Тема. Численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.
Экзаменационные вопросы по курсу
«Вариационное исчисление и методы оптимизации»
Тема. Задачи безусловной гладкой оптимизации.
Направление спуска. Достаточное условие для направления спуска. Необходимые и достаточные условия оптимальности.
Методы деления пополам и золотого сечения решения негладкой экстремальной задачи для функции одной переменной. Метод ломаных нахождения решения негладкой экстремальной задачи для функции одной переменной. Градиентный метод решения безусловной задачи для функции многих переменных. Сходимость метода с постоянным шагом. Метод Ньютона решения безусловной задачи для функции многих переменных. Сходимость метода Ньютона. Метод циклического покоординатного спуска решения безусловной задачи для функции многих переменных. Сходимость метода с постоянным шагом вдоль координатных направлений.
Тема. Элементы выпуклого анализа.
Выпуклые множества. Отделимость множеств. Теоремы об отделимости множества и точки, двух множеств. Выпуклые функции. Критерии выпуклости негладкой и гладкой функций. Субградиент функции и его геометрический смысл. Необходимые и достаточные условия существования субградиента в точке.
Тема. Задачи выпуклого программирования.
Общая задача ВП. Свойства точек локального минимума. Критерий для точки глобального минимума в терминах субградиента и градиента функции.
|
|
|
Тема. Задачи математического программирования.
Необходимые условия оптимальности в терминах градиента функции (теоремы Джона и Куна-Таккера). Достаточные условия оптимальности в терминах псевдовыпуклых и квазивыпуклых функций. Элементы теории двойственности для задач математического программирования. Слабая и сильная теоремы двойственности. Седловая точка функции Лагранжа. Теоремы о седловой точке.
Методы возможных направлений (Зойтендейка). Метод Зойтендейка для задач МП с ограничениями типа неравенств. Методы проектирования на область. Методы штрафных и барьерных функций.
Тема. Задачи линейного программирования.
Двойственные задачи линейного программирования. Каноническая задача линейного программирования. Угловая точка в канонической задаче. Теоремы об угловой точке. Свойство конечности алгоритма симплекс-метода для невырожденной задачи линейного программирования. Существование угловой точки. Критерий разрешимости канонической задачи линейного программирования.
Тема. Экстремальные задачи в
Бесконечномерных пространствах
Общая экстремальная задача в бесконечномерном пространстве. Вариация функционала. Необходимое условие оптимальности в терминах вариации.
|
|
|
Тема. Задачи вариационного исчисления в
Слабой постановке
Простейшая задача вариационного исчисления. Лемма Дюбуа-Реймона. Необходимое условие слабого экстремума в простейшей задаче: уравнение Эйлера.
Задача Больца. Необходимые условия слабого экстремума в задаче Больца: уравнение Эйлера и условия трансверсальности.
Изопериметрическая задача. Необходимое условие слабого экстремума.
Задача с подвижными концами. Необходимые условия слабого локального экстремума.
Задача Лагранжа в понтрягинской форме. Необходимые условия слабого экстремума.
Задача со старшими производными. Уравнение Эйлера-Пуассона.
Кратные интегралы. Многомерные экстремальные задачи. Необходимое условие экстремума в простейшей многомерной задаче: уравнение Эйлера-Остроградского.
Тема. Простейшая задача вариационного исчисления
в слабой и сильной постановках. Связь двух постановок.
Необходимое условие сильного экстремума. Необходимое условие сильного минимума: условие Вейерштрасса. Необходимые условия слабого минимума: условия Лежандра и Якоби. Лемма о неотрицательности второй вариации. Достаточные условия слабого экстремума.
|
|
|
Поле экстремалей. Достаточные условия сильного экстремума.
Тема. Задачи оптимального управления.
Простейшая задача оптимального управления. Необходимое условие оптимальности по управлению.
Общая задача оптимального управления в понтрягинской форме. Принцип максимума Понтрягина.
Тема. Численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.
Минимизирующая последовательность. Теорема о минимизирующей последовательности. Методы Эйлера и Ритца построения минимизирующей последовательности. Сходимость методов Эйлера и Ритца для простейшей задачи вариационного исчисления..
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 512; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!