Когда у тебя все хорошо, помни, что у кого-то может быть плохо. Поделись своим хорошо с другим. © Александр Дьяков 1022 - | 804 - или читать все...
Обратная связь Пожаловаться на материал

Варианты задач линейного программирования

Власов В.И. Шарипов О.А.

Сборник задач

По линейному программированию

Методические указания
для самостоятельной работы по курсу

“Математическое моделирование и планирование процессов”

 

 

Москва 2011 г.


 


Задача линейного программирования

 

Линейное программирование - раздел математического программирования, в котором изучаются методы нахождения условных экстремумов линейных функций многих переменных при наличии дополнительных линейных ограничений на эти переменные, имеющих форму неравенств.

Задача линейного программирования: определить такие значения переменных xj, которые обращают линейную целевую функцию этих переменных в экстремум

, j = 1 … n

при условии выполнения линейных ограничений-неравенств, накладываемых на эти переменные

,  i = 1 … m , m ≥ n.

 

Метод решения задач линейного программирования

Наиболее эффективным методом решения задачи линейного программирования является симплекс-метод. При решении задачи линейного программирования этим методом:

1) Ограничения-неравенства приводят к одному виду. Если критерием оптимальности является максимум целевой функции, то ограничения-неравенства должны иметь вид

,


а если критерием оптимальности является минимум целевой функции, то ограничения неравенства приводят к виду

.

Переход от одного вида ограничений к другому осуществляется путем изменения знаков коэффициентов aij и свободных членов bi на противоположные.

2) Систему линейных ограничений-неравенств заменяют системой линейных ограничений-равенств путем введения дополнительных переменныхyi. При этом свободный член целевой функции полагают равным нулю

 ,

.

3) Дополнительные переменные yi выражают через основные xj

 ,

и полагают все основные переменные xj равными нулю (базисное решение). Однако это решение не оптимально.

4) Для нахождения оптимального решения необходимо поменять местами n основных переменных xj с равным количеством дополнительных переменных yi, т.е. перевести n дополнительных переменных yi в базисные, равные нулю.


Для этого поочередно в каждом столбце коэффициентов aij определяют разрешающий элемент apq, т.е. положительный элемент столбца, имеющий максимальное отношение к абсолютной величине свободного члена

aij / |bi| = max .

и меняют местами основную переменную xj=q и соответствующую дополнительную переменную yi=p. Полученное значение xj=q подставляют в остальные уравнения.

Задача считается решенной, если в строке целевой функции, не считая свободного члена, нет ни одного положительного элемента (признак оптимальности).

Если после перевода всех основных переменных из базиса в строке целевой функции есть положительный элемент, то соответствующую дополнительную переменную переводят из базисной в свободную, а свободную в базисную, т.е. меняют местами две дополнительные переменные.


Примеры решения задачи

Пример 1.

Задача: Требуется определить максимум функции F = x1 + x2, при условии выполнения следующих ограничений:

x1 + 2 x2 £ 6 ;

2 x1 + x2 £ 3 ;

x1 - 2 x2 ≥ - 1 .

Решение. Приводим ограничения-неравенства к одному виду

x1 + 2 x2 £ 6 ;

2 x1 + x2 £ 3 ;

- 1 x1 + 2 x2 £ 1 .

Заменяем ограничения-неравенства уравнениями, вводя дополнительные переменные y, и полагаем свободный член в целевой функции равным нулю

 

x1 + 2 x2 + y1 = 6 ;

2 x1 + x2 + y2 = 3 ;

 - x1 + 2 x2 + y3 = 1 ;

x1 +    x2 + y4 = 0 .

Выражаем значения дополнительных переменных y через основные x

y1 = 6 - ( x1 + 2 x2) ;

y2 = 3 - (2 x1 + x2) ;

y3 = 1 - ( - x1 + 2 x2) ;

y4 = 0 - ( x1 + x2) .

Находим разрешающий элемент в первом столбце коэффициентов (вторая строка) и меняем местами основную переменную x1 и дополнительную переменную y2

2 x1 = 3 - (y2 + x2)

или

x1 = 1,5 - 0,5 y2 - 0,5 x2 .

