Задания на контрольную работу.

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Кубанский государственный технологический университет

(КубГТУ)

Кафедра общей математики

МАТЕМАТИКА

Часть вторая

Учебно-методическое указание по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников первого курса

высшего профессионального образования

21.03.01. 13.03.02

Краснодар

2005

УДК

Составители: доцент Терещенко И.В., доцент Братчиков А.В., ассистент Егорова Л.В.

Математика. Учебно – методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ для студентов-заочников специальностей140211,140101,130503 факультета НГиЭ высшего профессионального образования. – Краснодар 2005. – 37 с.

В учебно-методических указаниях изложены программа дисциплины, варианты контрольных заданий, темы практических занятий, вопросы к зачету (или экзамену), рекомендуемая литература, приведены примеры выполнения и требования к оформлению контрольных работ.

Печатается по решению методического совета Кубанского государственного технологического университета.

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор Вартумян Г.Т.

канд. техн. наук, доцент Данович Л.М.

Содержание

Введение. 3

1. Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями. 3

2. Программа дисциплины. 4

3. Контрольные работы. 5

4. Задания на контрольную работу. 13

5 Содержание и оформление контрольных работ. 19

6 Темы практических занятий. 19

7. Вопросы для подготовки к экзамену (зачету) 20

8. Список рекомендуемой литературы.. 21

Введение

Инженер должен в области математики иметь представление:

- о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и

представлений;

- о математическом моделировании;

- об информации, методах ее хранения, разработки и передачи;

знать и уметь использовать:

- основные понятия и методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей и математической статистики, дискретной математики;

- математические модели простейших систем и процессов в естествознании и технике;

- вероятностные модели для конкретных процессов и проводить расчеты в рамках построенной модели;

иметь опыт:

- употребления математической символики для выражения количественных и качественных отношений объектов;

- исследования моделей с учетом их иерархической структуры и оценки пределов применимости полученных результатов:

- использования основных приемов обработки экспериментальных данных;

- аналитического и численного решения алгебраических уравнений;

- исследования, аналитического и численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений;

- аналитического и численного решения основных уравнений математической физики;

- программирования и использования возможностей вычислительной техники и программного обеспечения;

Цель курса «Математика»:

- дать студентам необходимую математическую подготовку для изучения общенаучных, общеинженерных и специальных дисциплин;

- привить студентам навыки логического и алгоритмического мышления;

- овладеть методами исследования и решения математических и прикладных задач по специальности;

- выработать умения самостоятельно расширять математические знания и применять их при анализе инженерных задач.

Инструкция по работе с учебно–методическими указаниями.

В разделе «Программа дисциплины» приведены темы и указывается, что необходимо знать в пределах каждой темы. В конце тем приводятся вопросы для самопроверки и литература из списка рекомендуемой литературы с указанием глав, страниц, где излагается материал темы.

Пример.

Литература: [2, гл.2 c. 3-9], [4, c. 143-162],

где 2 и 4 – порядковые номера литературных источников из списка рекомендуемой литературы.

Вариант контрольного задания выбирается по последней цифре шифра зачётной книжки. Последняя цифра шифра (0) соответствует 10 варианту в контрольном задании.Например, в 10 варианте выполняют следующие номера из предложенных заданий контрольной работы: 210,220,230 и так далее.

В разделе «Темы практических занятий» приводятся наименования практических занятий, которые будут проводиться в период экзаменационной сессии, и указывается литература для подготовки.

Программа дисциплины.

Тема 6. Функции нескольких переменных.

Функции многих переменных, их область определения. Частные производные. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная по направлению. Градиент. Метод наименьших квадратов.

Литература: [3, гл12 c. 284 – 304]

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление частных производных функции многих переменных.

2. Вычисление производной по направлению.

3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

4. Решение задач с помощью метода наименьших квадратов.

Тема 7.Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл. Приближенное значение определенного интеграла. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

Литература: [3, гл7,8 с. 159-215].

Вопросы для самоконтроля.

1. Вычисление неопределенных интегралов..

2. Вычисление приближенного значения интеграла с помощью формулы Симпсона.

3. Вычисление несобственных интегралов первого и второго рода.

4. Определенный интеграл и его приложения.

Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системыдифференциальных уравнений.

Литература:[3, гл15 с. 416-449].

Вопросы для самоконтроля.

1. Решение уравнений с разделяющимися переменными..

2. Линейные дифференциальные уравнения первого и второго порядка..

3. Дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции.

4. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной.

5. Решения систем дифференциальных уравнений.

Контрольные работы.

Программой дисциплины «Математика» для студентов I курса предусмотрено выполнение контрольных работ №3.

