Модуль 1. Электростатика. Постоянный электрический ток

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Занятие 1. Взаимодействие заряженных тел. Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Теорема Остроградского-Гаусса. Потенциал электростатического поля

Краткие теоретические сведения

Основные формулы

Закон сохранения электрического заряда:

где - число зарядов.

Напряженность электрического поля:

где - сила, действующая на точечный положительный заряд , помещенный в данную точку поля.

Закон Кулона:

Напряженность поля точечного заряда:

где q – заряд, создающий поле, - расстояние от точечного заряда до рассматриваемой точки.

Принцип суперпозиции электрических полей:

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью на расстоянии от ее оси:

где - линейность заряда ( - длина нити, на которой распределен заряд ).

Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной пластины с поверхностной плотностью заряда :

где - поверхностная плотность заряда ( - площадь поверхности, по которой распределен заряд ).

Напряженность поля между двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями с одинаковой по модулю плотностью заряда :

Напряженность электрического поля равномерно заряженного шара:

а) для точек внутри шара:

где - объемная плотность зарядов, - расстояние от центра шара до рассматриваемой точки;

б) для точек вне шара:

(*)

где - полный заряд шара.

Напряженность электрического поля , создаваемого металлической сферой радиусом , несущей заряд , на расстоянии от центра сферы:

а) внутри сферы ( ):

б) на поверхности сферы ( ):

в) вне сферы ( ) по той же формуле*, что и для точек вне шара.

Напряженность поля бесконечно длинного, равномерно заряженного цилиндра(для точек, находящихся вне цилиндра):

где - линейная плотность заряда.

У поверхности любого проводника с постоянной поверхностной плотностью заряда напряженность поля равна:

Напряженность поля диполя в точке, находящейся на расстоянии от середины плеча диполя:

Электрический момент диполя:

- плечо диполя (вектор , проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду).

Вектор электрического смещения (вектор индукции) и напряженность полядля изотропной среды связаны соотношением:

Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью:

Потенциал электрического поля:

или

где - потенциальная энергия точечного положительного заряда, помещенного в данную точку поля; - работа сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Разность потенциалов между двумя точками электрического поля:

Потенциал электрического точечного заряда на расстоянии от него:

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиуса на расстоянии от центра сферы, несущей заряд :

а) внутри и на поверхности сферы ( ):

б) вне сферы ( ):

Связь потенциала с напряженностью:

а) в общем случае:

где - градиент потенциала;

- единичные векторы координатных осей OX, OY, OZ соответственно;

б) в случае однородного поля:

- расстояние между двумя эквипотенциальными поверхностями, имеющими потенциалы и .

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда из одной точки поля, имеющую потенциал , в другую, имеющую потенциал ,

или

где - проекция вектора напряженности на направление перемещения; - величина перемещения.

Вопросы для ответа у доски

1. Закон Кулона.

Изложите идею опытов Кулона по количественному изучению взаимодействия точечных зарядов. Единица заряда в СИ. Электрическая постоянная. Назовите основные единицы СИ. Дайте определение единицы заряда в СИ (кулона). Запишите закон Кулона в СИ.

2. Напряженность электрического поля. Единицы напряженности.

Дайте определение напряженности поля в данной точке. Единица измерения напряженности в СИ.

3. Поле диполя: а) случай, когда точка М находится на оси диполя; б) случай, когда точка М находится на перпендикуляре к оси диполя в центре его; в) общий случай.

Во всех случаях следует рассчитать величину напряженности, используя принцип суперпозиции полей, а также записать формулу в векторном виде.

4. Теорема Остроградского-Гаусса.

Введите понятие о потоке вектора напряженности. Рассчитайте поток вектора напряженности через сферу, центр которой совпадает с электрическим точечным зарядом. Обобщите полученный результат для случая системы точечных зарядов и произвольной поверхности. Сформулируйте теорему Остроградского-Гаусса.

5. Применение теоремы Остроградского-Гаусса для расчета полей: а) бесконечной равномерно заряженной плоскости; б) двух разноименно заряженных бесконечных плоскостей; в) бесконечного равномерно заряженного цилиндра; г) равномерно заряженного шара; д) равномерно заряженной сферы.

Во всех случаях необходимы рисунки, объяснение применения теоремы Остроградского-Гаусса, а также графики зависимости напряженности от расстояния.

6. Работа сил электростатического поля.

Получите формулу для работы в случае движения одного точечного электрического заряда в поле другого. Обобщите эту формулу для случая поля системы точечных зарядов. Покажите, что электростатическое поле является потенциальным.

7. Потенциал электростатического поля. Единица потенциала.

Получите формулу для потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов и проанализируйте ее. Обобщите эту формулу на случай заряда, находящегося в поле системы точечных зарядов. Введите понятие о потенциале. Единица потенциала в СИ.

8. Потенциал поля заряженной сферы.

Рассчитайте разность потенциалов в точках, находящихся за пределами и внутри сферы. Получите формулу для расчета потенциала сферы (шара). Покажите, что заряженная сфера (шар) является эквипотенциальной поверхностью.

Примеры решения задач

Задача 1.