Подставляем это значение в остальные уравнения

y1 = 6 - ( 1,5 - 0,5 y2 - 0,5 x2 + 2 x2) ;

x1 = 1,5 - (     0,5 y2 + 0,5 x2      ) ;

y3 = 1 - (-1,5 + 0,5 y2 + 0,5 x2 + 2 x2) ;

y4 = 0 - ( 1,5 - 0,5 y2  - 0,5 x2 + x2) .

Тогда система уравнений примет вид

y1 = 4,5 - (-0,5 y2 + 1,5 x2) ;

x1 = 1,5 - ( 0,5 y2 + 0,5 x2) ;

y3 = 2,5 - ( 0,5 y2 + 2,5 x2) ;

y4 = -1,5 - (-0,5 y2 + 0,5 x2) .

Теперь находим разрешающий элемент во втором столбце (третья строка) и меняем местами основную переменную x2 с дополнительной переменной y3

2,5 x2 = 2,5 - (0,5 y2 + y3)

или

x2 = 1 - 0,2 y2 - 0,4 y3 .


Подставляем это значение в остальные уравнения.

y1 = 4,5 - (-0,5 y2 + 1,5 - 0,3 y2 - 0,6 y3) ;

x1 = 1,5 - ( 0,5 y2 + 0,5 - 0,1 y2 - 0,2 y3) ;

x2 = 1,0 - ( 0,2 y2                 + 0,4 y3) ;

y4 = -1,5 - (-0,5 y2 + 0,5 - 0,1 y2 - 0,2 y3) .

Тогда система уравнений примет вид

y1 = 3 - (-0,8 y2 - 0,6 y3) ;

x1 = 1 - ( 0,4 y2 - 0,2 y3) ;

x2 = 1 - ( 0,2 y2 + 0,4 y3) ;

y4 = -2 - (-0,6 y2 - 0,2 y3) .

Так как коэффициенты перед дополнительными переменными y2 и y3 в строке целевой функции имеют отрицательные значения, то оптимальное решение имеется

x1 = 1           x2 = 1 .

 

Пример 2.

Задача: Требуется определить максимум функции F = x2 при условии выполнения следующих ограничений:

x1 + 4 x2 £ 16 ;

x1  - 2 x2 ³ - 2 ;

x1 + 2 x2 £ 6 ;

x1       £ 3 .

Решение. Приводим ограничения-неравенства к одному виду

x1 + 4 x2 £ 16 ;

- x1 + 2 x2 £ 2 ;

  x1 + 2 x2 £ 6 ;

x1       £ 3 .

Заменяем ограничения-неравенства уравнениями, вводя дополнительные переменные y и полагая свободный член в целевой функции, равным нулю.

x1 + 4 x2 + y1 = 16 ;

- x1 + 2 x2 + y2 = 2 ;

x1 + 2 x2 + y3 = 6 ;

x1         + y4 = 3 ;

        x2 + y5 = 0 .

Выражаем значения дополнительных переменных y через основные x

y1 = 16 - ( x1 + 4 x2) ;

y2 = 2 - (-x1 + 2 x2) ;

y3 = 6 - ( x1 + 2 x2) ;

y4 = 3 - ( x1     ) ;

y5 = 0 - (       x2) .

Находим разрешающий элемент в первом столбце (четвертая строка) и меняем местами основную переменную x1 с дополнительной переменной y4

x1 = 3 - y4.

Подставляем это значение в остальные уравнения


y1 = 16 - ( 3 - y4 + 4 x2) ;

y2 = 2 - (-3 + y4 + 2 x2) ;

y3 = 6 - ( 3 - y4 + 2 x2) ;

y4 = 3 - (  x1      ) ;

y5 = 0 - (             x2) .

Тогда система уравнений примет вид

y1 = 13 - (-y4 + 4 x2) ;

y2 = 5 - ( y4 + 2 x2) ;

y3 = 3 - (-y4 + 2 x2) ;

x1 = 3 - (y4       ) ;

y5 = 0 - (       x2) .

