Тема 2: Абсолютные, относительные и средние величины. Показатели вариации.
Методичка по курсу «Статистика» Содержание Тема 1: Сводка и группировка статистических данных. 22 Тема 2: Абсолютные, относительные и средние величины. Показатели вариации. 4 Тема 3: Моменты распределения. Асимметрия и эксцесс. 10 Тема 4: Выравнивание вариационных рядов (построение теоретических распределений) 27 Тема 5: Выборочное наблюдение. 42 тема 6: Изучение динамики общественных явлений. Ряды динамики. 55 Тема 7: Экономические индексы………………………………………………………………………… Тема 8: Корреляционно-регрессионный анализ. 62 Приложения. 71 Вопросы для подготовки к зачету по курсу « Общая теория статистики». 75
Тема 1: Сводка и группировка статистических данных
Собранный в процессе статистического наблюдения материал нуждается в определенной обработке, сведении разрозненных данных воедино. Научно организованная обработка материалов наблюдения (по заранее разработанной программе), включающая кроме обязательного контроля собранных данных систематизацию, группировку материалов, составление таблиц, получение итогов и производственных показателей (средних, относительных величин), называется в статистике сводкой.
Группировка – это разбиение совокупности на группы, однородные по какому-либо признаку. С точки зрения отдельных единиц совокупности группировка – это объединение отдельных единиц совокупности в группы, однородные по каким-либо признакам.
|
|
|
По очередности обработки информации группировки бывают первичные (составленные на основе первичных данных) и вторичные, являющиеся результатом перегруппировки ранее уже сгруппированного материала.
Построение первичной группировки начинается с определения состава группировочных признаков. Далее решается вопрос о количестве групп, на которое необходимо разбить исследуемую совокупность. Число групп зависит от задач исследования и вида показателя, положенного в основу группировки, численности совокупности, степени вариации признака.
Определить число групп можно математическим способом с помощью формулы Стерджесса:
m = 1 + 3,322 * lg N
где m – число групп;
N – число единиц совокупности.
Однако данная формула дает хорошие результаты, если совокупность состоит из большого числа единиц и распределение единиц по признаку, положенному в основу группировки, близко к нормальному закону.
Далее определяется интервал – значение варьирующего признака, лежащее в определенных границах (интервал имеет верхнюю и нижнюю границы). Величина равного интервала находится по формуле:
|
|
|
где Xmax и Xmin – максимальное и минимальное значение признака.
Затем определяются границы интервалов в группах, производится отбор признаков для характеристики групп, как правило обязательным признаком является численность групп. Далее приступают к процессу группировки.
Рассмотрим пример решения задачи:
Пример 1. Произвести анализ 30 самых надежных среди малых и средних коммерческих банков одного из регионов (на 01.01.09 г.), применяя метод группировок.
Таб. 1 Основные показатели деятельности коммерческих банков
одного из регионов на 01.01.09 (цифры условные) (тыс. руб.)
