Вращение тела вокруг неподвижной оси

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Nbsp; Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное Учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» Е.М.Гребелюк, М.В.Силков, Э.А.Дорошевич

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Конспект лекций

Омск 2005

УДК531 (075) 3

ББК22.21 я 73

Г79

Рецензенты:

В.Н. Тарасов, д-р техн.наук, профессор СибАДи

А.В. Бородин, д-р техн.наук, профессор ОмГУПС.

Гребелюк Е.М., Силков М.В., Дорошевич Э.А.

Г79 Теоретическая механика: Конспект лекций. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. – 61 с.

В конспекте лекций по курсу «Теоретическая механика» рассмотрены основные положения: теоремы, правила, формулы, алгоритмы расчета. Они проиллюстрированы примерами решения задач.

Конспект лекций предназначен для дистанционного обучения студентов очной и заочной форм обучения всех специальностей.

технический университет, 2005

Общий курс теоретической механики состоит из трех разделов: статика, кинематика и динамика. В первой части рассматриваются основные теоремы и положения, а также приведены формулы для решения наиболее распространенных типов задач статики, кинематики и динамики. При этом не рассматривается подробно вывод формул или доказательства применяемых правил, т.к. это подробно освещено в учебной литературе по теоретической механике.

СТАТИКА

Статикой называют раздел теоретической механики, в котором изучают способы преобразования системы сил, приложенных к твердому телу, в эквивалентные, а также условия равновесия сил приложенных к телу. Из данного определения видно, что основным понятием при изучении статики, является понятие силы. В статике под силой понимается мера механического взаимодействия материальных тел. Сила является величиной векторной, т.е. определяется следующими тремя факторами:

– точкой приложения силы;

– направлением силы;

– численным значением силы.

Следует отметить, что сила является вектором скользящим, т.е. точка её приложения может быть расположена в любом месте на линии её действия. Так как сила является векторной величиной, то при их сложении пользуются соответствующими правилами сложения векторов.

Введем следующие основные определения для сил. Совокупность нескольких сил, действующих на тело, будем называть системой сил. Системы сил, под действием каждой из которых тело находится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквивалентными. Сила, эквивалентная некоторой системе сил, называется равнодействующей. Сила равная по модулю равнодействующей и направленная по линии её действия, но в противоположную сторону, называется уравновешивающей. Система сил, которая, будучи приложенной, к телу, находящемуся в покое, не выводит его из этого состояния, называется системой взаимно уравновешенных сил.

Силы, действующие на механическую систему делятся на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на точки и тела со стороны точек или тел, не принадлежащих этой системе. Внутренними будем называть силы, взаимодействия между точками, принадлежащими данной системе.

Связи и реакции связей

Тело считается свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Если же перемещения тела ограничены другими телами, то его называют несвободным, а тела ограничивающие перемещения данного тела называются связями. Сила, с которой тело, осуществляющее связь, действует на данное рассматриваемое тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении, называется реакцией этой связи. Направление реакции связи противоположно тому направлению, по которому связь препятствует двигаться данному телу.

В зависимости от характера закрепления тела, или от вида опоры можно указать следующие виды связей и направления их реакций:

1. Тело опирается на неподвижную поверхность в точке (рис. 1).

2. Тело опирается в трех точках по схеме (рис. 2).

3. Связь осуществляется при помощи гибких нитей, тросов. Реакции таких связей направлены по направлению нитей (рис. 3).

4. Связи, используемые для балочных конструкций (рис. 4).

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Опора А называется шарнирно-неподвижной и имеет две составляющие опорной реакции, опора В называется шарнирно подвижной и имеет одну составляющую, направленную перпендикулярно опорной поверхности.

5. Связь, называемая жесткой заделкой (рис. 5) имеет три составляющих опорной реакции.

Одной из основных задач механики является определение опорных реакций. Для решения данной задачи используют принцип освобождаемости от связей: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к данному телу. Данный принцип позволяет действительную модель нагружения заменить расчетной схемой.

Рис. 5

СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Сходящимися называются силы, если их линии действия пересекаются в одной точке. При решении задач на систему, сходящихся сил используются два способа: геометрический и аналитический. Геометрический метод основан на определении, что для уравновешенной системы сходящихся сил силовой многоугольник должен быть замкнутым.

В основу аналитического метода положено понятие проекции силы на ось. Проекцией силы на ось будем называть длину отрезка оси, заключенную между проекциями начала и конца данной силы на ось, взятую с соответствующим знаком (рис. 6).

