Контрольная работа № 1 состоит из трех заданий.
КОНТРОЛЬАЯ РАБОТА №1:
РАСЧЕТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАДЕЖНОСТИ
ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ДАННЫМ ОБ ОТКАЗАХ
ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА
ВВЕДЕНИЕ
По результатам многочисленных исследований годовая производительность автомобилей к концу срока их служба снижается в 1,5 - 2 раза по сравнению с первоначальной, снижается безопасность конструкции автомобилей. За срок службы автомобиля расходы на его техническое обслуживание и ремонт превосходят первоначальную стоимость в 5 - 7 раз. Поэтому важным направлением при эксплуатации автомобилей является точная и достоверная прогнозная оценка основных показателей надежности их деталей.
В первой работе рассматриается расчетное определение количественных характеристик надежности по статистическим данным об отказах изделия.
Умение рассчитывать указанные показатели дает возможность перейти к расчету других единичных и комплексных показателей надежности и формирует понимание основных закономерностей изменения исправности и работоспособности подвижного состава автомобильного транспорта.
Краткие теоретические сведения
К характеристикам надежности невосстанавливаемых технических объектов относятся вероятность безотказной работы P(t), средняя наработка до отказа Тср, плотность распределения наработки до отказа (частота отказов) f(t), интенсивность отказов l(t). Рассмотрим эти показатели более подробно. Приведем вероятностные и статистические определения.
|
|
|
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет, т. е. технический объект не откажет в течение времени t или что время Т, работы до отказа технического объекта больше времени его функционирования t. Вероятность безотказной работы является убывающей функцией времени.
Если считать, что машина может находиться только в одном из двух состояний, относящихся к работоспособности (работоспособном или неработоспособном), то вероятность безотказной работы P(t) можно связать с вероятностью отказа следующими соотношениями:
P (t) + F (t) = 1 или P(t) = 1 - F(t), (1.1)
где F(t) — вероятность отказа, равная вероятности того, что наработка до отказа будет меньше текущего значения t.
Показатели надежности, определенные по статистическим данным об отказах, полученным из эксперимента или эксплуатации, в дальнейшем будем обозначать звездочкой.
Статистически вероятность безотказной работы для наработки t определяется по формуле:
, (1.2)
|
|
|
где Nр(t) - число изделий, работоспособных на момент времени t;
N0 – число всех изделий, поставленных на испытания.
Среднее время безотказной работы является интегральным показателем надежности
. (1.3)
Статистическая оценка Т*ср может быть получена по результатам наблюдения за эксплуатацией машин следующей зависимостью:
(1.4)
где N0 — число испытуемых образцов техники; ti — время безотказной работы i-го образца.
Формула (1.4) не несет в себе методической ошибки, однако расчеты с ее помощью обычно трудоемки и часто приводят к неверным результатам в силу технических ошибок.
Упростить и ускорить вычисления можно путем использования преобразования результатов наблюдений (совокупности значений ti) в статистический ряд. С этой целью весь диапазон наблюдаемых значений наработок делят на m интервалов или «разрядов» и подсчитывают число попаданий nj, приходящихся на каждый j-й интервал.
Для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех ее значений, принадлежащих j -му интервалу, принимают его середину`t j. Тогда средняя наработка до отказа определяется как
|
|
|
, (1.5)
где qj – статистическая вероятность попадания наработки в j -й интервал, расчет которой производится по формуле, аналогичной формуле (1.2):
, (1.6)
где nj – число попаданий, приходящихся на каждый j-й интервал;
N0 – число всех изделий, поставленных на испытания.
Плотность распределения наработки до отказа(частота отказов) наиболее полно характеризует надежность техники в данный момент (точечная характеристика). Она связана с вероятностью отказа и безотказной работы изделия соотношением:
. (1.7)
Статистически f(t) определяется отношением числа отказавших образцов изделий в единицу времени к числу испытуемых образцов при условии, что отказавшие образцы не восполняются исправными:
, (1.8)
где Nр(t) – число изделий, работоспособных на момент времени t;
|
|
|
Nр (t + Dt) – число изделий, работоспособных на момент времени (t + Dt);
N0 – число образцов, первоначально поставленных на испытания.
Интенсивность отказовl(t) – условная плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Ее определяют как отношение плотности распределения к вероятности безотказной работы объекта:
. (1.9)
Другими словами, интенсивность отказов характеризует долю изделий, отказывающих в единицу времени, начиная с момента времени t, отнесенную к числу изделий, работоспособных в момент t.
Статистически интенсивность отказов есть отношение числа отказавших образцов техники в единицу времени к среднему числу образцов, исправно работающих на интервале [t, t + Dt]:
, (1.10)
где Nр(t) – число изделий, работоспособных на момент времени t;
Nр (t + Dt) – число изделий, работоспособных на момент времени (t + Dt);
– среднее число исправно работающих образцов на интервале [t, t + Dt].
Примеры
Пример 1: В течение месяца наблюдение велось за 10 автомобилями. За период наблюдения отказал 1 автомобиль. Определить вероятность безотказной работы за период наблюдения и вероятность отказа.
По статистическим данным об отказах, полученным из эксперимента или эксплуатации, функция P(t) определяется статистической оценкой по формуле (1.2):
,
где No – общее число образцов, находящихся на испытании;
N(t) – число исправно работающих образцов в момент времени t;
n(t) – число отказавших образцов в течение времени t.
Вероятность отказа, согласно (1.2):
F*(t) = 1 – P*(t) = 1 – 0,9 = 0,1.
Здесь и далее звездочкой обозначаются величины, полученные по статистическим данным.
Вероятность безотказной работы за месяц P*(t) = 0,9.
Вероятность отказа F*(t) = 0,1.
Пример 2: Имеем массив значения наработок до отказа находившейся под контролем партии топливных форсунок дизелей автомобилей из N0 = 50 значений:
| Наработки до отказа Т·10-3, ч: |
| 5, 10, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 12, 4, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 11, 4, 6, 5, 7, 8, 3, 4, 6, 8, 7, 11, 6, 1, 5,2, 7, 6, 9, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10, 5, 1, 7, 9, 3, 8, 1, 4 |
Требуется определить статистические вероятности безотказной работы Р*(t) и отказа F*(t) форсунки для заданного значения времени t = 7,5·103 ч.
Затем для заданной наработки t требуется рассчитать математическое ожидание числа работоспособных устройств `Nр (t) при общем объеме партии находившихся в эксплуатации форсунок Nп, равном 300.
Решение: Наработка исследуемых топливных форсунок до отказа есть непрерывная случайная величина. Статистически вероятность безотказной работы форсунки для наработки t определяется по формуле (1.2):
где Nр(t) - число форсунок, работоспособных на момент времени t, оноравно количеству значений наработок, превышающих t (они выделены курсивом). В нашем случае Nр(7,5·103) = 14.
Статистически вероятность безотказной работы форсунки для наработки 7,5·103 ч:
Статистическая вероятность отказа форсунки за наработку 7,5·10-3 ч: 
Проверка: P*(7,5·103) + F*(7,5·103) = 0,28 + 0,72 = 1.
Будем считать, что условия опыта, включающего N0 наблюдений, позволили однозначно определить вероятность безотказной работы форсунки, т.е. P*(t) = P(t) = 1 - F(t). Здесь F(t) - функция распределения случайной величины «наработка до отказа», определяющая вероятность события T ≤ t при N0 → ∞ .
Тогда с учетом формулы (1.2) математическое ожидание числа форсунок `Np(t), работоспособных к наработке t, определяется как
`Np(t) = Р*(t) Nп = 0,28·300 = 84,
где Nп = 300 – заданный объем партии.
Пример 3. Требуется рассчитать среднюю наработку до отказа Тср рассматриваемых форсунок (пример 2). Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям Т, указанным в таблице,
а затем с использованием статистического ряда. Оценить ошибку вычислений при использовании статистического ряда.
Решение:Для вычислений среднего значения Тср случайной величины Т непосредственно по ее выборочным значениям t1, t2, …, ti, …, 
используют формулу (1.4)
Уточним, что здесь N0 равно количеству значений наработок в массиве Т в таблице.