| № банка | Капитал | Работающие активы | Уставной капитал |
| 1 | 20 710 | 11 706 | 2 351(1) |
| 2 | 19 942 | 19 850 | 17 469 (3) |
| 3 | 9 273 | 2 556 | 2 626 (1) |
| 4 | 59 256 | 43 587 | 2 100 (1) |
| 5 | 24 654 | 29 007 | 23 100 (4) |
| 6 | 47 719 | 98 468 | 18 684 (4) |
| 7 | 24 236 | 25 595 | 5 265 (1) |
| 8 | 7 782 | 6 154 | 2 227 (1) |
| 9 | 38 290 | 79 794 | 6 799 (1) |
| 10 | 10 276 | 10 099 | 3 484 (1) |
| 11 | 35 662 | 30 005 | 13 594 (3) |
| 12 | 20 702 | 21 165 | 8 973 (2) |
| 13 | 8 153 | 16 663 | 2 245 (1) |
| 14 | 10 215 | 9 115 | 9 063 (2) |
| 15 | 23 459 | 31 717 | 3 572 (1) |
| 16 | 55 848 | 54 435 | 7 401 (2) |
| 17 | 10 344 | 21 430 | 4 266 (1) |
| 18 | 16 651 | 41 119 | 5 121 (1) |
| 19 | 15 762 | 29 771 | 9 998 (2) |
| 20 | 6 753 | 10 857 | 2 973 (1) |
| 21 | 22 421 | 53 445 | 3 415 (1) |
| 22 | 13 614 | 22 625 | 4 778 (1) |
| 23 | 9 870 | 11 744 | 5 029 (1) |
| 24 | 24 019 | 27 333 | 6 110 (1) |
| 25 | 22 969 | 70 229 | 5 961 (1) |
| 26 | 75 076 | 124 204 | 17 218 (3) |
| 27 | 56 200 | 90 367 | 20 454 (4) |
| 28 | 60 653 | 101 714 | 10 700 (2) |
| 29 | 14 813 | 18 245 | 2 950 (1) |
| 30 | 41 514 | 127 732 | 12 092 (2) |
Решение:
|
|
|
В качестве группировочного признака возьмем уставный капитал (так как именно он характеризует размер банка). Образуем четыре группы банков с равными интервалами.
Величину интервала определим по формуле:
Определим границы групп: 1 группа: 2100 – 7350 (2100+5250)
2 группа: 7350 – 12600 (7350+5250)
3 группа: 12600 – 17850 (12600+5250)
4 группа: 17850 – 23100(17850+5250).
После того, как определен группировочный признак – уставный капитал, задано число групп – 4 и определены границы самих групп необходимо отобрать показатели, которые будут характеризовать группы, и определить их величины по каждой группе. В нашем случае показателями, характеризующими банки, являются - работающие активы, капитал, уставной капитал.
|
|
|
Далее необходимо определить номер группы для каждого банка (проставим номер группы рядом с уставным капиталом каждого банка – смотри таб.1 в графе «уставной капитал» цифры в скобках). Теперь посчитаем количество банков в каждой группе и занесем в составленную таблицу (см. таб. 2).
Показатели, характеризующие банки разносятся по указанным группам и подсчитываются итоги по каждой из них. Результаты заносятся в таблицу и определяются общие итоги по совокупности единиц наблюдения по каждому показателю.
Таб. 2 Группировка банков по величине уставного капитала
| № | Группы по величине уставного капитала, тыс. руб. | Количество банков | Работающие активы, тыс. руб. | Капитал, тыс. руб. | Уставной капитал, тыс. руб. |
| 1 | 2100 – 7350 | 18 | 504 898 | 342 889 | 71 272 |
| 2 | 7350 – 12600 | 6 | 343 932 | 204 694 | 58 227 |
| 3 | 12600 – 17850 | 3 | 174 059 | 130 680 | 48 281 |
| 4 | 17850 - 23100 | 3 | 217 842 | 128 573 | 62 238 |
| Итого | 30 | 1 240 731 | 806 836 | 240 018 | |
Вывод: Построив типологическую группировку, по ее результатам можно сделать вывод, что наибольшее число банков в совокупности – восемнадцать из тридцати, имеют уставной капитал менее 7350 тыс. руб. В третьей и четвертой группах с наибольшим размером уставного капитала равное количество банков и т.д.
Теперь построим структурную группировку:
Используя данные таб.2 и формулу относительного показателя структуры:
для каждой группы из табл.2 определим ОПС, т.е. показатели структуры.