Теперь находим разрешающий элемент во втором столбце (третья строка) и меняем местами основную переменную x2 и дополнительную переменную y3

2 x2 = 3 - (-y4 + y3)

или

x2 = 1,5 + 0,5 y4 - 0,5 y3 .

Подставляем это значение в остальные уравнения

y1 = 13 - (   - y4 + 6 + 2 y4   - 2 y3) ;

y2 = 5 - (   y4 + 3 + y4 - y3) ;

x2 = 1,5 - (-0,5  y4              + 0,5 y3) ;

x1 = 3 - (   y4                           ) ;

y5 = 0 - (       1,5 + 0,5 y4 - 0,5 y3) .

Тогда система уравнений примет вид

y1 = 7 - (  y4 - 2 y3) ;

y2 = 2 - ( 2 y4 -  y3) ;

x2 = 1,5 - (-0,5 y4+ 0,5 y3) ;

x1 = 3 - (  y4        ) ;

y5 = -1,5 - ( 0,5 y4 - 0,5 y3) .

Так как в строке целевой функции коэффициент перед дополнительной переменной y4 положительный, то решение x1 = 3 и x2 = 1,5 не оптимально.

Поэтому в столбце коэффициентов перед y4 (вторая строка) находим разрешающий элемент и относительно его меняем местами дополнительные переменные y2 и y4

2 y4 = 2 - (y2 - y3)

или

y4 = 1 - 0,5 y2 + 0,5 y3 .

Подставляем это значение в остальные уравнения

y1 = 7 - ( 1 - 0,5 y2  + 0,5 y3  - 2 y3) ;

y4 = 1 - (       0,5 y2   - 0,5 y3          ) ;

x2 = 1,5 - (-0,5 + 0,25 y2 - 0,25 y3 + 0,5 y3) ;

x1 = 3 - ( 1 - 0,5 y2  + 0,5 y3         ) ;

y5 = -1,5 - (0,5 - 0,25 y2 + 0,25 y3  - 0,5 y3) .


Тогда система уравнений примет вид

y1 = 6 - (-0,5 y2 - 1,5 y3) ;

y4 = 1 - (0,5 y2  - 0,5 y3) ;

x2 = 2 - (0,25 y2 + 0,25 y3) ;

x1 = 2 - (-0,5 y2 + 0,5 y3) ;

y5 = -2 - (-0,25 y2 - 0,25 y3) .

Так как коэффициенты перед дополнительными переменными y2 и y3 в строке целевой функции отрицательные, то оптимальное решение найдено.

x1 = 2          x2 = 2.

 


Автоматизация решения задачи

 

Код программы на языке программирования Just BASIC.

 

‘ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

‘ ВВОД ДАННЫХ

INPUT M

INPUT N

DIM A(M,N), B(M), C(M), X(M),Y(N)

FOR I=1 TO M

FOR J=1 TO N

INPUT A(I,J)

NEXT J

INPUT B(I)

NEXT I

' Перестроение переменных

FOR L = 1 TO N

P = L

GOSUB [OpRazEl] ' Вызов функции замены переменных

FOR J = 1 TO N

   V = A(L, J)

   A(L, J) = A(K, J)

   A(K, J) = V

NEXT J

W = B(L)

B(L) = B(K)

B(K) = W

NEXT L

IF M <> N + 1 THEN

FOR L = 1 TO N

250 IF A(M, L) >= 0 THEN

       P = N + 1

       GOSUB [OpRazEl] ' Вызов функции замены переменных

GOTO 250

ELSE

END IF

NEXT L

ELSE

END IF

‘ ВЫВОД РЕШЕНИЯ

FOR I=1 TO N

PRINT B(I)

NEXT I

END


' Процедура определения разрешающего элемента

[OpRazEl]

E = 0

FOR I = P TO M - 1

IF A(I, L) <> 0 THEN

   IF B(I) = 0 THEN K = I: EXIT FOR

   C(I) = A(I, L) / ABS(B(I))

   IF C(I) > E THEN E = C(I): K = I

ELSE

END IF

NEXT I

' Пpисвоение меток

FOR I = 1 TO M

IF I = K THEN

   Z = B(I)