Из рис. 6 видно, что F_x = F∙ cos a,

F_y = F∙sin a. Принимая во внимание, что для системы сходящихся сил, находящихся в равновесии, проекции равнодействующей на соответствующие координатные оси будут равны нулю, получаем аналитические условия равновесия системы:

Задача 1

Однородная балка длины и веса Р удерживается в равновесии нитью ВС и шарниром А. Найти натяжение нити и реакцию шарнира А, если (рис. 7). Реакция нити ВС направлена по нити, а реакция шарнира А определяется в соответствии с теоремой о трех силах: если свободное твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке. Заменив действие связей их реакциями, мы можем перейти от реальной схемы нагружения к расчетной (рис. 7, а). Учитывая, что сила Р приложена в середине балки и следовательно точка К (точка пересечения сил), делит отрезок ВС пополам, определим углы в полученной фигуре. Решение данной задачи может быть проведено двумя методами: геометрическим и аналитическим.

Рис. 7 Рис. 7, а

Геометрический метод.

Из сил, действующих на тело, строим силовой треугольник, который должен быть замкнутым, т.к. под действием этих сил тело находится в равновесии

(рис. 7, б). Для этого откладываем силы по известным направлениям, в любом выбранном масштабе.

Таким образом, задача определения опорных реакций сводится к задаче решения полученного силового треугольника. Для решения воспользуемся теоремой синусов и составляем следующее соотношение:

откуда получаем

Рис. 7, б

Аналитический метод.

Для решения задачи составляются уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на оси координат. Направления осей показаны на рис.7, а.

(1)

(2)

Из первого уравнения получаем R_C =R_A. Из второго находим .

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ

Плоской называется такая система сил, линии действий которых расположены в одной плоскости. При рассмотрении плоской системы сил введем определения для нагрузок. Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на твердое тело

(рис. 8).

Плоскость, в которой расположена данная пара, называется плоскостью действия этой пары. Перпендикуляр, опущенный из точки приложения одной из сил на линию

действия другой называется плечом пары (d). Действие пары сил определяется моментом пары. Численное значение момента пары определяется как произведение модуля одной из сил на плечо этой пары.

Приведем следующие два свойства пар сил:

1. Данную пару, не изменяя её действия на тело, можно переносить как угодно в плоскости её действия.

2. Не изменяя действия данной пары на тело, можно изменять модуль сил и плечо этой пары, сохраняя неизменным модуль и направление вращения пары.

Другим важным понятием является момент силы относительно данной точки (рис. 9). Момент силы относительно данной точки равен произведению модуля силы на плечо, т.е. длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на линию действия силы. Следовательно, будем иметь

M_o(F)=±F∙h.

Момент силы считается положительным, если тело под действием данной силы стремится вращаться относительно точки О против часовой стрелки.

Отметим следующие свойства момента силы:

1. Момент силы относительно данной точки не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль линии действия силы.

2. Момент силы относительно данной точки обращается в нуль в том случае, когда линия действия силы проходит через эту точку.

При решении задач на плоскую систему сил пользуются уравнениями равновесия. Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на две координатные оси и сумма моментов относительно произвольно выбранной точки равнялись нулю

Существуют и две другие формы условий равновесия, но они используются гораздо реже.

Вторая форма условий равновесия: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил относительно каких-нибудь двух центров А и В и сумма их проекций на ось, не перпендикулярную к прямой АВ, были равны нулю.

Третья форма: для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех этих сил относительной любых трех центров А, В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

;

Задача 2

Лестница АВ длиной 2а и весом Р опирается на гладкий горизонтальный пол и гладкую вертикальную стену, на которой в точке Е стоит человек весом Q. Чтобы лестница не скользила, она привязана к стене веревкой ОД. Определить реакции в точках А и В (стены и пола), а также натяжение веревки, если углы a и b, образуемые лестницей и веревкой с плоскостью пола известны и если расстояние . Центр тяжести C лестницы находится в её середине (рис. 10).

Решение: Используя принцип освобождаемости от связей, убираем связи, а их действие заменяем соответствующими реакциями. Составляем уравнения равновесия. Оси координат указаны на рис. 10.

, (1)

(2)

(3)

Из первого уравнения получаем:

Из второго уравнения получаем:

Подставляем значения для R_A и R_B в уравнение (3) и находим значение для

Задача 3

Определить опорные реакции в балочной конструкции, приведенной на

рис. 11, если Р=2 кН, q = 3 кН/м, m = 5 кНм. Размеры приведены на рис.11.

Решение: Используем принцип освобождаемости от связей, для чего вместо связей укажем их реакции (рис. 11, а). Указав оси координат для расчетной схемы, составляем уравнения равновесия. В данной задаче имеется три составляющих неизвестных опорных реакций, следовательно, необходимо составить три уравнения равновесия.

Рис. 11

Распределенная нагрузка, т.е. нагрузка приходящаяся на единицу длины, задается интенсивностью q= Н/см. Грузовая нагрузка, которая представляется как сосредоточенная сила равна Q=q∙ℓ, прикладывается в центре тяжести фигуры, образованной распределенной нагрузкой.

