Банк за 36 дней до срока погашения учел вексель на сумму 20 тыс.руб. Доход банка составил 800 руб. Какую простую учетную ставку использовал банк, если считать в году 360 дней?

Финансовый менеджмент

1. В банк вложены деньги в сумме 100 тыс.руб. на полтора года под 12% годовых с ежеквартальным начислением сложных ссудных процентов. Какая сумма накопится на счете через полтора года?

Решение:

Для сложных ссудных процентов размер накопленной суммы рассчитывается по формуле:

где Fn– накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

Для 12% годовых, значение ежеквартальных начислений:

Здесь r_год – ставка годовых процентов.

Число периодов (кварталов) за полтора года составит n=6.

Накопленная сумма:

2. Банк выдает ссуду на 2 года под сложную ссудную ставку 20% годовых. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился?

Решение:

Для сложных ссудных процентов размер накопленной суммы рассчитывается по формуле:

где Fn – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов (20%);

n – количество периодов (2 года).

Для сложной учетной ставки используется формула:

Здесь d – процентная ставка за период.

В нашем случае, n=2(года), d – искомая величина. Тогда

По условию, доход банка не изменился, значит F_n₁=F_n₂. Исходные суммы также равны. Таким образом, получим:

Можно также использовать формулу эквивалентности учетных ставок:

3. Банк предлагает ренту постнумерандо на 10 лет продолжительностью с 1 января 2010 по 1 января 2020 г. с ежегодной выплатой 100 тыс.руб. Годовая процентная ставка 10%, сложные проценты начисляются ежегодно. По какой цене можно приобрести эту ренту 1 января 2010 года?

Решение:

Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо при А = 100 тыс.руб., n = 10, r = 10 %.

Используем формулу:

4. Предприниматель получил ссуду в банке в размере 1 млн. руб. сроком на 5 лет на условиях: для первых двух лет сложная ссудная ставка равна 12% процентов годовых, на следующие 3 года ставка равна 14% годовых. Какую сумму предприниматель должен вернуть банку через 5 лет?

Решение:

Для сложных ссудных процентов размер накопленной суммы долга будет рассчитываться по формуле:

где Fn – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

Для 2-х летнего периода:

Для последующего трехлетнего периода (здесь P=F₂):

Через 5 лет предприниматель должен вернуть банку 1,86 млн. руб.

5.Предприниматель планирует получить ссуду в 1 млн. руб. на 2 года. Банк предоставляет ссуду на условиях начисления простых учетных процентов по ставке 20% годовых. Какую сумму предприниматель должен будет вернуть банку через 2 года?

Решение:

Для простой учетной ставки используется формула:

где Fn – накопленная через n периодов сумма долга;

Р – начальная сумма (1 млн. руб.);

d – ставка простых учетных процентов (20%);

n – количество периодов (n=2 года).

6. Вам предлагают вложить 100 тыс.руб. в инвестиционный проект. Отдача от проекта составит 22 тыс.руб. в год в течение 4 лет, возвращаемых по схеме пренумерандо. Стоит ли принимать это предложение, если можно положить деньги на депозит в банк под 12% годовых?

Решение:

Стоимость исходного денежного потока пренумерандо может быть рассчитана по формуле:

где FVpre – стоимость денежного потока;

С_k – k-ое поступление денежных средств;

r – ставка годовых процентов.

Таким образом, с учетом банковских процентов, отдача превысит вложения. Проект следует принять

7. Найдите величину дисконта, если долговое обязательство на выплату 100 тыс.руб. учтено за 3 года до срока погашения по сложной учетной ставке 20% годовых.

Решение:

Выплата будет рассчитана по формуле:

Р=F(1-d)^T

где Р – полученная сумма;

F – сумма обязательства (100 тыс.руб.);

d – сложная учетная ставка (20%);

Т – срок до погашения (Т=3 года).

Величина дисконта составит: 100-51,2=48,8(тыс.руб.)

8. Вам предлагают сдать в аренду участок на 6 лет, выбрав один из двух вариантов оплаты: а) 100 тыс.руб. в конце каждого года; б) 650 тыс.руб. в конце шестилетнего периода. Какой вариант вы выберете, если можно депонировать деньги в банк под сложную ставку 10% годовых?

Решение:

В случае а) имеем дело с аннуитетом постнумерандо.

Будущая стоимость исходного денежного потока постнумерандо может быть оценена как сумма наращенных поступлений, т. е. получаем формулу

где FVpst – накопленная через n периодов сумма;

C_k – поступления за k-й период;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

Выгоднее выбирать вариант а)

9. Господин Х выплатил жене при разводе 500 тыс.руб. Жена после развода планирует получать ежегодно одинаковые суммы в течение 10 лет. Какую сумму она будет получать, при условии, что процентная ставка по вкладам в банк равна 10% годовых.

