Привести решение, используя формулу Байеса

Практическая работа № 4 (4 задачи с теоретической частью)

Вероятностные модели в задачах теории информации

Случайные события. Вероятность

Событие - всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Вероятность события - это число, которое является мерой возможности реализации события. Вероятность P(A) случайного события A заключена в пределах

Достоверное событие U такое, что

Невозможное событие V такое, что

Суммой или объединением событий называется событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит, по крайней мере, одно из этих событий. Сумма обозначается

Произведением или пересечением событий называется такое событиеA, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события вместе. Произведение обозначается

События образуют полную группу событий, если в результате опыта появляется хотя бы одно из них:

События A и B называются несовместными, если их совместное появление невозможно:

Два события называются противоположными, если они несовместны и образуют полную группу. Событие, противоположное событию A, обозначается .

Когда рассматриваемый опыт имеет N равновозможных исходов, которые несовместны и составляют полную группу, вероятность события А можно рассчитать по формуле:

где m - число исходов, которые приводят к наступлению события A.

Частотой или статистической вероятностью P*(A) события A в данной серии испытаний называется отношение числа опытов n, в которых появилось событие, к общему числу N произведенных опытов:

По теореме Бернулли при большом числе опытов частота сходится по вероятности к вероятности события.

Расчеты вероятности сложного события A через вероятности более простых событий базируются на использовании основных теорем теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей.Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:

Теорема умножения вероятностей.Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое имело место:

где - условная вероятность события B, т.е. вероятность события B, вычисленная в предположении, что имело место событие A.

Во многих ситуациях событие A может появиться лишь как случайное следствие одного из несовместных событий образующих полную группу. В этих случаях безусловная вероятность P(A) события A при известных вероятностях и определяется по формуле полной вероятности:

При этих же данных можно найти значения вероятностей событий если предположить, что событие A уже произошло. Задачи такого типа решаются с помощью формулы Байеса:

Задача 1

В последовательности из 30 двоичных символов имеется 20 единиц. При передаче данной последовательности сохраняется n = символов (взять из таблицы вариантов), остальные теряются. Какова вероятность того, что среди них будет не более m = (взять из таблицы вариантов)единиц?

Пусть A - событие, состоящее в том, что среди двоичных символов будет не более m единиц. Событие A произойдет тогда, когда среди n двоичных символов не будет ни одной единицы (событие ) или одна единица (событие ), или две (событие ), . . ., или окажется m единиц (событие ), т.е.

Вероятность события можно рассчитать следующим образом. Общее число возможных выборов n символов из N равно числу сочетаний из N по n, т.е. . Благоприятствующими событию являются случаи, когда из общего числа M единиц сохранено ровно K, что возможно в случаях. На каждый из этих случаев в сохраненной последовательности символов может быть различных комбинаций ( ) нулей. Общее число случаев, благоприятствующих событию , равно .

Поэтому: (привести расчет)

Задача 2

По каналу связи с помехами передается одна из двух команд управления управления в виде кодовых комбинаций 11111 и 00000, вероятности передачи этих команд равны соответственно 0,7 и 0,3. Вероятность правильного приема каждого из символов 0 и 1 равна 0,6. Символы искажаются помехами независимо друг от друга. На выходе канала имеем кодовую комбинацию s (выбрать из таблицы вариантов). Оценить, какая команда была передана.

Пусть A - событие, состоящее в приеме комбинации 10110. Это событие может произойти только в совокупности с одним из событий: - передавалась команда 11111, - передавалась команда 00000. При этом

Условная вероятность приема комбинации (из таблицы вариантов)при условии, что передавалась команда 11111 равна:…

Привести решение, используя формулу Байеса

По формуле Байеса……

Сравнивая найденные результаты, заключаем, что более вероятна передача команды ……..(11111 либо 00000).

Дискретная случайная величина

Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее неизвестное значение , из известного множества значений . Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное множество значений , которые можно пронумеровать

Полной статистической характеристикой случайной величины является закон распределения вероятностей. В случае дискретной величины под ним понимается соотношение, устанавливающее зависимость между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями при этом

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в различных формах: табличной, графической, аналитической. Универсальной характеристикой, одинаково пригодной для дискретных и для непрерывных одномерных случайных величин, является функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения), определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение меньше некоторого некоторого числа :

Функция распределения обладает следующими свойствами:

3. неубывающая функция, т.е. при

4. .

Функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках

Во многих ситуациях невозможно определить закон распределения случайной величины, часто в этом нет необходимости. В таких ситуациях рассматривают отдельные параметры (числовые характеристики) этого закона. Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины с множеством значений и законом распределения вероятностей

являются:

- математическое ожидание;

- средний квадрат;

- дисперсия.

Задача 3.

По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры 1 и 0 с вероятностями Вероятность перехода единицы в единицу и нуля в нуль соответственно равны , Определить закон распределения вероятностей случайной величины - однозначного числа, получаемого на приемной стороне. Рассчитать вероятность приема 1 и приема 0 на приемной стороне. Вероятности р и q взять из таблицы вариантов.

Решение. . Нуль на приемной стороне может быть получен в двух случаях: при передаче нуля или при передаче единицы, следовательно, по формуле полной вероятности…

Привести решение

Распределение вероятностей случайной величины представить в таблице:

			Табл. 1.
	0		1
	Формула		Формула

Задача 4.

Производится прием символов 0 и 1 до первого появления символа 1. Вероятность появления 1 при приеме Р(1)=х (взять из таблицы вариантов). Принимается не более y (взять из таблицы вариантов) символов. Вычислить математическое ожидание , дисперсию и среднеквадратическое отклонение величины числа принятых символов.

Решение.Распределение вероятностей можно рассчитать следующим образом…….

Привести решение

Р(z=1)= p₁= р(1)=…..

P(z=2)=p₂=…….

По определению математического ожидания имеем:

для дисперсии получаем:

среднеквадратическое отклонение:

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 960; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!