Задания для практической работы

Практическая работа № 6. Построение графика функции с помощью производной

Цель занятия.Отработать навыки построение графиков функций с помощью производной

Краткие теоретические сведения

При исследовании функций и построении их графиков целесообразно пользоваться следующей схемой.

1. Нахождение области определения функции.

2. Исследование функции на четность и нечетность.

3. Отыскание вертикальных асимптот.

4. Нахождение экстремумов и интервалов монотонности функции. Составление схемы.

5. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции.

6. Нахождение точек пересечения графика функции с осями, интервалов знакопостоянства функции. Отыскание дополнительных точек для построения графика.

7. Построение графика функции.

Пример 1.Построить график функции с помощью производной первого порядка

Решение.

1) Областью определения функции является вся числовая ось. То есть

2) Функция ни четная, ни нечетная, так как и

3) Найдём производную функции

4) Найдём критические точки, в которых производная обращается в ноль

Это точки

Отметим эти точки на числовой оси и определим знак производной на интервалах.

Таким образом: - точка минимума; - точка максимума; - точка минимума.

5) Строим график на основании проделанного исследования.

Пример 2. Провести полное исследование функции и построить ее график.

Решение.

1) Область определения функции – множество всех действительных чисел, исключая х=1. Т.о., .

2) Функция не является четной, нечетной, периодической.

3) х=1 – разрыв второго рода

, .

4) Исследуем функцию на монотонность, экстремумы.

; y¢=0 Û , x₁= 0 или x₂=2.

y¢ не существует в точке x = 1, но она не входит в область определения функции. Следовательно, имеются две критические точки x₁= 0 и x₂= 2. Разобьем точками x₁= 0 и x₂= 2, x = 1 область определения на интервалы знакопостоянства производной: (-¥; 0), (0; 1), (1; 2), (2; +¥). Определим знаки производной в этих интервалах: y¢(–1)>0 и y¢(3)>0 Þ в интервалах (-¥; 0) и (2; +¥) производная положительна, y¢(0,1)<0 и y¢(1,1)<0 Þ в интервалах (0; 1) и (1; 2) производная отрицательна (см. рис. 11). Используя достаточные условия монотонности и экстремума, получим следующие выводы: функция возрастает в интервалах (-¥; 0) и (2; +¥), убывает в (0; 1) и (1; 2), x = 0 – точка максимума, x = 2 – точка минимума. Значение максимума y(0)=0, значение минимума y(2)=2.

5) Исследуем функцию на направление выпуклости и точки перегиба.

y² не обращается в 0, а в точке х = 1, где y² не существует, функция не определена, поэтому график функции не имеет точки перегиба. Таким образом, имеются два интервала (-¥; 1) и (1;+¥), знакопостоянства второй производной. y²(0)<0 Þ в интервале (-¥; 1) y² отрицательна, y²(2)>0 Þ в интервале (1; +¥) y² положительна . В силу достаточных условий выпукло

сти и вогнутости графика в интервале (-¥; 1) график выпуклый (вверх), а в интервале (1; +¥) график вогнутый (выпуклый вниз).

6) Так как Ûx = 0, то график пересекает оси системы координат только в ее начале.

7) Начертим эскиз графика. Сначала начертим асимптоты x = 1 и (на рисунке они начерчены пунктирной линией). Наносим на чертеж точки (0; 0) и (2; 2), найденные в пункте 4. Проводим через эти точки линию, согласно результатам исследования функции в пунктах 4, 5, 6. Еще раз сравниваем полученный график с результатами исследования, убеждаемся в правильности построения графика.