Решение:

В данном случае, имеем дело с решением обратной задачи оценки постоянного аннуитета постнумерандо.

Будем использовать формулу:

где PVpst – исходная сумма (500 тыс.руб.);

А – получаемая ежегодно сумма;

r – процентная ставка (10%);

n – число периодов (10 лет).

Выразим искомое значение А и произведем расчет:

10. Клиент в конце каждого года вкладывает 100 тыс.руб. в банк, ежегодно начисляющий сложные проценты по ставке 8% годовых. 1) Определить сумму, которая будет на счете через 5 лет. 2) Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк в начале первого года, то какой величины должен быть взнос?

Решение:

1) В данном случае имеем дело с денежным потоком постнумерандо.

где FVpst – накопленная через n периодов сумма;

C_k – поступления за k-й период;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

2) В данном случае имеем дело со ссудными сложными процентами.

Для сложных ссудных процентов размер накопленной суммы рассчитывается по формуле:

где Fn – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

Тогда искомая начальная сумма будет равна:

11. Какую сумму необходимо поместить в банк под сложную процентную ставку 8% годовых, чтобы в течение 3 лет иметь возможность в конце каждого года снимать со счета 200 тыс.руб., исчерпав счет полностью, если сложные проценты банк начисляет ежегодно?

Решение:

Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить приведенную стоимость аннуитета постнумерандо при А = 200 тыс. руб., n = 3, r = 8 %.

Используем формулу:

12. Предприниматель с целью покупки оборудования делает в конце каждого квартала равные вклады в банк под сложную процентную ставку 8% годовых, начисляемых ежеквартально. Какой величины должен быть каждый вклад, чтобы накопить 2,5 млн. руб. за 3 года?

Решение:

В данном случае имеем дело с денежным потоком постнумерандо.

где FVpst – накопленная через n периодов сумма (2,5 млн.);

C_k – поступления за k-й период;

r – ставка сложных ссудных процентов (r=8/4=2%);

n – количество периодов (n=3*4=12 кварталов).

Подставляя известные значения получим:

13. Определить, под какую ставку ссудных процентов выгоднее поместить капитал в 3 млн. руб. на пять лет - под простую ставку 10% годовых или под сложную ставку 8% при ежеквартальном начислении процентов?

Решение:

Для простой ставки в 10% годовых через 5 лет накопленная сумма составит:

Здесь где Fn – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка простых ссудных процентов;

n – количество периодов.

Для сложной ссудной ставки 8% годовых с ежеквартальным начислением процентов, накопленную сумму будем рассчитывать по формуле:

где Fn – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

Для 8% годовых, значение ежеквартальных начислений:

Здесь r_год – ставка годовых процентов.

Число периодов (кварталов) за 5 лет составит n=20.

Накопленная сумма:

Выгоднее поместить под простую ставку в 10% годовых.

14. За какой срок исходная сумма в 200 тыс.руб. возрастет до 500 тыс.руб., если сложные проценты по процентной ставке 12% годовых начисляются: а) ежегодно; б) ежеквартельно; в) ежемесячно?

Решение:

Для сложной ссудной ставки накопленная сумма рассчитывается по формуле:

где F – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

Выразим отсюда значение n – количество периодов:

а) Ежегодное начисление 12% годовых:

б) Ежеквартельное начисление процентов:

Для 12% годовых, значение ежеквартальных начислений:

Здесь r_год – ставка годовых процентов.

в) Ежемесячное начисление процентов:

Для 12% годовых, значение ежемесячных начислений:

Здесь r_год – ставка годовых процентов

Вы собираетесь через 2 года в путешествие. Стоимость тура составит 100 тыс.рублей. Сейчас у вас есть только 70 тыс.руб. Какую ставку сложных процентов должен ежеквартально начислять банк, чтобы вы могли накопить требуемую сумму?

Решение:

Для сложной ссудной ставки накопленная сумма рассчитывается по формуле:

где F – накопленная через n периодов сумма; (F=100 тыс.руб.)

Р – начальная сумма; (Р=70 тыс.руб.)

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов (n=8 – количество кварталов в 2-х годах).

Подставим известные данные и найдем искомую величину:

Найденное значение является квартальной ставкой процентов. Ставка процентов годовых составит:

16. За какой срок исходная сумма в 500 тыс.руб. возрастет до 700 тыс. руб., если сложные проценты по учетной ставке 12% годовых начисляются а) ежегодно; б) ежеквартально?