Например: найдем долю банков 1-ой группы в совокупности. Для этого делим количество банков первой группы на общее количество банков в совокупности: 18/30=0,6*100%=60% - доля банков первой группы составляет 60 % от общего объема совокупности. Далее аналогично находим долю банков 2-ой группы: 6/30=0,2*100%=20% - доля банков второй группы составляет 20% от общего объема совокупности и далее аналогично расчитываем все остальные показатели. Результаты расчетов представляем в табл.3
Таб. 3 Структурная группировка
| № | Группы по величине уставного капитала, тыс. руб. | Количество банков, % | Работающие активы, % | Капитал, % | Уставной капитал, % |
| 1 | 2100 – 7350 | 60 | 40,7 | 42,5 | 29,7 |
| 2 | 7350 – 12600 | 20 | 27,7 | 25,4 | 24,3 |
| 3 | 12600 – 17850 | 10 | 14,0 | 16,2 | 20,1 |
| 4 | 17850 - 23100 | 10 | 17,6 | 15,9 | 25,9 |
| Итого | 100 | 100,0 | 100,0 | 100,0 | |
Вывод: из таблицы видно, что в основном преобладают малые банки – 60 %, на долю которых приходится 42,5 % всего капитала и т.д.
Более конкретный анализ взаимосвязи показателей можно сделать на основании аналитической группировки.
Для этого определим среднее значение показателей работающих активов и капитала на 1 банк в каждой группе:
Показатель, характеризующий конкретную группу делим на количество банков в группе. Например: если взять первую группу – работающие активы в целом по группе составляют 504 898 тыс. руб. Делим это значение на количество банков первой группы – на 18. Получаем: 504 898:18 = 28 050 тыс. руб. – получили показатель работающих активов в среднем на один банк по первой группе. И так далее…
Построим аналитическую группировку:
Табл. 4 Аналитическая группировка
| № | Группы по величине уставного капитала, тыс. руб. | Количество банков | Работающие активы, тыс. руб. | Капитал, тыс. руб. | ||
| всего | В среднем на 1 банк | всего | В среднем на 1 банк | |||
| 1 | 2100 – 7350 | 18 | 504 898 | 28 050 | 342 889 | 19 049 |
| 2 | 7350 – 12600 | 6 | 343 932 | 57 322 | 204 694 | 34 116 |
| 3 | 12600 – 17850 | 3 | 174 059 | 58 020 | 130 680 | 43 560 |
| 4 | 17850 - 23100 | 3 | 217 842 | 72 614 | 128 573 | 42 858 |
| Итого | 30 | 1 240 731 | - | 806 836 | - | |
| В среднем на 1 банк | - | - | 41 358 | - | 26 895 | |
Вывод: из полученных показателей видим, что величины капитала и работающих активов прямо взаимозависимы, т.е. чем крупнее банк, тем эффективнее управление работающими активами, тем больше его капитал.
Вторичная группировка– операция по образованию новых групп на основе ранее осуществленной группировки.
Применяют два способа образования новых групп. Первым, наиболее простым и распространенным способом является изменение (чаще укрупнение) первоначальных интервалов.
Второй способ получил название долевой перегруппировки и состоит в образовании новых групп на основе закрепления за каждой группой определенной доли единиц совокупности.
Пример 2. Пусть необходимо построить вторичную группировку, произведя перегруппировку данных, образовав новые группы с интервалами до 500 руб., 500 – 1000 руб., 1000 – 2000 руб., 2000 – 3000 руб., 3000 руб. и более по данным о распределении персонала строительной фирмы по уровню дохода.
Таб. 5 Распределение работников строительной
фирмы по уровню дохода (данные условные)
| № группы | Группы работников по уровню дохода, руб. | Число работников, чел. |
| 1 | До 400 | 16 |
| 2 | 400 – 1000 | 20 |
| 3 | 1000 – 1800 | 44 |
| 4 | 1800 – 3000 | 74 |
| 5 | 3000 – 4000 | 37 |
| 6 | 4000 и более | 9 |
| Итого | 200 | |
Решение:
Проведем перегруппировку в соответствии с заданными интервалами и составим таблицу после перегруппировки:
Табл. 6
| № группы | Группы работников по уровню дохода, руб. | Число работников, чел. |
| 1 | До 500 | |
| 2 | 500 – 1000 | |
| 3 | 1000 – 2000 | |
| 4 | 2000 – 3000 | |
| 5 | 3000 и более | |
| Итого | 200 | |
В первую новую группу войдет полостью первая группа сотрудников и часть второй группы. Чтобы образовать группу до 500 руб. необходимо от интервала второй группы взять 100 руб. Величина интервала этой группы составит 600 руб. Следовательно, необходимо взять от нее 1/6 (100:600) часть.