5, 10, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 12, 4, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 11, 4, 6, 5, 7, 8, 3, 4, 6, 8, 7, 11, 6, 1, 5,2, 7, 6, 9, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10, 5, 1, 7, 9, 3, 8, 1, 4
Для выполнения второй части задания результаты наблюдений (массива Т значений ti) преобразуются в статистический ряд. Весь диапазон наблюдаемых значений наработок форсунокделится на m интервалов и подсчитывается число попаданий nj, приходящихся на каждый j-й интервал.
Результаты такого преобразования удобно записывать в форме, соответствующей таблице 1.1. Длины ∆t всех интервалов чаще всего принимают одинаковыми, а число разрядов m обычно устанавливают порядка 10. Для выполнения данного задания примем ∆t = 3·103 ч, m = 4.
Нижнюю границу первого интервала Т0 установим равной 0,5·103 ч.
В таблице 1.1 указаны результаты систематизации в виде статистического ряда 50 значений случайной величины, распределенной на интервале [0,5·103 ч; 12,5·103 ч]. Заполнять таблицу несложно. Последовательно просматривая массив значений {ti}, оценивают, к какому интервалу относится каждое число. Факт принадлежности числа к определенному интервалу отмечают чертой в соответствующей строке таблицы. Затем подсчитывают n1, …, nj,…, nm - число попаданий значений случайной величины (число черточек) соответственно в 1-й, …, j-й,…, m-й интервал.
Правильность подсчетов определяют, используя следующее соотношение: 
.
Таблица 1.1 - Преобразование значений наработки до отказа в
статистический ряд
| Интервал | Число попаданий в интервал | Статистическая вероятность | |||
| № пп | Нижняя и верхняя границы, 10-3 ч | Середина интервала tj ∙10-3 ч | nj | ||
| 1 | 0,5 – 3,5 | 2 | ///// ///// | n1 = 10 | q1 = 0,2 |
| 2 | 3,5 – 6,5 | 5 | ///// ///// ///// ///// | n2 = 20 | q2 = 0,4 |
| 3 | 6,5 – 9,5 | 8 | ///// ///// ///// | n3 = 15 | q3 = 0,3 |
| 4 | 9,5 – 12,5 | 11 | ///// ///// ///// ///// | n4 = 5 | q4 = 0,1 |
Статистический ряд следует изобразить графически, как показано на
рисунке 1.1.
Рисунок 1.1 – Статистический ряд наблюдений
С этой целью по оси абсцисс следует отложить интервалы, и на каждом интервале построить прямоугольник, высота которого равна статистической вероятности попадания случайной величины на данный интервал. Здесь T0, …, Tj, …, Tm соответственно верхние границы 1-го, …, j-го, …, m-го интервалов.
Статистическая вероятность qj попадания случайной величины на
j-й интервал рассчитывается по формуле (1.6):
Для интервала 1:
Аналогично производится расчет для остальных интервалов.
Правильность расчетов можно проверить, используя выражение
Для расчета среднего значения случайной величины в качестве «представителя» всех ее значений, принадлежащих j-му интервалу, принимают его середину`tj. Тогда средняя наработка форсунок до отказа определяется по формуле
ч.
Расчет с использованием данной формулы вносит некоторую методическую ошибку. Однако ее значение обычно пренебрежимо мало. Эту ошибку можно оценить по формуле:
где Тср(I) и Тср (II) - средние значения наработки до отказа, соответственно вычисленные непосредственно по выборочным значениями и определенные с использованием статистического ряда.
Пример 4. Для условий примера 2 требуется рассчитать интенсивность отказов форсунок λ(t) для всех 4-х интервалов и ∆t = 3·103ч.
Решение:Вычислим значения интенсивности отказов l*(t), воспользовавшись выражением (1.10), преобразовав его следующим образом:
где Nсрi — среднее число работоспособных объектов на временном интервале i,
ni — число отказов за период Dt в данном интервале.
В первом временном интервале произошло 10 отказов, при этом в начале интервала число исправных форсунок N(0) = N0 = 50, а в конце интервала
N (100) = N0 - 10 = 40. Тогда
На втором интервале
Интенсивности отказов l*3 и l*4 определяются аналогично.
Контрольная работа № 1 состоит из трех заданий.
Номер варианта заданий определяется по номеру студента в списке группы.
