Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при известном среднеквадратическом отклонении

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, среднеквадратическое отклонение известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание по выборочной средней .

В данном случае в качестве случайной величины берётся величина , которая при достаточно больших объёмах выборки приближённо распределена по нормальному закону . Поэтому с заданной надёжностью доверительный интервал имеет вид .

Таким образом, если исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону с известным среднеквадратическим отклонением , то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством:

где точечная оценка математического ожидания ( выборочное среднее);

точность оценки;

объём выборки;

квантиль нормального распределения или значение аргумента функции Лапласа (приложение 2 [1, 2]), при котором .

Пример решения задания 3

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью , зная выборочное среднее , объём выборки и генеральное среднеквадратическое отклонение .

Решение

Воспользуемся формулой: , далее по таблице приложения 2 [1, 2] находим . Искомый доверительный интервал:

или .

Ответ: .

Смысл полученного результата: если произведено достаточно большое количество выборок по 49 элементов в каждой, то 95% из них определяют такие доверительные интервалы, в которых заключено, и лишь в 5% случаев значение может выйти за границы доверительного интервала.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределённой случайной величины при неизвестном среднеквадратическом отклонении

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределён нормально, причём среднеквадратическое отклонение неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительного интервала с заданной точностью .

Известно, что если случайная величина Z распределена нормально по закону , а величина V имеет распределение с степенью свободы, причём эти величины независимы, то случайная величина имеет t-распределение Стьюдента с степенью свободы.

В частности, такими свойствами обладают случайные величины , . Таким образом, мы можем использовать в качестве случайную величину , которая имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Здесь – выборочная средняя, – исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение, объём выборки.

По таблице t-распределения Стьюдента по заданным значениям n и находится квантиль , удовлетворяющий условию .

Таким образом, доверительный интервал имеет вид . Он содержит неизвестный параметр с надёжностью . При построении случайные величины и заменяются неслучайными значениями и , найденными по данной выборке. По таблице по заданным значениям n и можно найти .

Таким образом, если среднеквадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины неизвестно, то доверительный интервал для оценки математического ожидания определяется соотношением:

где точечная оценка математического ожидания ( выборочное среднее);

точность оценки;

исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение;

объём выборки;

– квантиль распределения Стьюдента, определяется:

а) по таблице приложения 3 [1, 2] в зависимости от объёма и надёжности γ

или

б) по таблице приложения 6 [1, 2] в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости .

Пример решения задания 4

Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью , зная выборочное среднее , объём выборки и исправленную выборочную дисперсию .