Аналогичную же часть во вновь образуемую новую группу надо взять и от численности работников, т.е. 20*1/6 = 3 человека. Тогда в первую группу попадут 16 + 3 = 19 человек.
Вторую новую группу образуют работники второй группы за вычетом отнесенных к первой группе: 20 – 3 = 17 человек.
Во вновь образованную третью группу войдут все работники третьей группы и часть работников четвертой. Для определения этой части от интервала 1800÷3000 (ширина интервала равна 1200 руб.) нужно добавить к предыдущему 200 руб.(чтобы верхняя граница интервала была равна 2000 руб.). Следовательно, необходимо взять часть интервала равную 200:1200, т.е. 1/6 часть. В этой группе 74 человека значит, надо взять 74*1/6 = 12 человек. В третью новую группу войдет 44+12=56 человек.
Во вновь образованную четвертую группу войдет 74 – 12=62 человека, оставшихся от прежней четвертой группы.
Пятую, вновь образованную группу составят работающие пятой и шестой прежних групп: 37 +9 =46 человек.
Полученные данные по результатам перегруппировки внесем в таблицу:
Табл. 7 Вторичная группировка работников
строительной фирмы по уровню дохода
| № группы | Группы работников по уровню дохода, руб. | Число работников, чел. |
| 1 | До 500 | 16 + 3=19 |
| 2 | 500 – 1000 | 20 – 3 =17 |
| 3 | 1000 – 2000 | 44 + 12=56 |
| 4 | 2000 – 3000 | 74 – 12=62 |
| 5 | 3000 и более | 37 + 9=46 |
| Итого | 200 | |
Задачи для самостоятельного решения:
Задача 1.
По представленным в таблице основным показателям деятельности крупнейших банков одной из областей России (данные условные), постройте группировку коммерческих банков по величине собственного капитала, выделив четыре группы с равными интервалами. Рассчитайте по каждой группе сумму активов, собственный капитал, привлеченные ресурсы, балансовую прибыль. Результаты группировки представьте в табличной форме и сформулируйте выводы (тыс. руб.).
| № | Сумма активов | Собствен-ный капитал | Привлечен-ные ресурсы | Балансо-вая прибыль | Объем вложений в гос. ценные бумаги | Ссудная задолжен-ность |
| 1 | 654,6 | 12,0 | 27,1 | 8,1 | 3,5 | 30,8 |
| 2 | 636,9 | 70,4 | 56,3 | 9,5 | 12,6 | 25,7 |
| 3 | 629,0 | 41,0 | 95,7 | 38,4 | 13,3 | 26,4 |
| 4 | 619,6 | 120,8 | 44,8 | 38,4 | 4,4 | 25,3 |
| 5 | 616,4 | 49,4 | 108,7 | 13,4 | 15,0 | 20,9 |
| 6 | 614,4 | 50,3 | 108,1 | 30,1 | 19,1 | 47,3 |
| 7 | 608,6 | 70,0 | 76,1 | 37,8 | 19,2 | 43,7 |
| 8 | 601,1 | 52,4 | 26,3 | 41,1 | 3,7 | 29,1 |
| 9 | 600,2 | 42,0 | 46,0 | 9,3 | 5,2 | 56,1 |
| 10 | 600,0 | 27,3 | 24,4 | 39,3 | 13,1 | 24,9 |
| 11 | 592,9 | 72,0 | 65,5 | 8,6 | 16,7 | 39,6 |
| 12 | 591,7 | 22,4 | 76,0 | 40,5 | 7,5 | 59,6 |
| 13 | 585,5 | 39,3 | 106,9 | 45,3 | 6,7 | 44,9 |
| 14 | 578,6 | 70,0 | 89,5 | 8,4 | 11,2 | 32,2 |
| 15 | 577,5 | 22,9 | 84,0 | 12,8 | 19,3 | 45,1 |
| 16 | 553,7 | 119,3 | 89,4 | 44,7 | 19,4 | 24,5 |
| 17 | 543,6 | 49,6 | 93,8 | 8,8 | 5,7 | 31,1 |
| 18 | 542,0 | 88,6 | 26,7 | 32,2 | 7,8 | 37,1 |
| 19 | 517,0 | 43,7 | 108,1 | 20,3 | 8,3 | 23,1 |
| 20 | 516,7 | 90,5 | 25,2 | 12,2 | 9,7 | 15,8 |
Задача 2.
Постройте структурную группировку банков по величине балансовой прибыли для характеристики структуры совокупности коммерческих банков, перечисленных в задаче 1.
Задача 3.
Постройте аналитическую группировку коммерческих банков, перечисленных в задании 1, по величине балансовой прибыли, выделив пять групп. Рассчитайте по каждой группе два-три показателя, взаимосвязанных с балансовой прибылью. Результаты группировки изложите в табличной форме и сделайте выводы о взаимосвязи показателей.
Задача 4.
Постройте комбинационную группировку коммерческих банков, перечисленных в задании 1, …
Задача 5.
Определите виды рядов распределения постройте их графики:
А) Распределение студентов факультета по полу
| Группы студентов по полу | Число студентов, чел. | Удельный вес в общей численности студентов, % |
| Женщины | 20 | 83,3 |
| Мужчины | 4 | 16,7 |
| Всего | 24 | 100,0 |
Б) Распределение семей города по числу детей
| Число детей в семье, чел. | Число семей, ед. | Удельный вес, % к итогу |
| 1 | 600 | 60,0 |
| 2 | 300 | 30,0 |
| 3 | 100 | 10,0 |
| Итого | 1000 | 100,0 |
В) Распределение работников строительной фирмы по уровню дохода в январе 2010 г.
| Группы работников, по уровню дохода, руб. | Число работников, чел. | Удельный вес, % к итогу |
| До 15 000 | 60 | 52,2 |
| 15 000 – 17 500 | 30 | 26,1 |
| 17 500 – 20 000 | 15 | 13,0 |
| 20 000 и более | 10 | 8,7 |
| Итого | 115 | 100,0 |
Задача 6.
Имеются следующие данные о распределении промышленных предприятий 2 регионов по численности занятого на них промышленно-производственного персонала (ППП):
| Регион 1 | Регион 2 | ||||
| Группы предприятий по численности работающих, Чел | Число предпри-ятий, % | Чис лен-ность ППП, % | Группы предприятий по численности работающих, чел. | Число предприятий, % | Числен-ность ППП, % |
| До 100 | 32 | 1 | До 300 | 34 | 1 |
| 101-500 | 38 | 4 | 301-600 | 28 | 6 |
| 501-1000 | 17 | 10 | 601-1000 | 20 | 10 |
| 1001-2000 | 9 | 15 | 1001-2000 | 13 | 15 |
| 2001-5000 | 3 | 32 | 2001-4000 | 4 | 43 |
| 5001-10000 | 1 | 38 | 4001-10000 | 1 | 25 |
| Итого | 100 | 100 | Итого | 100 | 100 |
Постройте вторичную группировку данных о распределении предприятий, пересчитав данные:
1) региона 2 в соответствии с группировкой региона 1;
2) региона 1 в соответствии с группировкой региона 2;
3) регионов 1 и 2, образовав следующие группы предприятий по численности ППП: до 500, 501-1000, 1001-2000, 2001-3000, 3001-4000, 4001-5000, 5001-10000.
Задача 7.
Известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами ЕГЭ:
| 180 | 165 | 190 | 175 | 190 | 200 | 175 |
| 170 | 120 | 150 | 200 | 180 | 190 | 180 |
| 185 | 165 | 185 | 140 | 145 | 170 | 195 |
| 160 | 140 | 195 | 125 | 155 | 160 | 200 |
Постройте: 1) ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи ими ЕГЭ, выделив 4 группы с равными интервалами; 2) ряд, делящий абитуриентов на поступивших и не поступивших в ВУЗ, учитывая, что проходной балл составил 150 баллов; 3) укажите, каким видом ряда распределения является каждый из них; 4) укажите, по какому группировочному признаку построен каждый из этих рядов.