Задание 1. В таблице 1 приведены значения наработок до отказа в находившейся под контролем партии топливных форсунок дизелей автомобилей. Требуется:
- определить статистические вероятности безотказной работы Р*(t) и отказа F*(t) форсунки для заданного значения времени t, указанного в таблице 1;
- рассчитать для заданной наработки t математическое ожидание числа работоспособных устройств `Nр (t) при общем объеме партии находившихся в эксплуатации форсунок Nп, указанном в таблице 1.
Таблица 1
Значения наработки устройства до отказа и заданные
значения времени t , Т0 , объем партии, Nп
| Номер варианта задания | Массив значений наработки до отказа Т·10-3, ч | Заданное значение t ·10-3, ч | Значение Т0·10-3, ч | Объем партии Nп |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 11, 9, 12, 16, 7, 8, 10, 11, 15, 8, 12, 14, 6, 10, 9, 10, 16, 11, 10, 13, 15, 11, 13, 12, 9, 11, 13, 12, 13, 11, 12, 8, 10, 15, 16, 8, 10, 7, 12, 14, 5, 16, 13, 13, 9, 6, 11, 9, 12, 14 | 12,5 | 4,5 | 100 |
| 2 | 12, 17, 9, 11, 8, 13, 15, 6, 17, 14, 14, 10, 7, 16, 10, 13, 15,10, 12, 13, 17, 8, 9, 11, 12, 16, 9, 13, 15, 7, 11, 10, 11, 17,12, 11, 14, 16, 12, 14, 13, 10, 12, 14, 13, 14, 12, 13, 9, 11 | 13,5 | 5,5 | 200 |
| 3 | 13, 12, 15, 17, 13, 15, 14, 11, 13, 15, 14, 15, 13, 14, 10, 12,17, 18, 10, 12, 9, 14, 16, 7, 18, 15, 15, 11, 8, 13, 11, 14, 16,11, 13, 14, 18, 9, 10, 12, 13, 17, 10, 14, 16, 8, 12, 11, 12, 18 | 14,5 | 6,5 | 300 |
| 4 | 14, 13, 16, 18, 14, 16, 15, 12, 14, 16, 15, 16, 14, 15, 11, 13, 18, 19, 11, 13, 10, 15, 17, 8, 19, 16, 16, 12, 9, 14, 12, 15, 17, 12, 14, 15, 19, 10, 11, 13, 14, 18, 11, 15, 17, 9, 13, 12, 13, 19 | 15,5 | 7,5 | 400 |
| 5 | 5, 10, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 12, 4, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 11, 4, 6, 5, 7, 8, 3, 4, 6, 8, 7, 11, 6, 1, 5, 2, 7, 6, 9, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10, 5, 1, 7, 9, 3, 8, 1, 4 | 6,5 | 0,5 | 500 |
| 6 | 6, 9, 7, 2, 5, 13, 10, 6, 6, 3, 8, 7, 11, 8, 5, 4, 12, 5, 7, 6, 8, 9, 4, 5, 7, 9, 8, 12, 7, 2, 6, 3, 8, 7, 10, 3, 6, 10, 5, 7, 9, 11, 6, 2, 8, 10, 4, 9, 2, 5 | 7,5 | 1,5 | 600 |
| 7 | 7, 7, 11, 14, 6, 3, 8, 10, 7, 12, 8, 9, 4, 9, 6, 5, 13, 6, 8, 7, 9, 10, 5, 6, 8, 10, 9, 13, 8, 3, 7, 4, 9, 8, 11, 4, 7, 11, 6, 8, 10, 12, 7, 3, 9, 11, 5, 10, 3, 6 | 8,5 | 2,5 | 700 |
| 8 | 8, 4, 10, 12, 6, 11, 4, 7, 9, 11, 13, 10, 14, 9, 4, 8, 5, 10, 9, 12, 5, 8, 12, 7, 13, 9, 10, 5, 8, 8, 12, 15, 7, 4, 9, 11, 8, 10, 7, 6, 14, 7, 9, 8, 10, 11, 6, 7, 9, 11 | 9,5 | 3,5 | 800 |