   FOR J = 1 TO N

       IF J = L THEN

           S = A(I, J)

ELSE

           Y(J) = A(I, J)

END IF

NEXT J

ELSE

   FOR J = 1 TO N

          IF J = L THEN X(I) = A(I, J)

NEXT J

END IF

NEXT I

' Преобразование матрицы

FOR I = 1 TO M

IF I = K THEN

   B(I) = Z / S

   FOR J = 1 TO N

       IF J = L THEN

           A(I, J) = 1 / S

ELSE

           A(I, J) = Y(J) / S

END IF

NEXT J

ELSE

   B(I) = B(I) - X(I) * Z / S

   FOR J = 1 TO N

       IF J = L THEN

           A(I, J) = -X(I) / S

ELSE

           A(I, J) = A(I, J) - X(I) * Y(J) / S

END IF

NEXT J

END IF

NEXT I


Варианты задач линейного программирования

Определить такие значения переменных x1 и x2, которые обращают линейную функцию этих переменных Fo в экстремум, при условии выполнения линейных ограничений неравенств, накладываемых на эти переменные.

Задание №1

 

Задача 1.1

  

Задача 1.2
  4 x1 –   x2 ≤ 12     4 x1 –   x2 ≥ 12
  – x1 + 4 x2 ≤ 12     – x1 + 4 x2 ≥ 12
    x1 +   x2 = max       x1 +   x2 = min
                                 

Задача 1.3

  

Задача 1.4
  2 x1 –   x2 ≤ 2     2 x1 –   x2 ≥ 2
  – x1 + 2 x2 ≤ 2     – x1 + 2 x2 ≥ 2
    x1 +   x2 = max       x1 +   x2 = min
                                 

Задача 1.5

  

Задача 1.6
  4 x1 –   x2 ≤ 24     4 x1 –   x2 ≥ 24
    x1 –   x2 ≤ 3       x1 –   x2 ≤ 3
          x2 = max             x2 = min
                                 

Задача 1.7

  

Задача 1.8
  – x1 +   x2 ≥ 3     – x1 +   x2 ≤ 3
  – x1 + 4 x2 ≤ 24     – x1 + 4 x2 ≥ 24
    x1       = max       x1       = min
                                 

Задача 1.9

  

Задача 1.10
    x1 –   x2 ≤ 6       x1 –   x2 ≥ 6
  – x1 + 4 x2 ≤ 12     – x1 + 4 x2 ≥ 12
  2 x1 +   x2 = max     2 x1 +   x2 = min
                                 

Задача 1.11

  

Задача 1.12
  – x1 +   x2 ≤ 6     – x1 +   x2 ≥ 6
  4 x1 –   x2 ≤ 12     4 x1 –   x2 ≥ 12
    x1 + 2 x2 = max       x1 + 2 x2 = min

Задача 1.13

  

Задача 1.14
  2 x1 –   x2 ≤ 8     2 x1 –   x2 ≥ 8
  – x1 + 2 x2 ≤ 8     – x1 + 2 x2 ≥ 8
    x1 + 2 x2 = max       x1 + 2 x2 = min
                                 

Задача 1.15

  

Задача 1.16
  2 x1 +   x2 ≤ 8     2 x1 +   x2 ≥ 8
    x1 + 3 x2 ≤ 9       x1 + 3 x2 ≥ 9
    x1 +   x2 = max       x1 +   x2 = min
                                 

Задача 1.17

  

Задача 1.18
  2 x1 +   x2 ≤ 8     2 x1 +   x2 ≥ 8
    x1 + 2 x2 ≤ 10       x1 + 2 x2 ≥ 10
    x1 +   x2 = max       x1 +   x2 = min
                                 

Задача 1.19

  

Задача 1.20
    x1 +   x2 ≤ 7       x1 +   x2 ≥ 7
    x1 + 3 x2 ≤ 9       x1 + 3 x2 ≥ 9
    x1 + 2 x2 = max       x1 + 2 x2 = min
                                 

Задача 1.21

  