Три одинаковых положительных заряда Q₁=Q₂=Q₃ =1нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q₄нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?

Решение.

Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трёх зарядов, например Q₁, находился в равновесии. В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных.

Поэтому заряд Q₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:

, (*)

где - силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q₁ заряды Q₂, Q₃ и Q₄; – равнодействующая сил и_. Так как силы и направлены по одной прямой, то векторное равенство (*) можно заменить суммой:

или .

Выразив в последнем равенстве через и и, учитывая, что , получим:

Применяя закон Кулона, и имея в виду, что Q₁=Q₂=Q₃, найдём:

откуда

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что:

С учётом этого получим:

0,58 нКл.

Отметим, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Ответ: 0,58 нКл.

Задача 2.

Электрическое поле создано двумя точечными зарядами: Q₁=30 нКл и Q₂=-10нКл. Расстояние d между зарядами равно 20см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии =15см от первого и на расстоянии =10см от второго заряда.

Решение.

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создаёт поле, независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей и полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме первым и вторым зарядами, соответственно равны:

(*)

Вектор направлен по силовой линии от заряда Q₁, так как заряд Q₁ >0; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду Q_2,т.к. Q₂<0 . Абсолютное значение вектора найдем по теореме косинусов:

(**)

где угол a может быть найден из треугольника со сторонами , и d:

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение . По этой формуле найдем 0,25.

Подставляя выражения и в формулы (*), а затем - в формулу (**), получаем:

Подставив значения величин и произведя вычисления, найдем:

16,7кВ/м.

Ответ: 16,7кВ/м.

Задача 3.

Точечный заряд Q=25нКл находится в поле, созданном прямым бесконечным цилиндром радиусом R=1см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью =2мкКл/м². Определить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстояние =10см.

Решение.

Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле:

где – напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q. Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра:

где - линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность через поверхностную плотность . Для этого выделим элемент цилиндра длиной и выразим находящийся на нём заряд Q₁ двумя способами:

Приравняв правые части этих равенств, получим:

после сокращения получаем:

С учётом этого, формула примет вид Подставив это выражение в найдём искомую силу:

Выполнив вычисления, найдём:

0,565мН.

Направление силы совпадает с направлением вектора напряженности , а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру.

Ответ: 0,565мН.

Задача 4.

Две концентрические проводящие сферы радиусами 6см и 10см несут соответственно заряды 1нКл и -0,5нКл. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях 5см, 9см и 15см. Построить график

Решение.

1. Для определения напряженности

в области I проведем сферическую поверхность

радиусом

и воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство:

Точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех областях: область I (

), область II (

), область III (

(*)

где - нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображений симметрии нормальная составляющая должна быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (*) примет вид:

Так как площадь сферы не равна нулю, то т.е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию будет равна нулю.

2. В области II проведем сферическую поверхность радиусом . Так как внутри этой поверхности находится заряд , то для нее, согласно теореме Остроградского-Гаусса, можно записать равенство:

(1)

Так как , то из условий симметрии следует:

или (2)

Откуда:

Подставив сюда выражение площади сферы, получим:

(3)

3. В области III проведем сферическую поверхность радиусом . Эта поверхность охватывает суммарный заряд . Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского-Гаусса, будет иметь вид:

Отсюда, используя положения, примененные в первых двух случаях, найдем:

(4)

Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля:

Выразим все величины в единицах CИ ( 10^-9Кл, -0,5∙10^-9Кл, 0,09м, 0,15м, 1/(4 )=9∙10⁹м/Ф).

Произведем вычисления:

4. Построим график

В области I ( ) напряженность

В области II ( ) напряженность изменяется по закону:

В точке напряженность

В точке ( слева) ,

В области III ( ) изменяется по закону: причем в точке ( справа):

Таким образом, функция в точках и терпит разрыв.

График зависимости представлен ниже.

Ответ:

Задача 5.

Два одинаковых положительных заряда расположены на расстоянии r друг от друга в однородной среде с диэлектрической проницаемостью . Найти потенциал в точке, расположенной на одинаковом расстоянии как от одного, так и от другого заряда.

Решение.

Потенциал j равен сумме потенциалов

, созданных каждым из зарядов.

Отсюда:

Ответ:

Задача 6.

Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом 1см, равномерно заряженным с линейной плотностью 20нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях 0,5см и 2см от поверхности цилиндра в средней его части.

Решение.

Определим разность потенциалов, используя соотношение между напряженностью поля и изменением потенциала: Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде:

или (*)

Интегрируя выражение (*), найдём разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях и от оси цилиндра:

(**)

Для напряженности поля воспользуемся формулой:

(***),

т.к. цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части.

Подставив (***) в выражение (**), получим:

(1)

Величины и входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:

1,5см и 3см.

Подставив значения величин в формулу (1), получаем:

250В.

Ответ: 250В.

Задача 7.

Положительные заряды Q₁=3мкКл и Q₂=20нКл находятся на расстоянии 1,5м друг от друга. Определить работу А, которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния r₂=1м.

Решение.

Положим, что Q₁ остается неподвижным, а Q₂ – движется. Работа внешней силы: