ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Nbsp;
Задачи на плоскость и прямую в пространстве
Цель настоящих методических указаний заключается в том, чтобы представить набор типовых задач по следующим разделам аналитической геометрии: «Плоскость», «Прямая в пространстве», «Плоскость и прямая». Предложенный набор упражнений ориентирован на освоение ключевых теоретических понятий и утверждений посредством приобретения практических навыков решения стандартных задач по курсу. При этом не требуется применения каких-либо нетрадиционных приемов или теоретических утверждений, выходящих за рамки курса.
ПЛОСКОСТЬ
Основные сведения из теории
В декартовой системе координат плоскость может быть задана уравнением одного из следующих видов.
1. Общее уравнение плоскости:
Вектор перпендикулярен плоскости.
2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно нормальному вектору , имеет вид
(1.2)
3. Уравнение плоскости в отрезках на осях:
(1.3)
Здесь величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях соответственно, т. е. плоскость проходит через три точки: , , .
Кроме того, понадобятся следующие формулы, доказательство которых можно найти в теоретическом курсе.
4. Угол между двумя плоскостями
|
|
и
равен углу между нормальными векторами и :
; (1.4)
Плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны ( ):
.
Плоскости и перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны ( ):
5. Расстояние от точки до плоскости : равно
(1.5)
6. Уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей
и
,
следует искать в виде
, (1.6)
где и некоторые числа.
Множество плоскостей, проходящих через линию пересечения двух заданных плоскостей, называется пучком плоскостей.
Решение типовых задач
Задача 1.1.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
, если задан нормальный вектор .
Решение. Воспользуемся уравнением (1.2):
Подставляя координаты вектора и точки , получим
Ответ:
Задача 1.2.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и (их называют направляющими векторами плоскости).
Решение.
Первый способ. Пусть – произвольная точка на плоскости. Тогда векторы и (рис. 1.2) должны быть компланарны, т. е. их смешанное произведение должно быть равно 0: . Запишем смешанное произведение через координаты векторов. Получим
|
|
Подставим заданные координаты и вычислим определитель разложением по элементам первой строки:
,
или
.
Окончательно:
Второй способ. Найдем сначала вектор (рис. 1.1). Очевидно, что вектор нормали к плоскости должен быть ортогонален также векторам и . Поэтому его можно выбрать как векторное произведение
Затем выпишем общее уравнение плоскости, используя , (см. формулу (1.2)). Получим
Ответ:
Полезная формула. Если плоскость проходит через точку , и – ее направляющие векторы, то уравнение плоскости имеет вид
(1.7)
Замечание. Первый способ решения задачи предпочтительнее. Второй способ отличается лишь тем, что в нем смешанное произведение трех векторов , , вычисляется последовательно. А именно: сначала находим векторное произведение и затем результат умножаем скалярно на вектор . В дальнейшем при решении задач будем придерживаться первого способа.
Задача 1.3.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно вектору .
|
|
|
Подставляя заданные координаты, получим
или
Окончательно:
Ответ:
Полезная формула. Если плоскость проходит через две заданные точки и параллельно вектору , то ее уравнение имеет вид
(1.8)
Задача 1.4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости
Решение. В качестве вектора искомой плоскости можно выбрать нормальный вектор заданной плоскости, так как эти плоскости параллельны. Таким образом, имеем и . Подставляя координаты и в уравнение (1.2), получим
Окончательно:
Ответ:
Задача 1.5.Найти величину острого угла между плоскостями и
Решение. Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами и (см. формулу 1.4)).
Отсюда
Ответ:
Задача 1.6.Чему равен угол между плоскостями и ?
Решение. Найдем скалярное произведение нормальных векторов и
Следовательно, эти плоскости перпендикулярны:
Ответ:
Задача 1.7.Составить уравнение плоскостей, которые проходят через точку и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.
|
|
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках на осях (1.3). Рассмотрим сначала случай 1: (рис. 1.4). Тогда получим
Подставляя в уравнение координаты точки , найдем
Уравнение плоскости: Затем следует аналогично рассмотреть случаи 2: 3: 4: Получим четыре различные плоскости.