Задача 1.22
    x1 +   x2 ≤ 7       x1 +   x2 ≥ 7
    x1 + 2 x2 ≤ 10       x1 + 2 x2 ≥ 10
  2 x1 + 3 x2 = max     2 x1 + 3 x2 = min
                                 

Задача 1.23

  

Задача 1.24
  3 x1 +   x2 ≤ 15     3 x1 +   x2 ≥ 15
  2 x1 + 3 x2 ≤ 24     2 x1 + 3 x2 ≥ 24
    x1 +   x2 = max       x1 +   x2 = min
                                 

Задача 1.25

  

Задача 1.26
  3 x1 +   x2 ≤ 18     3 x1 +   x2 ≥ 18
  2 x1 + 3 x2 ≤ 26     2 x1 + 3 x2 ≥ 26
    x1 +   x2 = max       x1 +   x2 = min

Задание №2

 

Задача 2.1

 

Задача 2.2
    x1 + 2 x2 ≤

6

 

     x1 + 2 x2 ≤ 6
  2 x1 +   x2 ≤

3

 

   2 x1 +   x2 ≥ 3
  – x1 + 2 x2 ≤

1

 

   – x1 + 2 x2 ≥ 1
    x1 +   x2 =

max

 

     x1 +   x2 = min
             

 

 

                

Задача 2.3

 

Задача 2.4
    x1 – 2 x2 ≥

2

 

     x1 – 2 x2 ≤ 2
    x1 + 2 x2 ≤

6

 

     x1 + 2 x2 ≥ 6
    x1       ≥

3

 

     x1       ≥ 3
          x2 =

max

 

           x2 = min
             

 

 

                

Задача 2.5

 

Задача 2.6
    x1 +   x2 ≥

6

 

     x1 +   x2 ≤ 6
    x1 –   x2 ≤

0

 

     x1 –   x2 ≥ 0
    x1       ≤

5

 

     x1       ≤ 5
  2 x1 – 10 x2 =

max

 

   2 x1 – 10 x2 = min
             

 

 

                

Задача 2.7

 

Задача 2.8
    x1 + 4 x2 ≤

12

 

     x1 + 4 x2 ≥ 8
  – x1 + 2 x2 ≤

2

 

   – x1 + 2 x2 ≥ 2
    x1 + 2 x2 ≤

6

 

     x1 + 2 x2 ≥ 6
    x1       ≤

6

 

     x1       ≤ 4
          x2 =

max

 

           x2 = min
             

 

 

                

Задача 2.9

 

Задача 2.10
    x1 +   x2 ≤

6

 

     x1 +   x2 ≥ 6
    x1 –   x2 ≥

0

 

     x1 –   x2 ≥ 0
    x1       ≤

5

 

     x1       ≤ 5
  2 x1 +   x2 =

max

 

   2 x1 +   x2 = min
             

 

 

                
                                     

 

Задача 2.11

  

Задача 2.12
  3 x1 +   x2 ≤ 15     3 x1 +   x2 ≥ 15
  3 x1 –   x2 ≥ 0     3 x1 –   x2 ≥ 0
    x1 –   x2 ≤ 1       x1 –   x2 ≥ 1
  2 x1 –   x2 = max     2 x1 ­–   x2 = min
                                 

Задача 2.13

  

Задача 2.14
– 2 x1 +   x2 ≤ 0   – 2 x1 +   x2 ≤ 0
    x1 + 2 x2 ≤ 10       x1 + 2 x2 ≤ 10
    x1 +   x2 ≥ 3       x1 +   x2 ≥ 3
    x1 – 2 x2 ≤ 5       x1 – 2 x2 ≤ 5
    x1       ≤ 6       x1       ≤ 6
    x1 + 3 x2 = max       x1 ­     = min
                                 

Задача 2.15

  

Задача 2.16
– 2 x1 +   x2 ≤ 0   – 2 x1 +   x2 ≤ 0
    x1 + 2 x2 ≤ 10       x1 + 2 x2 ≤ 10
    x1 +   x2 ≤ 3       x1 – 2 x2 ≤ 5
    x1 – 2 x2 ≤ 5       x1       ≤ 6
    x1       ≤ 6       x1 ­+   x2 = max
          x2 = max                  
                                 

