KINEMATICS OF THE DRIVEN CRANK THE BENNETT'S PARALLELOGRAM
УДК 621.926
КИНЕМАТИКА ВЕДОМОГО КРИВОШИПА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА БЕННЕТТА
М.Г. Яруллин, Ф.Ф. Хабибуллин
В данной статье составленыуравнения перемещений векторных контуров параллелограмма Беннетта в проекциях на координатные оси. Определена формула зависимости угла поворота ведомого кривошипа от угла поворота ведущего кривошипа. Получены формулы для нахождения угловой скорости и углового ускорения ведомого кривошипа. Проведен анализ полученных формул, построены графики угловых перемещений, угловой скорости, углового ускорения ведомого кривошипа.
Ключевые слова: механизм Беннетта, направляющие косинусы, угловая скорость, угловое ускорение.
Задача об определении возможных положений механизма может быть поставленадвояко: а) по заданному положению механизма найти ряд других положений, которые получаются из данного путем конечного перемещения звеньев; б) по заданным внутренним параметрам(длинам звеньев, углам и др.) найти ряд положений механизмов, выразив их как функцию одного параметра, например, угла поворота ведущего звена [1].
На рисунке 1 представлена кинематическая цепь параллелограмма Беннетта [2-5], использованного в качестве верхнего привода дезинтегратора.Исследуемый механизм содержит четыре звена, где AB- ведущий кривошип, BC-шатун, CD-ведомый кривошип, AD- стойка. При вращении ведущего кривошипа на некоторый угол, происходит комплексный поворот во всех остальных трех шарнирах. Зная угловую скорость вращения ведущего кривошипа, и путем разложения его на составляющие комплексные повороты можно определить все остальные углы. Разложение значения угловой скорости и определение зависимости углового перемещения ведомого кривошипа от положения ведущего кривошипа будем определять с помощью направляющих косинусов [6-9].
|
|
|
Рис.1. Структурная схема цепи параллелограмма Беннетта.
Цель исследований - определить поворот ведомого кривошипа 
, а также угловую скорость 
, угловое ускорение 
в зависимости от угла поворота ведущего кривошипа 
и угловой скорости 
.
Кинематика ведомого кривошипа
Структурная схема параллелограмма в виде контура ΑBCDAдана рисунке1. Положение ведомого кривошипа (угол 
) определяется проекциями радиус-вектора АС на оси 
, 
и 
.Получившиеся векторные контуры ΑBCA и ΑDCA рассматриваем отдельно до получения уравнений перемещений в проекциях на координатные оси.
Контур ΑBCA схематично представлен на рисунке 2, из векторного контура ΑBCAможно определить значение радиус-вектора АС [10-12]:
,
Рис.2. Верхний наложенный векторный контур на структурную схему параллелограмма Беннетта.
|
|
|
Оно же в проекциях на оси X, Y, Z:
,
Используя матрицы перехода 1 и 4 (полученная умножением матриц 1,2 и 3):
, (1)
, (2)
, (3)
,
(4)
Учитывая направляющие косинусы, можно получить уравнение перемещения в проекциях на три координатные оси.
,
учитывая, что 
,можно получить следующее уравнение:
. (5)
Векторный контур ΑDCA схематично представлен на рисунке 3, из векторного контура можно определить значение радиус-вектора АС:
,
Рис. 3. Верхний наложенный векторный контур на структурную схему антипараллелограмма Беннетта.
Оно же в проекциях на оси X, Y, Z
,
Используя матрицы перехода 6 и 8 (полученная умножением матриц 6,7):
, (6)
, (7)
,
,, (8)
Учитывая направляющие косинусы, можно получить уравнение перемещения в проекциях на три координатные оси.
,
учитывая, что 
, получаем:
. (9)
Полученные уравнения (5) и (9) представляют собой проекции векторных контуров на координатные оси, приравняв правые части уравнений (5) и (9), получим:
|
|
|
, (10)
Решив уравнение (10) относительно 
и 
, можно получить
, 
, (11)
ВпрограммеMapleформула (11) упрощается и дифференцируется, получается уравнение для определения угловой скорости ведомого кривошипа:
. (12)
Из уравнения (12) видно, что при 
угловая скорость ведомого кривошипа 
- не постоянная величина, зависит от положения ведущего кривошипа.Анализ уравнения (12) показывает, что максимального значения по абсолютной величине достигает при 
и минимального при 
, имеет вид
, 
, (13)
Коэффициент неравномерности определяется по формуле
. (14)
Продифференцировав по времени выражение (13) получается угловое ускорение ведомого кривошипа
. (15)
Анализ полученных формул
Анализ уравнения (12) показывает, что при 
на неравномерность вращения ведомого кривошипа (на угол γ) влияет только угол поворота кривошипов 
. На рисунке 4 приведенграфикугловых перемещений ведомого кривошипа для следующих модификаций параллелограмма Беннетта: 
, 
, 
, 
, 
и 
при 
.
|
|
|
Рис. 4. График угловых перемещений ведомого кривошипа при 
, 
, 
, 
, 
и 
при 
На рисунке 5 приведены графики угловой скорости и углового ускорения ведомого кривошипа соответствующих модификаций параллелограмма Беннетта.
| 
|
Рис. 5. График а) угловых скоростей б) угловых ускорений ведомого кривошипа при , , , , и при
Результаты
Конструкция дезинтегратора неравномерного дробления состоит из двух конусообразных рабочих органов, вращающихся в противоположенных направлениях с помощью двух отдельных приводов, работающих от одного электродвигателя. В дезинтеграторе внутренний рабочий орган вращается с помощью верхнегопривода, а внешний рабочий орган вращается с помощью нижнего привода - антипараллелограмм Беннетта. Конструктивные особенности механизма Беннетта позволяет вращать ведомый кривошип с секторами ускорения и замедления. В конструкции дезинтегратора данная особенность механизма используется для повышения активности и увеличения производительности установки.