Задача 8.
Имеются следующие данные об успеваемости 20 студентов группы по теории статистики в летнюю сессию: 5, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 5, 2, 5, 5, 2, 3, 3. Постройте:
1) ряд распределения студентов по баллам оценок, полученным в сессию;
2) ряд распределения студентов по уровню успеваемости, выделив в нем 2 группы: неуспевающие (2 балла) и успевающие (3 балла и выше);
3) укажите, каким видом ряда распределения является каждый из них.
Тема 2: Абсолютные, относительные и средние величины. Показатели вариации.
Результаты статистического наблюдения регистрируются прежде всего в форме первичных абсолютных величин.
В статистике все абсолютные величины являются именованными, измеряются в конкретных единицах (человеках, рублях, штуках, киловатт-часах, человеко-днях и человеко-часах и т.д.) и, в отличие от математического понятия абсолютной величины, могут быть как положительными, так и отрицательными (убытки, убыль, потери и т.п.)
Поскольку абсолютные показатели – это основа всех форм учета и приемов количественного анализа, то следует разграничивать моментные и интервальные абсолютные величины. Первые показывают фактическое наличие или уровень явления на определенный момент, дату (например, наличие запасов материалов или оборотных средств, величина незавершенного производства, численность проживающих и т.д.). Вторые – итоговый накопленный результат за период в целом (объем произведенной продукции за месяц или год, прирост населения за определенный период, величина валового сбора зерна за год и за пятилетку и т.д.)
Относительная величина в статистике – это обобщающий показатель, который дает числовую меру соотношения двух сопоставляемых абсолютных величин.
Так как многие абсолютные величины взаимосвязаны, то и относительные величины одного типа в ряде случаев могут определяться через относительные величины другого типа.
Основное условие правильного расчета относительной величины – сопоставимость сравниваемых показателей и наличие реальных связей между изучаемыми явлениями. Таким образом, по способу получения относительные показатели – всегда величины произвольные, определяемые в форме коэффициентов, процентов, промилле и т.д.
Относительные величины образуют систему взаимосвязанных статистических показателей. По содержанию выражаемых количественных соотношений выделяют следующие типы относительных величин.
Относительный показатель динамики. Характеризует изменение уровня развития какого-либо явления во времени. Получается в результате деления уровня признака в определенный период или момент времени на уровень этого же показателя в предшествующий период или момент.
Относительный показатель плана. Рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в предшествующем периоде.
Относительный показатель реализации плана. Рассчитывается как отношение фактически достигнутого в данном периоде уровня к запланированному.
Между этими показателями существует взаимосвязь: ОПП * ОПРП = ОПД
Относительный показатель структуры. Характеризуют доли, удельные веса составных элементов в общем итоге. Как правило, их получают в форме процентного содержания:
Относительный показатель координации. Характеризуют отношение частей данной совокупности к одной их них, принятой за базу сравнения. ОПК показывают, во сколько раз одна часть совокупности больше другой, либо сколько единиц одной части приходится на 1, 10, 100, 1000, … единиц другой части. Относительные величины координации могут рассчитываться и по абсолютным показателям, и по показателям структуры.
Относительный показатель интенсивности. Характеризуют степень распределения или развития данного явления в той или иной среде. Представляют собой отношение абсолютного уровня одного показателя, свойственного изучаемой среде, к другому абсолютному показателю, также присущему данной среде и, как правило, являющемуся для первого показателя факторным признаком.
Относительный показатель сравнения. Характеризуют сравнительные размеры одноименных абсолютных величин, относящихся к одному и тому же периоду либо моменту времени, но к различным объектам или территориям.
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние.
К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
Табл. 1Виды степенных средних
| Вид степенной средней | Показатель степени (m) | Формула расчета
 Мы поможем в написании ваших работ! | ||||