Задачи для самостоятельного решения

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Основные понятия и формулы

Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения: если и , то

, .

Комплексное число изображается точкой или вектором на координатной плоскости (рис. 1.1). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой . Действительные числа и называются действительной и мнимой частью комплексного числа . Если , то ; . Поэтому комплексное число вида естественно отождествить с действительным числом .

Все свойства сложения и умножения действительных чисел переносятся и на комплексные числа.

Число называется мнимой единицей; его квадрат:

Каждое комплексное число можно представить в виде или, используя введенные выше отождествления, в виде или . В дальнейшем будем пользоваться именно такой записью комплексных чисел. Она удобна тем, что числа и можно складывать и умножать по «обычным» правилам как двучлены, не обращаясь к определению этих действий:

Модулем комплексного числа называется число

а аргументом любое число такое, что

, . (1.1)

Геометрический смысл чисел и изображен на рис. 1.1. Аргумент определен с точностью до слагаемого , . То единственное значение аргумента, которое удовлетворяет неравенству , называется его главным значением и обозначается .

Из (1.1) получаем тригонометрическую форму комплексного числа

. (1.2)

Обозначив здесь , получим показательную форму комплексного числа

. (1.3)

Для возведения числа z в степень удобно записать его в показательной форме (1.2) и воспользоваться формулой Муавра

. (1.4)

Корнем n-ной степени из комплексного числа называется любое такое комплексное число w, что . Существует ровно n различных значений корня из комплексного числа ; все они обозначаются , и находятся по формуле

, ; . (1.5)

Здесь – действительное положительное число.

Число называется комплексно-сопряженным числу (см. рис 1.1). Операция сопряжения имеет следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) , ;

7) Если , то .

Примеры решения задач

1.2.1.Найти , если .

◀ ;

;

(здесь учтено, что );

, (здесь учтено, что ).

▶

1.2.2.Записать комплексное число в тригонометрической и показательной формах.

◀ Модуль числа . Главное значение аргумента найдем из условий (1.1): ; . Следовательно, . По формулам (1.2) и (1.3) получаем тригонометрическую и показательную форму числа: и ▶

1.2.3.Найти .

◀ Комплексное число представим в показательной форме: ; так как и , то , и поэтому

Теперь по формуле Муавра (1.4)

Перейдя к тригонометрической форме, получим

▶

1.2.4.Найти все значения .

◄ Так как , то модуль этого числа , а аргумент находим из условий , ; , откуда (рис. 1.2). По формуле (1.5) имеем далее

, .

При ,

при ,

при . ▶

1.2.5.Описать геометрически следующие множества:

; .

◄ Поскольку , то множество A представляет собой полосу между горизонтальными прямыми и (рис. 1.3).

Модуль разности между двумя комплексными числами является расстоянием между изображающими их точками на плоскости, поэтому B представляет собой окружность радиуса 1 с центром в точке .

Множество C изображено на рис. 1.4. Неравенства задают кольцо между двумя окружностями и радиусов 1 и 2 с центрами в точке 0. Неравенства задают сектор между двумя лучами и .

Так как , то ; то есть множество D представляет собой внешность круга радиуса с центром в точке 0 (см. рис. 1.4). ▶

Задачи для самостоятельного решения

В задачах 1.3.1 и 1.3.2 изобразить на комплексной плоскости числа , и ; найти и .

1.3.1. , .		1.3.2. , .
1.3.3.Вычислить .		1.3.4.Вычислить .
1.3.5.Найти .	1.3.6.Найти .
1.3.7.Найти все значения .	1.3.8.Найти все значения .