PV — текущая стоимость денег.
Пример 1. $1000 вложено в банк под 10 % годовых. Какая сумма накопится на счете через 5 лет?
FV = 1000(l + 0,l)5 =1610,5,
Правило 72-х.
Иногда при расчетах приходится сталкиваться с задачей определения количества периодов начисления, по истечении которых первоначально депонированная сумма увеличивается вдвое. Очень просто решить эту задачу позволяет известное выражение:
"Правило 72-х", в основу которого положены логарифмы. Количество периодов, необходимое для удвоения первоначальной суммы вычисляется так:
n = 72 / i
Или удвоение вложенной суммы происходит через число лет, определяемое как частное от деления числа 72 на номинальную ставку процента.
Данное правило показывает точные результаты при значениях i: 3%<i<18%.
Срабатывает правило и в обратном порядке для определения ставки дохода, при которой депонированная сумма удвоится.
Пример2. За сколько лет произойдет удвоение Вашего капитала, если банк дает 15% ……4,8 г
Более частое, чем один раз в год, начисление процентов.
Приведенные выше расчеты основывались на том предположении, что начисление процентов происходит один раз в год. Однако аккумулирование может происходить не только раз в год, но и чаще, например раз в квартал, раз в месяц и т. д. В этом случае формула будет выглядеть следующим образом:
где m — частота начисления процентов в год;
П — число лет, в течение которых происходит накопление.
|
|
|
Чем чаще начисляются проценты, тем больше накопленная сумма.
Пример 3. 100 долл. Вы положили в банк под 12% с начисление процентов 2 раза в год. Найти фактическую ставку (Iф), размер вклада на счете в конце года (FV), доход на ваш капитал (dK) и периодическую ставку (Ip)
Ip = Iy / 2 = 6%
FV= PV (1+Ip)2 = 100 (1+0.06) 2 =100 ( 1+0.12+0.0036)=112.36
Доход на капитал dK = 112,36 - 100 = 12,36
Iф= 12,36/100 = 0,1236 (12,36% -эффективная фактическая ставка)
Периодическая ставка (Ip) – ставка для начисления % на протяжении каждого отдельного периода (день, нед, мес, кв, год)
Годовая номинальная ставка (Iy= Ip * Py) равная произведению периодической ставки на количество периодов (Py_ в году в %%
Годовая фактическая (эффективная ставка) = годовая ставка включающая начисление сложных процентов. Эта ставка определяется как процентное соотношение дохода на капитал в конце года к величине вложенного капитала.
Вывод: Чем больше количество начислений в году, тем больше разница между фактической и годовой (номинальной) ставками
Iф > Iy
Ая функция сложного процента - Будущая стоимость аннуитета (накопление единицы за период)
Часто бывает, что мы имеем дело не с единичным платежом, произведенным в определенный момент времени, а с серией платежей, происходящих в различные моменты времени. Если эти платежи происходят через строго определенные промежутки времени, то такая серия называется аннуитетом. Платежом k-го периода называется единовременный денежный вклад в этом периоде. Он обозначается через РМТ (payment).
|
|
|
Аннуитет – это серия равномерных равновеликих платежей
Аннуитеты разделяются на следующие категории:
· Равномерные
· неравномерные,
· обычные
· авансовые.
Равномерным аннуитетом называется аннуитет, состоящий из серии равновеликих платежей. Противоположностью ему является неравномерный аннуитет, при котором величина платежей может быть разной в различных платежных периодах. Аннуитет называется обычным, если платежи осуществляются в конце каждого платежного периода, и авансовым, если платежи осуществляются в начале платежного периода.
Вторая функция сложного процента показывает, какой будет стоимость серии равных сумм, депонированных в конце каждого из периодических интервалов, по истечении установленного срока.
Пример 4. Чтобы заработать себе на пенсию, вы решили откладывать в банк в конце каждого года по 100 денежных единиц. Сколько денег Вы снимите со счета через 5 лет, если банк начисляет 10% ежегодно?
|
|
|
| Год | Сумма вклада на начало года | Сумма дохода вклада | Взнос в конце года | Сумма вклада на начало года |
| 1 | 0,00 | 0,00 | 100,00 | 100,00 |
| 2 | 100,00 | 10,00 | 100,00 | 210,00 |
| 3 | 210,00 | 21,00 | 100,00 | 331,00 |
| 4 | 331,00 | 33,10 | 100,00 | 464,10 |
| 5 | 464,10 | 46,41 | 100,00 | 610,51 |
Пример 5. Если вкладывать ежегодно $900 на счет в банке под 10 % годовых, сколько накопится на нем через 5 лет?
Авансовый аннуитет
Теперь перейдем к рассмотрению авансового аннуитета. Как и в случае обычного, рассмотрим накопленные суммы в конце первого, второго ... n-ro периода:
FV1 = РМТ • (1 + i),
FV2 =PMT-(l + i)2+PMT-(l + i),
FV3 =PMT-(l + i)3+PMT-(l + i)2+PMT-(l + i),
FVn =PMT-(l + i)n+PMT-(l + i)n~1+... + PMT-(l + i)2+PMT-(l + i). Применив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
Пример 6. Чтобы заработать себе на пенсию, вы решили откладывать в банк в начале каждого года по 100 денежных единиц. Сколько денег Вы снимите со счета через 5 лет, если банк начисляет 10% ежегодно?
| Год | Взнос в начале года | Сумма вклада на начало года | Сумма дохода вклада | Сумма вклада на начало года | ||
| 1 | 100,00 | 100,00 | 10,00 | 110,00 | ||
| 2 | 100,00 | 210,00 | 21,00 | 231,00 | ||
| 3 | 100,00 | 331,00 | 33,10 | 364,10 | ||
| 4 | 100,00 | 464,10 | 46,41 | 510,51 | ||
| 5 | 100,00 | 610,51 | 61,05 | 671,56
 Мы поможем в написании ваших работ! |