В данной статье исследованы кинематические параметры верхнего привода- параллелограмма Беннетта. А именно с помощью направляющих косинусов определены матрицы перехода. На основе которых составлено уравнение перемещения звеньев контура в проекциях на три координатные оси. Получены формулы, позволяющие определить проекции векторных контуров, угловую скорость, угловое ускорение и неравномерность вращения ведомого кривошипа параллелограмма Беннетта. На основе полученных формул построены графики угловых перемещений, угловой скорости и углового ускорения. Анализ полученных графиков позволяет сделать следующие выводы:
1. Изменение значения угла поворота ведущего кривошипа ( 
) согласованное с длинной того же звена( 
) позволяет изменить значение угловой скорости и углового ускорения, которое в согласованности с механическими характеристиками обрабатываемого материала может в несколько раз увеличить значение производительности дезинтегратора.
2. С увеличениемзначения угла поворота ведущего кривошипа( 
) степень неравномерностивращения ведомого кривошипа возрастает.
3. Конструкция устройств в которых используются оба типа механизма Беннетта – параллелограмм и антипараллелограмм, где 
, 
равно 90 градусам, то неравномерности вращения ведомых кривошипов данных механизмов будет одинаково
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Диментберг Ф.М. Определение положений пространственных механизмов. – Издательство Академия наук СССР. – 1950. – 213 с.
2. Пат. 2581487 Российская Федерация, МПК B02C2/10 Дезинтегратор неравномерного дробления / Яруллин М. Г., Мингазов М.Р., Исянов И.Р., Хабибуллин Ф.Ф.// опубл. 20.04.2016 Бюл. № 11-9с.
3.Яруллин М.Г., Хабибуллин Ф.Ф. Кинематика двухподвижного дезинтегратора с приводом на базе пространственных 4R механизмов //Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. - 2015. №1.- с.108-111.
4. Евграфов А.Н., Петров Г.Н. Выбор приводов многоподвижного механизма с избыточными входами // Современное машиностроение. Наука и образование: материалы 4-й Междунар. науч.-практ. конференции. / под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. –С 184-191, ISSN 2223-0807.
5. Яруллин М.Г., Хабибуллин Ф.Ф. Теоретические и практические условия проворачиваемости механизма Беннетта // Современное машиностроение: Наука и образование: Материалы 5-й Междунар. науч.-практ. конференции. / Под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2016. –С 306-316, ISSN 2223-0807.
6. Нигматуллина Ф.Р., Терешин В.А. Кинематическое исследование телескопа // Современное машиностроение. Наука и образование: материалы 4-й Междунар. науч.-практ. конференции. / под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. –С 237-246. ISSN 2223-0807
7. Яруллин М.Г., Хабибуллин Ф.Ф. Геометрия кинематической цепи и звеньев механизма Беннетта // Современное машиностроение: Наука и образование: Материалы 6-й Междунар. науч.-практ. конференции. / Под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2016. –С 306-316, ISSN 2223-0807.
8. Мудров П.Г. Пространственные механизмы с вращательными парами. - Казанский сельскохозяйственный институт имени М.Горького. - 1976. – 258 с.
9. Яруллин М.Г., Хабибуллин Ф.Ф., Мингазов М.Р. Дезинтегратор с управляемым режимом дробления // Автоматизация и энергосбережение Машиностроительного и металлургического производств, технология и надежность машин, приборов и оборудования. МатериалыX международной научно-технической конференции, 24-25 марта 2015 г. М-во образ. и науки РФ ;Вологод. гос. ун-т. – Вологда, 2015. С. 209-213, (А) ISBN 978-5-87851-577-1.
10.Семенов Ю.А., Семенова Н.С. Статический анализ плоских рычажных механизмов // Современное машиностроение. Наука и образование: материалы 4-й Междунар. науч.-практ. конференции. / под ред. М.М. Радкевича и А.Н. Евграфова. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. –С 107-118. ISSN 2223-0807
11. Yarullin M.G., Khabibullin F.F., Isyanov I.R. Nonlinear crushing dynamics in two‑degree of freedom disintegrator based on the Bennett’s linkage // Vibroengineering PROCEDIA, Vol. 8, 2016, p. 477‑482, ISSN 2345-0533.
12. Yarullin M.G., Khabibullin F.F. Theoretical and Practical Conditions of Bennett Mechanism Workability // Advances in Mechanical Engineering, Lecture Notes in Mechanical Engineering, Springer International Publishing AG 2017, pp. 145-153. ISSN 2195-4356, DOI 10.1007/978-3-319-53363-6.
KINEMATICS OF THE DRIVEN CRANK THE BENNETT'S PARALLELOGRAM
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 290; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!