, (1)

(2)

Рис. 11, а

При составлении третьего уравнения нужно учесть следующие два правила:

1. Момент от распределенной нагрузки равен, взятой с соответствующим знаком, площади грузовой нагрузки, умноженной на расстояние от центра тяжести грузовой нагрузки до рассматриваемой точки, относительно которой берется момент.

2. Если сила расположена под углом к координатным осям, то её необходимо разложить по проекциям на эти оси, а затем определять момент от каждой проекции в отдельности

(3)

Момент следует брать относительно той точки, в которой сходятся большее количество неизвестных опорных реакций. Из полученных уравнений определяем неизвестные опорные реакции в следующем порядке:

из уравнения (3):

из уравнения (1):

из уравнения (2):

Следует отметить, что если при решении задач опорная реакция получилась со знаком минус, то, следовательно, её направление первоначально было выбрано неверно и его следует сменить на противоположное.

Система связанных тел

Во многих инженерных задачах приходится рассматривать равновесие не только одного тела, но и равновесие некоторой конструкции состоящей из нескольких тел. В этом случае приходится рассматривать равновесие каждого тела в отдельности, учитывая при этом силы, которыми действуют друг на друга тела, входящие в рассматриваемую систему. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарнира, соприкасаться друг с другом и взаимодействовать одно с другим, вызывая определение силы взаимодействия. Эти силы, согласно аксиоме равенства действия и противодействия, всегда равны по модулю и противоположны по направлению.

Силы, с которыми тела, входящие в данную систему, действуют друг на друга, называются внутренними силами этой системы. Все остальные силы, включая сюда и реакции опор, называются внешними силами системы.

Если система находится в покое, то силы, приложенные к каждому из твердых тел, входящих в данную систему, уравновешиваются и, следовательно, для каждого из этих тел можно составить уравнения равновесия. В эти условия равновесия, для каждого тела в отдельности, войдут не только внешние силы, но и внутренние. Если же мы составляем уравнения равновесия для системы в целом, то внутренние силы, представляющие уравновешенную систему сил, в данные уравнения не войдут. Так для схемы, приведенной на рис. 12, .

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему на отдельные твердые тела, добавляя при этом к внешним силам, силы взаимодействия между телами (внутренние силы) и составлять соответственно уравнения равновесия для каждого тела. Учитывая при этом, что для равнодействующей внутренних сил неизвестен не только модуль, но и направление, их обычно представляют в виде двух составляющих, направленных по двум осям координат. Таким образом, для системы, состоящей из N тел, когда на каждое тело действует плоская система сил, можно составлять 3N уравнений равновесия и, следовательно, определять 3N неизвестных.

Задача 4

Составная балка состоит из двух участков АС и СД, соединенных в точке с шарниром (рис. 13). В точке А – неподвижная опора, в точке В – подвижная опора, конец Д балки поддерживается с помощью вертикальной тяги ДЕ. К балке СД приложена вертикальная сила F. Найти реакцию в шарнире ДЕ. Известно и .

Решение: Используя принцип освобождаемости от связей, заменим действие связей соответствующими реакциями. Реакцию в шарнире А представим в виде двух составляющих X_A и Y_A . Реакцию подвижной опоры обозначим R_B , а реакцию нити – Т. В шарнире С разделим балку на два тела: стержень АС и стержень СД и для каждого участка в точке С обозначим равнодействующую внутренних сил в виде X_C , Y_C и , .

Рис. 13

Составим уравнения равновесия для участка АС

(1)

(2)

(3)

Уравнения равновесия для участка СД

(4)

(5)

(6)

Учитывая равенства и получим:

Задача 5

Для данной стержневой конструкции, представленной на рис. 14, определить величины опорных реакций.

Решение: Стержневая конструкция состоит из двух частей АС и ВС. Используя принцип освобождаемости от связей, заменим опоры их реакциями. Для жестко защемленной опоры А имеем три составляющих опорной реакции, для шарнирно подвижной опоры В – одну опорную реакцию. В точке разделения конструкции С имеем по две составляющих (для каждого участка) реакций внутренних связей, который будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению.

Составим уравнения равновесия для участка АС.

(1)

(2)

(3)

Рис. 14

Составим уравнения равновесия для участка ВС.

(4)

(5)

(6)

Из полученных шести уравнений, учитывая при этом равенства , можно найти величины опорных реакций.

Произвольная система сил

Произвольной будем называть систему сил линии действия, которых расположены как угодно в пространстве. При изучении произвольной системы сил необходимо ознакомиться с понятием момента силы относительно оси.

Пусть известна сила F, произвольно расположенная в пространстве. Разложим эту силу на две составляющие: одну параллельную оси Z, и другую f, лежащую на плоскости перпендикулярной оси Z. Опустим перпендикуляр на линию действия силы f и обозначим его h (рис. 15). Мерой вращательного эффекта, создаваемого силой f, будет служить момент силы относительно точки пересечения оси Z с плоскостью. Следовательно, величиной момента силы будет являться взятое с соответствующим знаком произведение m_z = ±f∙h.