Решение:

Для сложной учетной ставки используется формула:

где Fn – накопленная через n периодов сумма (700 тыс.);

Р – начальная сумма (500 тыс.);

d – ставка сложных учетных процентов;

n – количество периодов.

Выразим отсюда значение n – количество периодов:

а) Проценты по сложной учетной ставке 12% годовых начисляются ежегодно:

б) Проценты по сложной учетной ставке 12% годовых начисляются ежеквартально:

Для 12% годовых, значение ежеквартальных начислений:

17. В банк вложены деньги в сумме 200 тыс.руб. на три года под 12% годовых с ежеквартальныхм начислением сложных учетных процентов. Какая сумма накопится на счете через три года?

Решение:

Для сложной учетной ставки используется формула:

где Fn – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма (200 тыс.);

d – ставка сложных учетных процентов;

n – количество периодов.

Для 12% годовых, значение ежеквартальных начислений:

Количество периодов n=12 (кварталов).

Накопленная сумма составит:

18. Какая сумма предпочтительнее при сложной процентной ставке 20% годовых: 100 тыс.руб. сегодня или 700 тыс. руб. через 8 лет?

Решение:

Для сложной ставки накопленная сумма рассчитывается по формуле:

где F – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма; (Р=100 тыс.руб.)

r – ставка сложных ссудных процентов; (r=20%)

n – количество периодов (n=8 лет).

Накопленная сумма составит:

Предпочтительнее получить 700 тыс.руб. через 8 лет.

19. Какую простую учетную ставку должен использовать банк, чтобы при учете векселя за 2 года до срока погашения владелец векселя получил 40% от его номинальной стоиомости?

Решение:

Используем формулу для начисления простой учетной ставки:

где Р – цена учета векселя;

F – номинальная стоимость векселя;

r –простая учетная ставка;

Т – срок до погашения (Т=2 года).

По условию, владелец векселя получил 40% от его номинальной стоимости, т.е.

Подставляем известные значения в формулу:

20. Предприниматель получил ссуду в банке в размере 100 тыс.руб. сроком на 6 лет на условиях: для первых дух лет простая учетная ставка равна 12% процента годовых, на следующие 2 года ставка равна 14% годовых, в оставшиеся годы ставка составит 16% годовых. Какую сумму предприниматель должен вернуть банку через 6 лет?

Решение:

Для простой учетной ставки используется формула:

где Fn – накопленная через n периодов сумма долга;

Р – начальная сумма;

d – ставка простых учетных процентов;

n – количество периодов.

Для определения наращенной суммы при использовании разных ставок на разных интервалах начисления:

Используя данную формулу найдем сумму, которую предприниматель должен вернуть банку через 6 лет:

21. Банк выдает ссуду на 3 года под простую процентную ставку 10% годовых. Какую простую учетную ставку должен установить банк, чтобы его доход не изменился?

Решение:

Для простых ссудных процентов размер накопленной суммы долга рассчитывается по формуле:

где Fn – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов(10%);

n – количество периодов (3 года).

Тогда:

Для простой учетной ставки используется формула:

где Fn – накопленная через n периодов сумма долга;

Р – начальная сумма;

d – ставка простых учетных процентов;

n – количество периодов.

Т.к. доход банка не меняется, то можем приравнять правые части. Также можем сократить величины Р, т.к. начальная сумма в обоих случаях одинакова:

Можно также использовать формулу эквивалентности процентных ставок:

22. Какие условия предоставления кредита и почему более выгодны банку: 1) 24% годовых с ежеквартальным начислением сложных ссудных процентов; 2) 26% годовых с полугодовым начислением сложных ссудных процентов?

Решение:

Для сложной ссудной ставки накопленная сумма долга будет найдена по формуле:

где F – накопленная через n периодов сумма;

Р – начальная сумма;

r – ставка сложных ссудных процентов;

n – количество периодов.

В случае 1) для 24% годовых процентная ставка в квартал составит:

Число периодов за 1 год: n=4

Накопленная сумма долга:

В случае 2) для 26% годовых процентная ставка в полугодие составит:

Число периодов за 1 год: n=2

Накопленная сумма долга:

Банку более выгодно условие 2) 26% годовых с полугодовым начислением сложных ссудных процентов, т.к. в этом случае, кредитор выплатит банку большую сумму (при одинаковой сумме кредита для обоих случаев).

23. Вексель на сумму 1 млн. руб. учитывается за 3 года до срока погашения. Какую сумму получит предъявитель векселя при учете по сложной учетной ставке 10% годовых?

Решение:

Для сложной учетной ставки используем формулу:

Р=F(1-d)^T

где Р – цена учета векселя (полученная сумма);