Задача 2.17

  

Задача 2.18
    x1 +   x2 ≥ 2       x1 +   x2 ≥ 2
  – x1 + 2 x2 ≤ 4     – x1 + 2 x2 ≤ 4
    x1 + 2 x2 ≤ 8       x1 + 2 x2 ≤ 8
    x1       ≤ 6       x1       ≤ 6
    x1 + 3 x2 = max     3 x1 ­+   x2 = max
                                 

 


 

Задача 2.19

  

Задача 2.20
– 4 x1 + 3 x2 ≤ 12   – 4 x1 + 2 x2 ≤ 12
    x1 + 2 x2 ≥ 8       x1 + 2 x2 ≥ 8
    x1       ≤ 6       x1       ≤ 6
          x2 ≤ 5             x2 ≤ 5
  2 x1 – 5 x2 = max       x1 ­+   x2 = max
                                 

Задача 2.21

  

Задача 2.22
  10 x1 + 3 x2 ≥ 30     10 x1 + 3 x2 ≥ 30
  – x1 +   x2 ≤ 4     – x1 +   x2 ≤ 5
    x1 +   x2 ≤ 10       x1 ­+   x2 ≤ 10
          x2 ≥ 2             x2 ≥ 2
    x1 + 3 x2 = max       x1 ­     = max
                                 

Задача 2.23

  

Задача 2.24
– 2 x1 + 4 x2 ≤ 8       x1 – 2 x2 ≤ 0
  3 x1 – 2 x2 ≥ 0       x1 + 2 x2 ≥ 2
    x1 + 3 x2 ≥ 3     2 x1 ­+   x2 ≤ 10
    x1       ≥ 1       x1       ≥ 1
    x1 +   x2 = min         ­   x2 ≤ 6
                    2 x1 –   x2 = max
                                 

Задача 2.25

  

Задача 2.26
    x1 – 2 x2 ≤ 0     – x1 +   x2 ≤ 3
    x1 + 2 x2 ≥ 2       x1 – 2 x2 ≤ 2
  2 x1 +   x2 ≤ 10       x1 ­–   x2 ≤ 1
    x1       ≥ 1         ­   x2 ≤ 4
          x2 ≤ 6       x1 +   x2 = max
    x1 +   x2 = max                  
                                 

 


 

Задание №3

 

Задача 3.1

  

Задача 3.2
    x1 + 4 x2 ≥ 8     4 x1 + 4 x2 ≥ 8
    x1 – 2 x2 ≤ 6       x1 – 6 x2 ≤ 3
– 3 x1 + 2 x2 ≤ 6   ­– 2 x1 ­+   x2 ≤ 1
    x1 + 2 x2 ≤ 12       x1 ­– 2 x2 ≥ 2
    x1 +   x2 ≤ 8       x1       ≤ 4
  2 x1 + 3 x2 = max     2 x1 + 4 x2 = max
                                 

Задача 3.3

  

Задача 3.4
  3 x1 +   x2 ≥ 3     3 x1 – 2 x2 ≤ 6
  3 x1 –   x2 ≥ 0   –   x1 +   x2 ≤ 4
  – x1 +   x2 ≥ 3   ­– 2 x1 ­+   x2 ≤ 0
    x1     x2 ≤ 4       x1 ­     ≤ 6
          x2 ≤ 6             x2 ≥ 2
    x1 – 5 x2 = min       x1 + 3 x2 = min
                                 

Задача 3.5

  

Задача 3.6
    x1 +   x2 ≤ 6       x1 +   x2 ≤ 6
  2 x1 –   x2 ≤ 4       x1 +   x2 ≥ 2
    x1       ≤ 3   ­   x1 ­– 2 x2 ≤ 0
          x2 ≤ 4       x1 ­     ≤ 5
    x1 + 2 x2 ≥ 4             x2 ≤ 3
  3 x1 +   x2 = max     2 x1 +   x2 = max
                                 

Задача 3.7

  