Из определения момента и из рис. 15 можно сделать следующие выводы:

1. Момент силы относительно оси равен нулю в том случае, когда линия действия силы пересекает ось или когда сила параллельна этой оси.

2. Момент силы относительно данной оси не изменяется при переносе точки приложения силы в любую другую точку на линии её действия.

Уравнения равновесия, для произвольно расположенной в пространстве системы сил, получаются из условий, что главный вектор и главный момент равны нулю, т.е. и . Эти уравнения равновесия формулируются следующим образом: для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех координатных осей и суммы моментов относительно этих осей были равны нулю.

Контрольные вопросы:

1. Как Вы сформулируете понятие силы?

2. Что такое реакция связи?

3. Что такое проекция силы на ось?

4. Определить равнодействующую систему сходящихся сил?

5. Условия равновесия системы сходящихся сил.

6. Определить момент силы относительно точки?

7. Что такое пара сил и какими свойствами она обладает?

8. Указать формы условий равновесия плоской системы сил.

9. Каким образом решается задача на систему связанных тел?

10. Как определяется момент силы относительно оси?

11. Условия равновесия произвольной системы сил.

КИНЕМАТИКА

Кинематика является разделом теоретической механики, в котором рассматривается движение тела без учета действующих на него сил. В кинематике решаются следующие задачи: 1) задание движения и изучение кинематических характеристик всего тела; 2) изучение движения каждой из точек в отдельности.

Кинематика точки

Наиболее распространены два способа задания движения точки, причем под точкой часто понимают так называемую материальную точку, т.е. тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Последнее справедливо при поступательном (параллельно самому себе) движении тела по прямой и при движении по кривой, когда радиус кривизны траектории много больше размеров тела.

Итак координатный способ предполагает задание координат точки, например точки А, как функций времени.

(1)

Уравнения движения (1) позволяют построить траекторию, например, по точкам изменяя время с заданным шагом. Они также дают возможность определить скорость и ускорение точки в любой момент времени, как по величине, так и по направлению.

Проекции данных векторов на оси определяются дифференцированием (1) и последующей подстановкой времени, а модули их как корень квадратный из суммы квадратов проекций. При этом, если проекция получается отрицательной, это означает, что соответствующая составляющая вектора направлена против оси (направление осей должно быть задано предварительно, вместе с уравнениями (1)). Рассмотрим пример определения , при t=1 c, когда (1) имеет вид

где при t=1 c, X_A=9 м, Y_A=1 м.

Тогда из уравнений движения следует (рис. 1)

(2)

(3)

Рис. 1

При втором способе задания движения точки, называемом естественным, задают траекторию и начало отсчета пути точки по ней, а так же путь S по траектории в виде функции времени. В этом случае скорость и касательное ускорение всегда касательные к траектории в рассматриваемой точке, а по величине определяются дифференцированием S=f(t), т.е. . Знак «-», полученный после дифференцирования подставки заданного значения времени t, показывает, что данный вектор или направлены в сторону убывания пути или криволинейной координаты S. Полное ускорение точки складывается из касательного и нормального ускорения , которое направлено по нормали (перпендикулярно касательной) в сторону центра кривизны траектории. По величине последнее ускорение зависит от радиуса кривизны траектории в данной точке r, т.е.

(4)

Физический смысл этих двух составляющих полного ускорения в том, что – характеризует интенсивность изменения вектора по величине, а ускорение – по направлению. Рассмотрим пример, когда S=-5t²+14t (м) и необходимо определить и при t=1 c, когда траектория точки представляет собой дугу радиусом R=18 м (рис. 2).

S=-5∙1²+14∙1 = 9 м, рад » 30°

Если при координатном способе задания движения точки необходимо найти , то используется следующие формулы:

Сложное движение точки

Если материальная точка участвует сразу в двух движениях, то такое движение называется сложным. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным, и его кинематические характеристики имеют верхний индекс «r». Движение же точки вместе с подвижной системой отсчета называется – переносным (имеет индекс «е»). Суммарное или результирующее движение точки относительно неподвижной системы отсчета (часто она связана с землей) называется – абсолютным (индекс «а»).

В этом случае для кинематических характеристик справедливы следующие зависимости

, (5)

где – кориолисово ускорение, возникающее из-за взаимодействия переносного и относительного движений.

Оно определяется по правилам векторного произведения, т.к. . Вектор результат перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора сомножители и направлен по правилу правого винта, если первый вектор кратчайшим путем совмещать со вторым . При этом вектор – угловой скорости переносного движения всегда лежит на оси переносного вращения (в любой точке) и направлен согласно правилу правого винта, примененному к известному направлению вращ ения (рис. 3).

Рис. 3

По модулю , и оно может быть равно нулю в двух случаях: если параллельно , т.е. a=0, и если переносное движение не связано с поворотом подвижной системы отсчета (её оси перемещаются параллельно самим себе, т.е. поступательно и ).

