е₁₆ = 10110100010,0100111₂

 

Пример 3:

Перевести число 10010111010,1001101₂ в восьмеричную систему.

Решение.Существует взаимно однозначное соответствие между вось­меричными цифрами и числами двоичной системы. Каждая восьмеричная цифра может быть представлена трехразрядным двоичным числом, равным по величине этой цифре. То есть мы должны разбить исходное двоичное число на группы цифр по три в каждой. И здесь важно помнить, что разбиение должно проводиться от запятой в обе стороны. А если число целое, то справа. В нашей задаче получится так:

10010 111 010,100 110 1₂.

Как видите, слева и справа цифр не хватает до трех в группе. В этом случае надо добавить необходимое количество незнача­щих нулей слева и справа, что не изменит величины исходно­го двоичного числа. В итоге получим: 010 010 111 010, 100 110 100₂. Теперь каждую «тройку» цифр представим соответствую­щей цифрой восьмеричной системы:

010	010	111	010,	100	110	100
2	2	7	2,	4	6	4

Ответ: 10010111010,1001101₂ = 2272,464₈

 

 

---

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 363; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!