Ответ:
Задача 1.8.Построить плоскости, заданные уравнениями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) плоскость , проходящую через точку параллельно плоскости ; 5) плоскость , проходящую через точку и ось .
Решение. 1. Плоскость параллельна плоскости и отсекает на оси отрезок, равный (рис. 1.5).
2. Плоскость параллельна оси , пересекает плоскость по прямой , отсекая на осях и отрезки, равные 2 (рис. 1.6).
3. Уравнение плоскости запишем в отрезках на осях (1.3): . Плоскость отсекает на осях , , отрезки, длины которых равны соответственно 4, 3, 2 (рис. 1.7).
|
4. Так как плоскость параллельна плоскости , то ее нормальный вектор можно выбрать в виде . Тогда согласно формуле (1.2) уравнение плоскости будет , где по условию задачи. Таким образом, получаем (рис. 1.8).
5. Плоскость проходит через ось . Поэтому ее нормальный вектор имеет вид . Так как плоскость проходит через начало координат , то коэффициент в уравнении плоскости (1.1) равен 0. Подставляя координаты точки в уравнение , получаем (рис. 1.9).
Задача 1.9.Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
Решение. Пусть произвольная точка на плоскости. Тогда векторы , , компланарны (рис. 1.10). Запишем условие компланарности этих векторов через их координаты:
Подставим значения координат и найдем уравнение плоскости:
или
Ответ:
Полезная формула. Если плоскость проходит через три заданные точки не лежащие на одной прямой, то ее уравнение имеет вид
(1.9)
Задача 1.10.Даны координаты вершин тетраэдра: , , , (рис. 1.11). Составить уравнения его граней.
Решение. Найдем уравнение грани . Для этого подставим в формулу (1.9) координаты вершин :
,
или
.
Уравнение искомой грани имеет вид
Уравнения граней , , найдите самостоятельно.
Ответ:
.
Задача 1.11.Найти расстояние от точки до плоскости
Решение. Используем формулу (1.5): .
Ответ:
Задача 1.12. Найти расстояние между параллельными плоскостями
.
Решение.
Первый способ. Выберем произвольно точку на плоскости . Пусть, например, Тогда Следовательно, Найдем расстояние от точки до плоскости , по формуле (1.5):
Второй способ. Очевидно, что плоскости и лежат по одну сторону относительно начала координат
Обозначим через расстояние от начала координат до плоскости , через – до плоскости (рис. 1.12).
,
Расстояние между плоскостями равно . Отсюда находим
Ответ:
Замечание. Если бы плоскости находились по разные стороны от начала координат (рис. 1.13), то расстояние между ними было бы равно
ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Основные сведения из теории
Прямая в пространстве может быть задана уравнением одного из следующих видов.
1. Общие уравнения прямой:
(2.1)
где коэффициенты не пропорциональны коэффициентам . Это равносильно заданию прямой как линии пересечения двух плоскостей.
2. Параметрические уравнения прямой:
(2.2)
Здесь – координаты какой-либо точки принадлежащей прямой – координаты вектора , параллельного прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Переменная – параметр,
3. Канонические уравнения прямой:
(2.3)
4. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и :
(2.4)
Кроме того, при решении задач будут использоваться следующие формулы, доказательство которых можно найти в теоретическом курсе.
5. Угол между двумя прямыми
;
равен углу между направляющими векторами и :
(2.5)
Прямые и параллельны тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны ( ):
.
Прямые и перпендикулярны тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны ( ):
Решение типовых задач
Задача 2.1.Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей:
Решение. Прямая задана общими уравнениями (2.1). Найдем какую-нибудь точку на прямой. Выберем, например, . Другие координаты получим из системы уравнений Очевидно, что . Следовательно, . Затем находим направляющий вектор прямой. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то вектор ортогонален нормальным векторам этих плоскостей, т. е. (рис. 2.1). Поэтому за направляющий вектор можно принять
.
Подставляя координаты направляющего вектора и точки в уравнения прямой (2.3), получим
.
Ответ: .
Полезная формула. Если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей:
то ее направляющий вектор можно выбрать в виде
. (2.6)
Задача 2.2.Найти параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной вектору .
Решение. Известны точка и направляющий вектор прямой.
Согласно формуле (2.2) параметрические уравнения прямой имеют вид
Канонические уравнения получаем, используя формулу (2.3):
.
Ответ: .
Задача 2.3.Найти направляющий вектор прямой :
Решение. Прямая проходит через точку (2, 4) на плоскости и параллельна оси (рис. 2.2). Очевидно, что ее направляющий вектор можно выбрать в виде (0, 0, 1).
Ответ: (0, 0, 1).
.
Задача 2.5.Найти косинус острого угла между прямыми
: ; : .
Решение. Из уравнений прямых вытекает, что направляющий вектор прямой равен , направляющий вектор прямой равен . Для удобства вычислений направляющий вектор прямой выберем в виде . Он коллинеарен исходному. Используя формулу (2.5), получаем
Ответ:
Задача 2.6.Показать, что прямая перпендикулярна прямой
Решение. Направляющий вектор первой прямой, очевидно, равен , направляющий вектор второй прямой найдем с помощью формулы (2.6):
.
Вычислим скалярное произведение векторов и
Ответ: прямые перпендикулярны.
Задача 2.7.Проверить, лежат ли три данные точки , и на одной прямой.
Решение. Напишем уравнения прямой, проходящей через две заданные точки и , согласно формуле (2.4). Получим
.
Проверим, удовлетворяют ли координаты точки этим уравнениям. После подстановки получаем: Следовательно, точка не лежит на прямой.
Ответ: не лежат.
Задача 2.8.Найти канонические уравнения прямых , проходящих через точку параллельно: 1) оси ; 2) оси ; 3) оси .
Решение. Найдем уравнения прямой , проходящей через точку параллельно оси . Ее направляющий вектор можно выбрать в виде (рис. 2.3).
Используя формулу (2.3), получим
: .
Таким же образом находим и .
: , ;
: , .
Ответ: : ; : ; : .
Задача 2.9.Найти точки пересечения прямой : с плоскостями координат.
Решение. Для того чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью , в канонических уравнениях прямой следует положить . Получим , откуда , . Таким образом, прямая пересекает плоскость в точке . Аналогично находим точки пересечения с плоскостями и .
Ответ: ; ; .
Задача 2.10.Известны координаты вершин тетраэдра: . Составить канонические уравнения его ребер и найти их длины.
Решение. Условие такое же, как и в задаче 1.10 (рис. 2.4). Найдем уравнения ребра . Для этого подставим координаты вершин и в формулу (2.4). Получим . Теперь можно определить длину ребра :
.
Уравнения и длины остальных ребер найдите самостоятельно.
Ответ: 1) : , ;
2) : , ;
3) : , ;
4) : , ;
5) : , ;
6) : , .
Задача 2.11.Найти точку пересечения двух прямых
: : .
Решение. Перепишем уравнения прямых в параметрическом виде
: :
Для нахождения точки пересечения этих прямых нужно решить систему уравнений:
Очевидно, она имеет единственное решение Подставляя значение параметра в параметрические уравнения прямой (или в уравнения прямой ), получим
Ответ: .
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Основные сведения из теории
Пусть прямая задана каноническими уравнениями
: ,
а плоскость – общим уравнением
: .
1. Угол между прямой и плоскостью равен углу между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости и вычисляется по формуле
. (3.1)
2. Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид
.
Оно равносильно условию ортогональности векторов и
3. Условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид
.
Оно равносильно условию коллинеарности векторов и .
4. Условие принадлежности прямой плоскости записывается в виде
(3.2)
где координаты точки , принадлежащей прямой.
Решение типовых задач
Задача 3.1.Найти острый угол между прямой и плоскостью .
Решение. Направляющий вектор прямой равен . Нормальный вектор плоскости равен . По формуле (3.1)
, .
Ответ:
Задача 3.2.При каком значении прямая : параллельна плоскости : ?
Решение. Согласно условию задачи прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Нормальный вектор первой плоскости равен , нормальный вектор второй плоскости равен . Направляющий вектор прямой равен (см. формулу (2.6)):
.
Условие параллельности прямой и плоскости это условие ортогональности направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости , т. е. . Умножая, получаем
.
Таким образом, уравнение плоскости будет .
Ответ:
Задача 3.3.При каких значениях и прямая лежит в плоскости ?
Решение. Прямая будет параллельна плоскости, если ее направляющий вектор будет ортогонален нормальному вектору плоскости , т. е. . Запишем это условие:
Прямая будет принадлежать плоскости, если координаты точки , через которую проходит прямая, удовлетворяют уравнению плоскости: . Отсюда получаем, что
При решении задачи мы воспользовались формулой (3.2).
Ответ:
Задача 3.4.Найти точку пересечения прямой : и плоскости :
Решение. Запишем уравнения прямой в параметрическом виде
Подставляя выражения для в уравнение плоскости , получим
Теперь следует подставить значение параметра в параметрические уравнения прямой . Находим .
Ответ:
Полезная формула. Если прямая пересекается с плоскостью , то точке пересечения отвечает значение параметра
. (3.3)
Задача 3.5.Найти уравнение плоскости , проходящей через прямую : перпендикулярно плоскости :
Решение. Плоскость имеет два направляющих вектора и и проходит через точку (рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение будет иметь вид
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Задача 3.6.Известны координаты вершин тетраэдра: Найти уравнение и длину его высоты .
|
|
: .
Высоту можно найти по формуле (1.5), определяющей расстояние от точки до грани : .
.
(Напомним, что – это коэффициенты в общем уравнении плоскости , и они равны , , , .)
Ответ: : ; .
Задача 3.7.Даны прямые : и : . Найти уравнение плоскости проходящей через прямую параллельно прямой
Решение. Векторы и являются направляющими векторами плоскости (рис. 3.3). Точка принадлежит плоскости . Решаем задачу, используя формулу (1.9):
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Задача 3.8.Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку .
Решение. Прямая проходит через точку и ее направляющий вектор равен . Произвольная точка будет принадлежать искомой плоскости , если векторы и компланарны: (рис. 3.4), т. е.
.
Это и есть уравнение плоскости . Подставляем координаты:
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через прямую : и точку , не лежащую на этой прямой, имеет вид
(3.4)
Задача 3.9.Доказать, что прямые
: :
лежат в одной плоскости и найти уравнение этой плоскости.
Решение. Первая прямая проходит через точку и ее направляющий вектор . Вторая прямая проходит через точку и ее направляющим вектором является . Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы , и компланарны: (рис. 3.5), т. е.
.
Подставим заданные координаты:
.
Это означает, что прямые и лежат в одной плоскости. Векторы и не коллинеарны. Следовательно, эти прямые пересекаются.
Найдем уравнение плоскости , в которой лежат прямые и . Очевидно, что произвольная точка будет принадлежать плоскости, если векторы , , компланарны: (рис. 3.6), т. е.
.
Это и есть уравнение искомой плоскости. Подставляем координаты и вычисляем определитель разложением по элементам первой строки. Получаем
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезные формулы. Две прямые
: :
лежат в одной плоскости, если
. (3.5)
Если прямые пересекаются, то уравнением этой плоскости будет
. (3.6)
Замечание. Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в одной плоскости) тогда и только тогда, когда и равенство (3.5) несправедливо.
Задача 3.10.Найти уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые:
: : .
|
.
Подставляя заданные координаты, находим уравнение плоскости
,
или
.
Окончательно: .
Ответ: .
Полезная формула. Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые ( , )
: : ,
имеет вид
. (3.7)
Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10 без труда можно указать два направляющих вектора искомых плоскостей. Поэтому решение этих задач аналогично решению задачи 1.2. Если эти направляющие векторы явно не обозначены в ходе решения, то найдите их самостоятельно. Подумайте, что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 1253; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!