Если переносное или относительное движение точки являются криволинейными, то в выражениях (5) удобно соответствующее ускорение разложить на два вектора: касательного и нормального ускорения, например .

Уравнения (5) могут быть решены двумя очень распространенными в кинематике способами: графическим или аналитическим, при условии, если в них содержится только две неизвестные. При этом под неизвестными отдельно понимаются модуль (величина) или направление какого-то из векторов. Чаще всего при решении задач можно встретить два случая. Первый, когда из (5) необходимо найти величину и направление одного вектора или , а для остальных векторов величины и направления (углы с одной из осей Х или Y) заданы или легко находятся по исходным данным задачи. Второй случай, когда все вектора в одном из выражений (5) известны по направлению, а надо найти величины двух из них, например .

Графический способ предполагает рисование векторов, входящих в (5) с использованием заранее выбранного масштаба. Тогда при сложении векторов конец первого является началом второго вектора или через него проводят прямую, если известно только направление второго вектора. Результирующий вектор проводят из начала первого к концу последнего из складываемых векторов. В результате графического решения получается замкнутый многоугольник (треугольник), в котором искомые по величине вектора измеряют и умножают на выбранный масштаб для определения их величины (рис. 4).

Рассмотрим пример, в котором известные величины или направления векторов обозначим внизу штрихом, а неизвестные знаком вопроса

направления

величины векторов

Однако наиболее часто применяется второй аналитический способ решения уравнений (5), когда их проецируют почленно на выбранные оси X и Y, а затем решают полученную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными. В рассмотренном выше примере, когда вектор задан по величине и направлению (ось X выбрана по направлению ), а вектора известны только по направлениям, заданными углами с осью X проецирование векторного уравнения на оси дает следующий результат:

для оси Х:

для оси Y:

Решение последней системы уравнений позволяет определить величины векторов ( должно быть известно или определено по исходным данным, например путем дифференцирования уравнений движения, как показано в (2) и (3)).

Рассмотрим две конкретные задачи с использованием уравнений (5) для сложного движения точки.

Задача 1

Здесь рычаг манипулятора поворачивается в горизонтальной плоскости и одновременно вдоль рычага перемещается ползун с захватом (материальная точка А) (рис. 5).

Рис. 5

Дано: (рад.), (м).

Найти: при t=1 c.

Решение: Движение точки А является сложным: относительное движение вдоль рычага и переносное, т.е. поворот вместе с рычагом.

Сначала определим положение точки А в её относительном движении при

t=1 c и найдем в этом положении по величине и направлению.

Для относительного движения

т.к. движение по прямой вдоль оси Х, то и аналогично

Для переносного движения:

– угловая скорость переносного движения;

– его угловое ускорение (знак « - » у w^e , полученный после дифференцирования и подстановки значения t означает, что направление вращения против положительного отсчета координаты j, принятого в задаче, а знак « + » у e^e означает, что направление ускорения совпадает с j);

– вращательная скорость перпендикулярна радиусу ОА и направлена в сторону w^e;

– перпендикулярна радиусу в сторону e^e;

– по радиусу к центру О.

Итак , т.к. перпендикулярно , то последнее уравнение можно не проецировать на оси Х и Y, а использовать теорему Пифагора

После проецирования на оси Х и Y получим

Задача 2

Рассмотрим случай, когда абсолютные кинематические характеристики движения рассматриваемой точки легко находятся, а с помощью уравнений (5) определяются характеристики переносного и относительного движения в определенном заданном положении механизма (рис. 6).

Дано: V₁ =0,2 м/с, а₁ =0,1 м/с², j=60°, Н=0,5 м.

Найти: w₃, e₃.

Решение: Механизм состоит из трех звеньев: звено 1 – шток гидроцилиндра (ведущее); звено 2 – ползун (промежуточное), которое скользит вдоль звена 3 – кулиса (ведомое). Тем самым поступательное движение звена 1 преобразовывается в поворотное звена 3.

Рис. 6

При решении применяется распространенный прием кинематики: переход от одного звена к другому через их общую точку (здесь точка А). При этом учитывается, что кинематические характеристики этой точки одинаковы, но они определяются сначала по формулам и правилам движения первого звена, а затем второго соединенного с ним.

В данном случае звено 1 совершает поступательное движение по прямой (подробнее такое движение рассмотрено ниже), а значит характеристики движения всех точек в данный момент одинаковы, т.е. . При этом для точки А звена 1 это характеристики относительно неподвижной системы отсчета, т.е. абсолютные. Для этой же точки звена 2 (его можно принять материальной точкой) уже можно говорить о сложном движении, т.к. точка А скользит вдоль кулисы 3 (относительное движение) и поворачивается вместе с ней вокруг центра О (переносное). Таким образом, легко разложить найденные выше характеристики абсолютного движения на характеристики переносного и относительного движения точки А звена 2 (рис. 6).

Учитывая, что перпендикулярен , последнее уравнение можно не проецировать на оси Х и Y, а сразу записать

Если вращательная скорость точки А звена 2 и звена 3 с радиусом вращения ОА, то угловую скорость звена 3 можно найти так

рад/с.

Аналогично рассуждая можно для ускорений получить с учетом (5) следующее

Здесь м/с²

м/с².

Спроецировав последнее векторное уравнение на оси Х и Y с учетом направлений векторов, показанных на рис. 6 получим

Можно обратить внимание, что взаимно перпендикулярные вектора и позволяют находить проекцию на одну ось через синус, а на другую ось через косинус одного угла j. То же справедливо и для одного какого-то вектора при его проецировании на ось Х, а затем ось Y .

Решая последнюю систему относительно двух неизвестных , т.е. модулей соответствующих векторов легко можно найти их значения. Если в результате расчетов значение окажется со знаком « - », то соответствующий вектор направлен противоположно направлению первоначально принятому на рис. 6 (вектора могут быть определены по направлению точно, по ранее рассмотренным правилам).

Угловое ускорение звена e₃ совпадает с направлением вектора , а величина его находится с учетом радиуса вращения точки А звеньев 2 и 3, т.е.

Кинематика твердого тела

В данном разделе будут рассмотрены только три наиболее часто встречающихся в механизмах движения его звеньев (твердых тел).

Поступательное движение

Если тело перемещается параллельно самому себе, то такое движение называется поступательным. В этом случае в рассматриваемый момент времени скорости всех точек тела одинаковы, а также одинаковы их ускорения. Поэтому при поступательном движении достаточно определить кинематические характеристики только одной точки тела (на этом и основано понятие материальной точки).

Частным случаем поступательного движения является движение по прямой (см. задачу 2, звено 1), когда траектории всех точек прямые. Однако, при поступательном движении траектории отдельных точек тела могут быть криволинейными. Например, движение автомобиля по холмистой местности, при условии, что можно пренебречь угловыми смещениями его (качкой) в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Другой пример, показанный на рис. 7, направляющие тела в виде шарнирного параллелограмма.

Рис. 7

Вращение тела вокруг неподвижной оси

В качестве одной координаты, определяющей положение тела, может быть взят угол j между неподвижной плоскостью и плоскостью, связанной с телом и проходящими через ось вращения (рис. 8).

Тогда уравнение движения тела пример вид . Знак «-» у производных в определенный момент времени означает, что направления w и e противоположны принятому для уравнения движения положительному направлению отсчета угла j.

При этом угловые кинематические характеристики j, w, e – одинаковы для всех точек тела в данный момент времени. Линейные характеристики отдельной точки А тела зависят от угловой скорости и углового ускорения тела (w, e ), а также от радиуса вращения точки A₁(r_A).

При решении задач необходимо вспомнить уравнения вращательного движения: равномерного – и

равнопеременного:

Линейная скорость точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси определяется по формуле . С помощью последней формулы определяется нормальное и касательное ускорение . Касательное ускорение всегда направлено по касательной к траектории движения в данной точке, нормальное направлено перпендикулярно к касательной в сторону вогнутости кривой.

При передаче вращения между телами с неподвижной осью (фрикционные без проскальзывания, зубчатые, цепные и ременные передачи) в точке контакта колес одинаковы значения V_A и . Последнее позволяет, зная w и e ведущего звена 1, а также радиусы всех колес легко определить их угловые скорости и ускорения (рис. 9).

(6)

Рис. 9

Определение характеристик ведомого звена 5 осуществлялось переходом от одного звена к другому через общие точки A, B, C, D, E. При этом каждый раз угловая скорость (ускорение) ведущего звена умножалась на радиус вращения общей точки, а затем делилась на радиус вращения этой точки для ведомого колеса и т.д. При поступательном движении (участок ремня АВ и звено 5 скорости и ускорения точек одинаковы).

Плоскопараллельное движение

Движение тела называется плоскопараллельным или плоским, если тело перемещается так, что траектории всех его точек параллельны какой-то неподвижной плоскости. В качестве типичных примеров можно привести движение шатуна АВ в кривошипно-шатунном механизме или качение без проскальзывания колеса по плоскости или поверхности (рис. 10).

Для каждого момента времени и соответствующего ему положения кинематические характеристики движения произвольной точки звена, совершающего плоское движение, можно представить как векторную сумму двух характеристик: поступательного движения этой точки вместе с определенной точкой звена, выбранной за полюс и характеристиками поворота её вокруг полюса.

Обычно при решении задач, связанных с определением ускорений (скоростей), за полюс выбирают общую точку рассматриваемого звена и предыдущего, для которого движение задано или уже определено. Последнее позволяет сделать ускорение (скорость) полюса известным (на рисунках, представленных выше, за полюс выгодно взять точку А). В качестве точки, ускорение (скорость) которой необходимо найти, первоначально тоже выбирается общая точка рассматриваемого и последующего звена (точка В).

Рис. 10

Последнее позволяет определить ускорение (скорость) этой точки хотя бы по направлению, что упрощает задачу. Таким образом, всегда можно получить векторные равенства

, (7)

где – характеристики искомой точки;

– характеристики для полюса;

– характеристики поворота вокруг полюса.

Далее необходимо сделать так, чтобы в уравнениях (7) осталось только два неизвестных, а затем спроецировать данное уравнение на удобно выбранные оси Х и Y и, решая полученную систему, определить их значения, т.е. решение уравнений (7) полностью аналогично аналитическому или графическому решению уравнений (5) для сложного движения точки.

Чтобы обеспечить в уравнениях (7) только два неизвестных (это всегда можно сделать), необходимо иметь в виду следующее: вектора всегда перпендикулярны радиусу АВ, а вектор направлен по радиусу к центру (полюсу) А и равен . При этом, угловая скорость звена w_ВА, которая для выбранного положения звена не зависит от выбора полюса, может быть определена при решении уравнения для скоростей (7), т.к. , либо чаще через мгновенный центр скоростей (МЦС). МЦС это особая точка, скорость которой, в данном положении звена равна нулю. Находится он на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек звена, совершающего плоское движение.

Решить задачу с помощью МЦС можно, если известны скорость одной точки (например, А) по величине и направлению, а другой (например, В) по направлению (обычно это общие точки данного звена и смежных с ним звеньев). Это позволяет найти по величине, а также определить угловую скорость звена, например w₂, совершающего плоское движение (рис. 11).

Рис. 11

Таким образом, если задано движение ведущего звена w₁, размеры (длины звеньев , и ) и конкретное положение механизма (с помощью углов наклона звеньев с одной из осей), то можно найти и угловую скорость ведомого звена w₃ для этого положения механизма. При этом учитывается, что точки А и В звена 2 общие со звеньями 1 и 3, совершающими вращение вокруг неподвижных осей, а значит эти скорости перпендикулярны радиусам О₁А и О₃В.

(8)

Если необходимо найти скорость любой другой точки звена 2 (например, С), то её необходимо соединить с МЦС и её скорость будет перпендикулярна её радиусу, а равна V_C=w₂∙P₂C.

Расстояния (радиусы поворота) от точек звена до МЦС определяются с помощью геометрии на основе заданных размеров и углов. Обычно они находятся в результате решения прямоугольных и остроугольных треугольников с использованием известных теорем синусов или косинусов.

В частном случае для положения механизма, когда перпендикуляры к скоростям точек А и В будут параллельны, МЦС стремится к бесконечности. Тогда и говорят, что звено 2 совершает мгновенно поступательное движение.

Рассмотрим другие частные случаи определения скоростей через МЦС, связанные с качением колес (последнее справедливо и для делительных окружностей зубчатых колес с движущимися центрами).

Если колесо катится (без проскальзывания) по плоской или криволинейной неподвижной поверхности, то МЦС всегда будет в той точке колеса, которая касается этой поверхности (рис. 12).

Рис. 12

Если задано , радиус колеса R и другие необходимые расстояния и углы, то

(9)

Аналогично может быть определено и угловое ускорение колеса, если известно a_C

(10)

Последнее справедливо, т.к. расстояние до МЦС центра колеса при движении не изменяется, т.е. не зависит от времени (для рычажных механизмов последняя формула не применяется).

Если поверхность, по которой обкатывается колесо, сама движется, то для определения положения МЦС колеса необходимо знать скорости двух точек колеса по величине и направлению (обычно это центр колеса С и точка касания движущейся поверхности, например точка В).

Рис. 13

На рис. 13 приведен пример дифференциального механизма, имеющего два ведущих звена (шестерня 1 и рычаг-водило 2), скорости которых w₁ и w₂ заданы. Промежуточным звеном является шестерня-сателит 3, совершающая плоское движение, а выходным – шестерня 4. Если заданы размеры механизма (радиусы или числа зубьев и модуль зацепления), то через МЦС колеса 3 можно определить движение ведомого звена w₄ . Для точек А звена 2 и В звена 1, совершающих поворот вокруг неподвижного центра О справедливо V_A=w₂∙OA и V_B=w₂∙OB. Эти же точки принадлежат и звену 3, МЦС которого (точка Р₃) может быть определен, если соединить концы векторов и . Положение этой точки на общем перпендикуляре к скоростям теперь находится из подобия треугольников, т.е.

(11)

где P₃A=AB – P₃B.

Решая последнюю систему уравнений легко определить

(12)

Тогда можно найти w₃ и далее скорость точки С этого же звена V_C=w₃∙P₃C, а т.к. эта же точка принадлежит звену 4, вращающемуся вокруг неподвижного центра О, то для ведомого звена .