Задача 3.8
– 2 x1 +   x2 ≤ 4   – 2 x1 +   x2 ≤ 4
    x1 +   x2 ≥ 3       x1 +   x2 ≥ 3
    x1 +   x2 ≤ 7   ­   x1 ­+   x2 ≤ 7
    x1       ≤ 2       x1 ­     ≤ 6
          x2 ≥ 0             x2 ≥ 0
    x1 + 2 x2 = max     2 x1 +   x2 = max
                                 

Задача 3.9

  

Задача 3.10
  4 x1 + 3 x2 ≤ 24     4 x1 + 3 x2 ≤ 24
  4 x1 –   x2 ≤ 8     4 x1 –   x2 ≥ 0
  – x1 + 6 x2 ≥ 6   ­ – x1 ­+ 6 x2 ≤ 9
    x1       ≤ 5       x1 ­     ≤ 3
  5 x1 +   x2 = max       x1 –   x2 = max
                                 

Задача 3.11

  

Задача 3.12
  2 x1 –   x2 ≥ 3     2 x1 –   x2 ≥ 3
          x2 ≤ 10             x2 ≤ 10
    x1 +   x2 ≤ 17   ­   x1 ­+   x2 ≤ 17
    x1       ≤ 11       x1 ­     ≤ 11
    x1 + 2 x2 = max     2 x1 +   x2 = max
                                 

Задача 3.13

  

Задача 3.14
  4 x1 +   x2 ≤ 14     4 x1 – 2 x2 ≥ 8
    x1 +   x2 ≤ 4     3 x1 + 2 x2 ≤ 20
    x1 + 3 x2 ≤ 6   ­   x1 ­+ 2 x2 ≤ 7
    x1 + 2 x2 = max       x1 – 2 x2 = min
                                 

Задача 3.15

  

Задача 3.16
  2 x1 +   x2 ≤ 10       x1 +   x2 ≤ 4
  – x1 + 4 x2 ≤ 4       x1 +   x2 ≥ 1
    x1       ≥ 0   ­   x1 ­–   x2 ≤ 2
          x2 ≥ 0   ­     ­   x2 ≥ 0
    x1 + 3 x2 = max     2 x1 –   x2 = max
                                 

Задача 3.17

  

Задача 3.18
    x1 + 2 x2 ≥ 12       x1 + 2 x2 ≥ 12
  2 x1 +   x2 ≥ 18     2 x1 +   x2 ≥ 9
    x1       ≤ 10   ­   x1 ­     ≤ 8
          x2 ≤ 5   ­     ­   x2 ≤ 6
    x1 +   x2 = min       x1 +   x2 = min
                                 

Задача 3.19

  

Задача 3.20
  3 x1 + 2 x2 ≥ 20       x1 + 4 x2 ≥ 8
    x1 – 4 x2 ≥ 2       x1 – 2 x2 ≤ 6
          x2 ≤ 2   ­   x1 ­+ 2 x2 ≤ 12
    x1       ≤ 8   ­   x1 ­+   x2 ≤ 8
    x1 – 2 x2 = min     2 x1 + 3 x2 = max
                                 

Задача 3.21

  

Задача 3.22
    x1 + 4 x2 ≤ 8     3 x1 +   x2 ≥ 3
    x1 – 6 x2 ≤ 3     3 x1 –   x2 ≥ 0
– 2 x1 +   x2 ≤ 1   ­ – x1 ­+   x2 ≥ 3
    x1 + 2 x2 ≥ 2   ­   x1 ­     ≤ 4
    x1       ≤ 4             x2 ≤ 6
  2 x1 + 4 x2 = max       x1 – 5 x2 = min
                                 

Задача 3.23

  

Задача 3.24
  3 x1 – 2 x2 ≤ 6       x1 + 4 x2 ≥ 6
  – x1 +   x2 ≤ 4       x1 – 6 x2 ≤ 3
– 2 x1 +   x2 ≤ 0   ­ 2 x1 ­–   x2 ≥ 3
    x1       ≤ 6   ­   x1 + 2 x2 ≥ 4
          x2 ≥ 2       x1       ≤ 4
    x1 – 3 x2 = min       x1 +   x2 = min
                                 

Задача 3.25

  

Задача 3.26
    x1 + 2 x2 ≤ 8       x1 + 2 x2 ≥ 8
    x1 – 2 x2 ≤ 0       x1 – 2 x2 ≥ 0
  3 x1 + 2 x2 ≤ 20   ­ 3 x1 ­+ 2 x2 ≤ 20
          x2 ≤ 7   ­         x2 ≤ 7
    x1       = max       x1       = min

Ответы к задачам

Задание №1

 

1.1  x1 = 4 x2 = 4           1.14 x1 = 8  x2 = 8

1.2  x1 = 4 x2 = 4           1.15 x1 = 3    x2 = 2

1.3  x1 = 2 x2 = 2           1.16 x1 = 3  x2 = 2

1.4  x1 = 2 x2 = 2           1.17 x1 = 2    x2 = 4

1.5  x1 = 7 x2 = 4           1.18 x1 = 2    x2 = 4

1.6  x1 = 7 x2 = 4           1.19 x1 = 6  x2 = 1

1.7  x1 = 4 x2 = 7        1.20 x1 = 6    x2 = 1

1.8  x1 = 4 x2 = 7         1.21 x1 = 4    x2 = 3

1.9  x1 = 12 x2 = 6         1.22 x1 = 4    x2 = 3

1.10 x1 = 12  x2 = 6           1.23 x1 = 3  x2 = 6

1.11 x1 = 6   x2 = 12         1.24 x1 = 3  x2 = 6

1.12 x1 = 6    x2 = 12         1.25 x1 = 4    x2 = 6

1.13 x1 = 8    x2 = 8           1.26 x1 = 4    x2 = 6


Задание №2

 

2.1 x1 = 1   x2 = 1           2.14 x1 = 1    x2 = 2

2.2 x1 = 1   x2 = 1           2.15 x1 = 1    x2 = 2

2.3 x1 = 4    x2 = 1           2.16 x1 = 6   x2 = 2

2.4 x1 = 4    x2 = 1           2.17 x1 = 2    x2 = 3

2.5 x1 = 3 x2 = 3            2.18 x1 = 6   x2 = 1

2.6 x1 = 3    x2 = 3           2.19 x1 = 6   x2 = 1

2.7 x1 = 2   x2 = 2           2.20 x1 = 6    x2 = 5

2.8 x1 = 4    x2 = 1           2.21 x1 = 3   x2 = 7

2.9 x1 = 5    x2 = 1           2.22 x1 = 8   x2 = 2

2.10 x1 = 3   x2 = 3           2.23 x1 = 2   x2 = 3

2.11 x1 = 4   x2 = 3           2.24 x1 = 4    x2 = 2

2.12 x1 = 4    x2 = 3           2.25 x1 = 2   x2 = 6

2.13 x1 = 2   x2 = 4           2.26 x1 = 5    x2 = 4


Задание №3

 

3.1 x1 = 4   x2 = 4           3.14 x1 = 3    x2 = 2

3.2 x1 = 4   x2 = 1        3.15 x1 = 4   x2 = 2

3.3 x1 = 2   x2 = 6        3.16 x1 = 3    x2 = 1

3.4 x1 = 1   x2 = 2         3.17 x1 = 8    x2 = 2

3.5 x1 = 3   x2 = 3        3.18 x1 = 2    x2 = 5

3.6 x1 = 4    x2 = 2         3.19 x1 = 6   x2 = 1

3.7 x1 = 1    x2 = 6        3.20 x1 = 4    x2 = 4

3.8 x1 = 6    x2 = 1           3.21 x1 = 4    x2 = 1

3.9 x1 = 3   x2 = 4           3.22 x1 = 2  x2 = 6

3.10 x1 = 3    x2 = 2           3.23 x1 = 6    x2 = 10

3.11 x1 = 7   x2 = 10         3.24 x1 = 2   x2 = 1

3.12 x1 = 11  x2 = 6           3.25 x1 = 4    x2 = 2

3.13 x1 = 3    x2 = 1           3.26 x1 = 4   x2 = 2

 

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 413; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:


Мы поможем в написании ваших работ!
.
.
© 2014-2024 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.882)