Застосування визначеного інтеграла у фізиці.

Обчислення шляху за відомим законом зміни швидкості.

Раніше було встановлено, що є первісною для функції , яка виражає закон зміни швидкості. Оскільки шлях, який пройде тіло за інтервал часу від до , є приростом функції (приріст первісної), який виражається через інтеграл за формулою Ньютона – Лейбніца, то за умови , що функція неперервна.

Приклад 14. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом (м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від с до с.

Розв’язання.

(м).

Відповідь: 10 м.

Обчислення роботи змінної сили.

Нехай тіло, що розглядається як матеріальна точка, рухається під дією змінної сили F(х), напрямленої вздовж осі Ох. Знайдемо формулу для обчислення роботи при переміщенні тіла з точки х = а у точку х = b.

Нехай А(х) — робота при переміщенні тіла з точки а у точку х. Надамо х приросту х. Тоді А(х + х) - А(х) — робота, яка виконується силою F(х) при переміщенні тіла з точки х у точку х + х. Коли х 0, силу F(х) на відрізку [х; х + х] вважатимемо сталою, що дорівнює F(х). Тому А(х + х) - . Звідси .

Тоді , або, за означення похідної, А`(x) =F(x).

Остання рівність означає, що А (х) є первісною для функції F(х). Тоді, за формулою Ньютона — Лейбніца, ,

оскільки А(а) = 0.

Отже, робота змінної сили F(х) при переміщенні тіла з точки а на точку b дорівнює .

Приклад 15. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4 м, що має квадратний переріз зі стороною 2 м. Густина води р = 10³ кг/м³.

Розв'язання. Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили (мал. 58). Значення сили F(х), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м², визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже,

, де .

Обчислення маси неоднорідного стержня.

За означенням, лінійна густина неоднорідного стержня дорівнює похідній функції т = т(l), що виражає масу стержня як функцію його довжини.

Отже, = т'(l), тобто функція т = т(l) є

первісною для = (l).Звідси випливає, що масу

стержня на відрізку [l₁;l₂] можна обчислити за

формулою .

    Приклад 16. Знайти масу стержня завдовжки

35 см, якщо його лінійна густина змінюється

за законом .

    Розв'язання.

Обчислення кількості електрики.

За означенням, сила струму є похідною від кількості електрики Q=Q(t,) де t — час, тобто I(t) = Q'(t). А тоді функція Q = Q(t) є первісною для функції I = I(t)?, тому кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за час від t₁ до t₂, можна

знайти за формулою .

За значенням , сила струму є похідною від кількості електрики Q=Q(t), де t – час , тобто .А тоді функція Q= Q(t) є первинною для функції f=f(x) , тому кількість електрики , що проходить через переріз провідника за час , можна знайти за формулою .

Приклад 17.Знайдіть кількість електрики , що проходить через поперечний переріз дроту за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом а.

Розв'язання

, Кл.

Відповідь.210 Кл

Приклад 18.Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом I(t) = (4t + 1)(A).

Розв'язання.

.

Визначений інтеграл широко застосовують під час розв'язування фізико-технічних задач різного характеру, а також задач економічного змісту.

Приклад 19.Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою

                       .

де t – робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі – 62.

Розв'язання.

Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці.

Тому

                          .

    Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме:

Приклад 20.Експериментально встановлено, що залежність затрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q=- 18 - 0,3u + 0,003u², де . Визначити середню затрату бензину, якщо швидкість руху 50—60 км/год.

Розв'язання.

Середня затрата бензину становить:

Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50 — 60 км/год, затрачає в середньому 10,6 л бензину.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 350; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!