Если скорости точек А и В будут направлены в одну сторону (рис. 14), то МЦС может оказаться за пределами звена 3. В этом случае для определения его тоже используются подобные треугольники и формула (11), в которой P₃A=AB+P₃B (рис. 14).

В частном случае, когда , получим w₃ = 0 и скорости всех точек звена в этот момент одинаковы.

Если в данный момент времени известны касательные ускорения точек А и В, которые обычно находят через угловые ускорения ведущих звеньев или по заданному движению реек 1 и 2

(рис. 15), то аналогично w₃ можно из подобия треугольников найти e₃.

Рис. 14

Рис. 15

Здесь

т.е. по заданному движению ведущих звеньев a₁, a₂ совершающих поступательное движение по прямой, получим a_A = a₁, a_B = a₂ и тогда, по выше приведенным формулам, легко найти e₃ и ускорение ведомой зубчатой рейки a₄.

В заключение рассмотрим на примере определения ускорений точек звеньев, совершающих плоское движение с использованием основной формулы (7) (рис. 16).

Рис. 16

Задача 3

Здесь должно быть задано или заранее определено: положение механизма в данный момент времени (углы j, a, b, g), кинематические характеристики ведущего звена (w₁, e₁), а также размеры звеньев и положение рассматриваемых точек . Это позволит найти ускорение всех точек звена 2, совершающего плоское движение, а также движение ведомых звеньев (w₃, e₃, a_D). Для этого сначала определяется ускорение общей точки А и направление (прямые, по которым направлены вектора) ускорений другой общей точки В (учитывается их вращение вокруг неподвижных центров как на рис. 16, либо поступательное движение точки В вместе с ведомым звеном как на рис. 10). Тогда из выражения (7) следует

(13)

Величины нормальных ускорений вращения точки В вокруг центра О₃ вместе со звеном 3 и – вращения этой точки вокруг полюса А вместе со звеном 2 найдем, используя значения w₂ и w₃, которые определяются через МЦС, как было рассмотрено выше в примере (см. рис. 11), т.е. . Тогда в векторном уравнении (13) остается две неизвестные и его можно спроецировать на оси Х и Y

(14)

Решая эту систему уравнений можно найти значения двух неизвестных , а затем и . Если значение какого-то касательного ускорения окажется отрицательным, это означает, что правильное направление вектора противоположно первоначально выбранному на рис. 16 (соответственно противоположно направлено соответствующее угловое ускорение e₂ или e₃ ).

Зная w₂ и e₂ , теперь легко найти ускорение любой произвольной точки звена 2, например точки С. Для неё из уравнения (7) следует

(15)

где

Теперь проецируем (15) на оси

(16)

и по проекциям находим модуль, а если необходимо, то и направление вектора .

(17)

где g – угол вектора с осью Х.

Если в точке С шарнирное соединение с другим звеном CD, совершающим плоскопараллельное движение, то точку С тоже можно взять за полюс и записать

. (18)

Последнее векторное уравнение решается аналогично уравнению (13).

Контрольные вопросы:

1. Чем отличаются координатный и естественный способ задания движения точки?

2. Что такое материальная точка?

3. Дать определение относительного, переносного и абсолютного движения точки.

4. Как определяется величина и направление кориолисова ускорения?

5. Определение поступательного движения тела и в чем особенности кинематики этого движения.

6. Как, зная уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси, найти величину и направление его угловой скорости ускорения, а также линейную скорость и ускорение произвольной точки тела в любой момент времени?

7. Дать определение плоскопараллельного движения тела, и на какие два движения его можно разложить.

8. Как определить угловую скорость звена и линейные скорости его точек в плоскопараллельном движение через МЦС звена?

9. Как определяются ускорения точек звена, совершающего плоскопараллельное движение?

Динамика

Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение тел в зависимости от действующих на них сил. Этот раздел является основным в курсе теоретической механики. Определение «теоретической» означает, что в основу разработки этого раздела положены некоторые теоретические предпосылки называемые аксиомами.

Динамика материальной точки

1. Аксиомы теоретической механики.

Во-первых, это три закона Ньютона:

– изолированная материальная точка движется равномерно и прямолинейно;

– ускорение, сообщаемое точке силой, пропорционально этой силе: ;

– тела взаимодействуют между собой с силами равными по величине и направленными в противоположные стороны по одной линии.

Во-вторых, это принцип независимости действия сил: ускорения, сообщаемые точке действующими на неё силами, независимы и могут быть сложены векторно:

. (1)

2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

Спроектируем равенство (1) на декартовы оси:

(2)

Это и есть дифференциальные уравнения движения точки относительно декартовых осей координат, а если спроектировать равенство (1) на естественные оси координат:

или

(3)

то мы будем иметь дифференциальные уравнения движения точки в естественных координатах.

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 398; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!