3.1.При выполнении контрольной работы №3 необходимо изучить функции многих переменных, интегральные исчисления и теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Ниже приведены примеры выполнения расчетов.

К заданиям 201-210.

Пример. Проверить, что для функции .

Решение. Находим частные производные второго порядка.

Получим тождество:

К заданиям 211-220. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге

Решение: Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области необходимо:

Найти критические точки (лежащие внутри данной области) и вычислить в них значения функции.
Найти наибольшее (наименьшее) значения функции на границе области.
Сравнить все полученные значения функции.

Данная функция имеет частные производные:

- критическая точка

Границей данной области является окружность или , где . Функция на границе области становится функцией одной переменной :

, аргумент которой изменяется на отрезке

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке

Вычисляем ее значения на концах отрезка , т.е. в точках

Сравнивая значение, заключаем, что функция имеет наибольшее значение, равное 18 и наименьшее значение, равное -18, причем

К заданиям 221-230.

Пример.Даны функция , точка и вектор , найти:

а) в точке А;

б) производную в точке А по направлению вектора .

Решение:

а) Имеем

Значит,

б)Найдем направляющие косинусы вектора ,

Следовательно,

К заданиям 231-240.

Дана система точек, координаты которых указаны в таблице, число точек n=6

Требуется методом наименьших квадратов найти функцию так, чтобы она отличалась как можно меньше от данной системы точек. Неизвестные коэффициенты находим из системы:

где

В нашем случае система имеет вид

Решим ее методом определителей:

Искомое уравнение

К заданиям 241-250.

Пример. Найти неопределенные интегралы.

а)

Подстановка . Тогда , откуда .

Таким образом,

б)

Применяем формулу интегрирования по частям

Пусть , тогда

Получаем

К интегралу в правой части снова применяем формулу интегрирования по частям.

Пусть

Таким образом,

в)

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, знаменатель которой

Подынтегральную функцию разложим на дроби

, откуда

Раскроем скобки в правой части и приведем подобные:

Приравнивая соответствующие коэффициенты при в левой и правой частях последнего равенства получим систему трех уравнений:

Таким образом,

Решим отдельно интеграл

Итак,

г)

Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому делаем подстановку

, , то есть

К заданиям 251-260.Пример. Вычислить приближенное значение интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 8 равных частей. Все вычисление производить с округлением до третьего десятичного знака.

Решение: Делим интервал [1;9] на 8 равных частей, находим длину одной части

h= ,

точки деления значения подынтегральной функции

В этих точках:

По формуле Симпсона

К заданиям 261-270

Пример. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение: Подынтегральная функция терпит разрыв при х=3

Согласно формуле

Имеем

Интеграл сходится и его величина составляет .

К заданиям 271 ‑ 280.

Пример. Вычислить длину дуги полукубической параболы между точками А(2;1) и B(5;-8).

Решение:

Длина дуги АВ определяется формулой

Разрешаем данное уравнение относительно y и находим :

Подставляя в формулу, находим

‌‌‌‌‌‌

К заданиям 281 ‑300.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Преобразуем уравнение к виду

Сделав подстановку ,т.е. y = u x,

Получим или

Интегрируя, имеем:

, т.е.

Отсюда , т.е.

Учитывая, что , получаем общее решение заданного уравнения

Уравнение приводится к виду ,где

- непрерывные функции.

Это уравнение Бернулли

Полагаем . Получаем

или

Решаем первое уравнение ,

Разделяя переменные , т.е.

Выбирая простейшие решения (С=0), находим

Решаем второе уравнение

, где или

, т.е. , откуда

Таким образом, , где - общее решение дифференциального уравнения.

Положим y`=p=p(y). Тогда , а исходное уравнение примет вид:

Т.е. , откуда

Заменим p на y`, получим

, или

Получим общее решение исходного уравнения в неявном виде.

К заданиям 301-310.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

А) Найдем , решим соответствующее однородное уравнение , составим

характеристическое уравнение:

Тогда - общее решение однородного уравнения.

Б) Найдем у - частное решение неоднородного уравнения. Его будем искать в виде, подобном первой части. Там - это многочлен второй степени, в общем виде это

, т.е. . Так как есть решение первоначального дифференциального уравнения, то оно обращает это уравнение в тождество. Найдем

и подставим в первоначальное уравнение

Два многочлена равны, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных. Приравняем коэффициенты в обеих частях

Тогда

Общее решение

К заданиям 311-320.

Дана система линейных уравнений:

Найти общее решение систем с помощью характеристического уравнения

Решение: Составим характеристическое уравнение , где

- матрица системы,

- единичная матрица.

Имеем , или

Его корни - характеристические числа матрицы.

При уравнения для определения собственного вектора имеют вид и

и сводятся к одному уравнению . Последнее определяет вектор (1;-2).

При получаем уравнения или

Это уравнение определяет вектор (1;1). Поучаем фундаментальную систему решений:

Для :

Общее решение системы имеет вид:

К заданиям 321-330.

У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делится осью ординат пополам?

Решение: Уравнение касательной в любой точке (x ; y) искомой кривой будет , где - координаты любой точки на касательной.

Полагая в этом уравнении , найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох:

Решая это дифференциальное уравнение искомой кривой как уравнение с разделяющимися переменными, получим

Следовательно, искомая кривая есть парабола с вершиной в начале координат, симметричная относительно оси Ох.

Задания на контрольную работу.

Контрольная работа №3

Задание 1. Дана функция z=f(x;y). Показать, что F(x; y; z; ) .

№201. ,

№202.

№203. ,

№204. ,

№205. ,

№206. ,

№207. ,

№208. ,

№209. ,

№210. ,

Задание 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж.

№211. ;

№212. ;

№213. ,

№214.

№215. ; ,

№216. ,

№217. ,

№218. ; ,

№219. ; ,

№220. ; ,

Задание 3. Даны функция , точка и вектор .

Найти: 1) в точке A; 2) производную в точке A по направлению вектора .

№221. , A(1;1);

№222. , A(-1;2);

№223. , A(1;3);

№224. A(1;1);

№225. A(2;-1);

№226. A(1;2);

№227. A(4;-3);

№228. A(-1;-2);

№229. , A(-5;6);

№230. A(2;3);

Задание 4. Экспериментально получены пять значений функции при пять значениях аргумента, которые записаны в таблице:

x	1	2	3	4	5
y	y₁	y₂	y₃	y₄	y₅

Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенную (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

№231. y|| 3,4 | 3,5 | 3,1 | 1,2 | 2,4 |

№232. y|| 0,6 | 1,6 | 3,7 | 5,2 | 6,4 |

№233. y|| 4,7 | 5,5 | 4,0 | 2,1 | 2,7 |

№234. y|| 4,8 | 5,3 | 4,2 | 3,8 | 2,3 |

№235. y|| 3,9 | 5,1 | 3,3 | 1,5 | 2,3 |

№236. y|| 5,7 | 6,7 | 4,9 | 3,4 | 3,9 |

№237. y|| 5,2 | 6,3 | 4,8 | 2,7 | 1,8 |

№238. y|| 5,1 | 4,8 | 5,2 | 2,9 | 2,1 |

№239. y|| 4,5 | 2,5 | 0,5 | 3,5 | 1,6 |

№240. y|| 3,6 | 4,5 | 3,2 | 1,3 | 1,8 |

Задание 5. Найти неопределенные интегралы. В п. а) и б) результаты проверить дифференцированием.

№241. а) ; б) ; в) ; г) .

№242. а) ; б) ; в) ; г) .

№243. а) ; б) ; в) ; г) .

№244. а) ; б) ; в) г)

№245. а) б) ; в) ; г) .

№246. а) ; б) ; в) ; г) .

№247. а) ; б) ; в) ; г) .

№248. а) ; б) ; в) ; г) ;

№249. а) ; б) ; в) ; г) ;

№250. а) ; б) ; в) ; г) .

Задание 6. Вычислить приближенные значения определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

№251. №255. №259.

№252. №256. №260.

№253. №257.

№254. №258.

Задание 7. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

№261. №266.

№262. №267.

№263. №268.

№264. №269.

№265. №270.

Задание 8.

№271. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси Oy.

№272. Вычислить длину дуги кривой от точки до точки .

№273. Вычислить площадь фигуры, ограниченно линиями, заданными уравнениями , .

№274. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

№275. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций , вокруг оси Ox.

№276. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,

№277. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой ,

№278. Вычислить длину дуги кривой от точки А(1;0) до точки B(2;1).

№279. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси Oy.

№280. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси Oy.

Задание № 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.

№ 281.

№ 282. (1+x ) -2xy=(1+x )

№ 283. =

№ 284. x =y ln ( )

№ 285. x +x tg

№ 286. +y cos = sin 2x

№ 287. +2xy=2xy

№ 288.

№ 289. x + y =4x

№ 290. - y=

Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения.

№291. (1- x x

№ 292. (1+ ( )

№ 293. 1+( )

№ 294. x

№ 295.

№296.

№297.

№298.

№299.

№300.

Задание 11. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условиям , .

№301. ,

№302. ,

№303. ,

№304. y(0) =0,

№305. , y(0)=1,

№306. y(0) =0,

№307. y(0) = 1,

№308.

№309.

№310.

Задание 12. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Требуется: 1) Найти общее решение системы с помощью характеристического уравнения;

2) записать данную систему и её решение в матричной форме.

№311.

№312.

№313.

№314.

№315.

№316.

№317.

№318.

№319.

№320.

Задание 13.

№321. Пуля, двигаясь со скоростью м/с, ударяется о достаточно плотную стену и начинает углубляться в нее, испытывая силу сопротивления стены; эта сила сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату её скорости с коэффициентом пропорциональности . Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену.

№322. Материальная точка массой г движется прямолинейно. На нее действует сила в направлении движения, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности , и сила сопротивления среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности . Найти скорость точки через 3 секунды после начала движения, если начальная скорость точки была равна нулю.

№323. В сосуде 100 л водного раствора соли. В сосуд втекает чистая вода со скоростью , а смесь вытекает с той же скоростью, причем перемешивание обеспечивает равномерную концентрацию раствора. В начальный момент в растворе содержалось кг соли. Сколько соли будет содержаться в сосуде через 20 мин после начала процесса?

№324. Кривая проходит через точку A(2;1) и обладает тем свойством, что угловой коэффициент касательной в любой её точке пропорционален квадрату ординаты точки касания с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.

№325. Материальная точка массой г погружается в жидкость, сила сопротивления которой пропорциональна скорости погружения с коэффициентом пропорциональности кг/с. Найти скорость точки через 1с после начала погружения, если в начальный момент она была равна нулю.

№326. Моторная лодка двигалась в спокойной воде со скоростью кг/ч . На полном ходу её мотор был выключен и через 10 секунд скорость лодки уменьшилась до км/ч. Сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения лодки. Найти скорость лодки через 1 минуту после остановки мотора.

№327. Кривая проходит через точку А(1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой точки, проведённой в этой же точке, с коэффициентом пропорциональности . Найти уравнение кривой.

№328. Кривая проходит через точку A(1;2) и обладает тем свойством, что произведение углового коэффициента касательной в любой её точке на сумму координат точки касания равно удвоенной ординате этой точки. Найти уравнение кривой.

№329. Кривая проходит через точку А(2;4) и обладает тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной, проведенной в любой точке кривой, равен кубу абсциссы точки касания. Найти уравнение кривой.

№330. Кривая проходит через точку А(1;5) и обладает свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен утроенной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой.

5. Содержание и оформление контрольных работ

4.1. Требования к оформлению контрольной работы: в случае рукописного варианта контрольная работа выполняется в тетради (12л.) на обложке необходимо указать № к.р., свой факультет, специальность, шифр зачетной книжки, номер варианта, ФИО, в случае электронного варианта контрольная работа выполняется в текстовом редакторе Word.

4.2. Требования к структуре контрольной работы:

При выполнении работы необходимо приводить основные теоретические моменты, промежуточные математические доказательства, методики, формулы, расчеты.

В конце работы указывается список использованных источников, ставится число и личная подпись.

Темы практических занятий.

1. Функции многих переменных, их обозначение и область определения. Частные производные функции. Экстремумы функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Производная по направлению. Метод наименьших квадратов.

Литература: [3,гл.12, с.284-304]

2. Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.

Литература: [3,гл.7, с.159-184]

3. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла.

Литература: [ 3,гл.8,с.192-215].

4. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Литература: [3,гл.15,с.416-420]

5. Дифференциальные уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений. Литература: [ 3,гл.15,с.435-449 ]

Вопросы для подготовки к экзамену (зачету)

1. Первообразная и неопределенный интеграл. 2. Метод подстановки (замена переменных).3. Метод интегрирования по частям. 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие. 5. Интегрирование рациональных дробей. 6. Интегрирование иррациональностей. 7. Интегрирование тригонометрических выражений.

8.Задачи приводящие к определенному интегралу.9. Интегральная сумма и определенный интеграл. 10. Свойства определенного интеграла.11. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.12. Замена переменных в определенном интеграле.13. Интегрирование по частям в определенном интеграле. 14. Вычисление площадей плоских фигур.15. Полярная система координат, вычисление площади криволинейного сектора.16. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения.17. Длина плоской кривой.18. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 19. Несобственные интегралы от неограниченных функций.20.Приближенное вычисление определенного интеграла

21. Функции нескольких переменных. Основные определения.22.График функции нескольких переменных. Метод сечений. 23. Предел функции нескольких переменных. 24. Непрерывность функции нескольких переменных. 25.Частные производные. 26.Частные производные высших порядков. 27. Дифференцирование сложной функции. 28. Экстремум функции нескольких переменных.29.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 30 Уравнения с разделяющимися переменными.31. Однородные уравнения.32. Линейные уравнения первого порядка. 33. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.34.Уравнения, допускающие понижения порядка.35. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. 36.. Метод вариации постоянных.37. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 38. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 428; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!