| 9 | 9, 11, 12, 7, 8, 10, 12, 14, 12, 11, 6, 9, 9, 13, 16, 8, 5, 10, 12, 9, 11, 8, 7, 15, 8, 10, 11, 15, 10, 5, 9, 6, 11, 10, 13, 6, 9, 13, 8, 10, 12, 14, 9, 5, 11, 13, 7, 10, 5, 8 | 10,5 | 4,5 | 900 |
| 10 | 10, 15, 7, 9, 6, 11, 13, 4, 15, 12, 12, 8, 5, 14, 8, 11, 13, 8, 10, 11, 15, 6, 7, 9, 10, 14, 7, 11, 13, 5, 9, 8, 9, 15, 10, 9, 12, 14,10, 12, 11, 8, 10, 12, 11, 12, 10, 11, 7, 9 | 11,5 | 3,5 | 1000 |
| 11 | 11, 9, 12, 16, 7, 8, 10, 11, 15, 8, 12, 14, 6, 10, 9, 10, 16, 11, 10, 13, 15, 11, 13, 12, 9, 11, 13, 12, 13, 11, 12, 8, 10, 15, 16, 8, 10, 7, 12, 14, 5, 16, 13, 13, 9, 6, 11, 9, 12, 14 | 12,5 | 4,5 | 100 |
| 12 | 12, 17, 9, 11, 8, 13, 15, 6, 17, 14, 14, 10, 7, 16, 10, 13, 15,10, 12, 13, 17, 8, 9, 11, 12, 16, 9, 13, 15, 7, 11, 10, 11, 17,12, 11, 14, 16, 12, 14, 13, 10, 12, 14, 13, 14, 12, 13, 9, 11 | 13,5 | 5,5 | 200 |
| 13 | 13, 12, 15, 17, 13, 15, 14, 11, 13, 15, 14, 15, 13, 14, 10, 12,17, 18, 10, 12, 9, 14, 16, 7, 18, 15, 15, 11, 8, 13, 11, 14, 16,11, 13, 14, 18, 9, 10, 12, 13, 17, 10, 14, 16, 8, 12, 11, 12, 18 | 14,5 | 6,5 | 300 |
| 14 | 14, 13, 16, 18, 14, 16, 15, 12, 14, 16, 15, 16, 14, 15, 11, 13, 18, 19, 11, 13, 10, 15, 17, 8, 19, 16, 16, 12, 9, 14, 12, 15, 17, 12, 14, 15, 19, 10, 11, 13, 14, 18, 11, 15, 17, 9, 13, 12, 13, 19 | 15,5 | 7,5 | 400 |
| 15 | 5, 10, 6, 7, 2, 5, 5, 9, 12, 4, 1, 6, 8, 7, 4, 3, 11, 4, 6, 5, 7, 8, 3, 4, 6, 8, 7, 11, 6, 1, 5, 2, 7, 6, 9, 2, 5, 9, 4, 6, 8, 10, 5, 1, 7, 9, 3, 8, 1, 4 | 6,5 | 0,5 | 500 |
| 16 | 6, 9, 7, 2, 5, 13, 10, 6, 6, 3, 8, 7, 11, 8, 5, 4, 12, 5, 7, 6, 8, 9, 4, 5, 7, 9, 8, 12, 7, 2, 6, 3, 8, 7, 10, 3, 6, 10, 5, 7, 9, 11, 6, 2, 8, 10, 4, 9, 2, 5 | 7,5 | 1,5 | 600 |
| 17 | 7, 7, 11, 14, 6, 3, 8, 10, 7, 12, 8, 9, 4, 9, 6, 5, 13, 6, 8, 7, 9, 10, 5, 6, 8, 10, 9, 13, 8, 3, 7, 4, 9, 8, 11, 4, 7, 11, 6, 8, 10, 12, 7, 3, 9, 11, 5, 10, 3, 6 | 8,5 | 2,5 | 700 |
Задание 2. Для условий задания 1 требуется рассчитать среднюю наработку до отказа Тср рассматриваемых форсунок. Первоначально вычисления произвести непосредственно по выборочным значениям Т, указанным в таблице 1, а затем с использованием статистического ряда. Оценить ошибку вычислений при использовании статистического ряда. Статистический ряд следует изобразить графически.
Задание 3. Для условий задания 1 требуется рассчитать интенсивность отказов форсунок λ(t) для всех 4-х интервалов и ∆t = 3·103ч.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2241; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!