Раздел 2. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Общие свойства. Классификация состояний
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО КУРСУ «СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ»
Группы ЭМ-51, МЭ-51
2011/2012 учебный год, зимняя экзаменационная сессия
Лектор – доцент Шнурков П.В.
Раздел 1. Понятие случайного процесса. Случайный процесс как математический объект.
1. Понятие случайного процесса. Стохастическая модель изменяющейся во времени (динамической) системы. Первый подход к определению случайного процесса (аналитическое определение).
Идейная основа первого подхода. Случайный процесс как функция двух переменных величин различной природы. Траектория (выборочная функция) случайного процесса. Траектория как математическая конструкция и как реальное проявление случайного процесса.
2. Классификация случайных процессов по характеру множества значений параметра времени T и множества состояний X.
3. Конечномерные распределения случайных процессов и их основные свойства.
4. Системы подмножеств заданного множества. Понятия алгебры и сигма-алгебры множеств. Измеримое пространство.
5. Вероятностное пространство и вероятностная мера. Множество элементарных исходов случайного эксперимента. Система случайных событий, связанных с данным экспериментом, как сигма-алгебра подмножеств множества элементарных исходов. Вероятностная мера. Аксиомы Колмогорова. Общее понятие вероятностного пространства.
6. Случайная величина как измеримая функция, заданная на вероятностном пространстве (формальное определение). Понятие измеримого отображения и его смысл для стохастической модели.
|
|
|
7. Выборочное вероятностное пространство, или пространство траекторий (схема построения). Алгебра цилиндрических множеств. Сигма-алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Вероятностная мера, задаваемая на указанной сигма- алгебре.
8. Продолжение вероятностной меры с алгебры на сигма-алгебру, порожденную данной алгеброй. Теорема Каратеодори и ее значение.
9. Второй подход к определению случайного процесса (аксиоматическое определение). Идея второго подхода. Формальное определение случайного процесса как измеримого отображения. Общее значение аксиоматического определения для построения теории случайного процесса.
10. Система согласованных вероятностных мер (определение). Теорема Колмогорова о системе согласованных вероятностных мер (формулировка). Особенности теоремы Колмогорова и ее теоретическое значение.
11. Схема доказательства теоремы Колмогорова. Построение вероятностного пространства и случайного процесса с заданной системой конечномерных распределений.
12. Стохастическая эквивалентность случайных процессов. Понятие модификации и его значение. Сравнительные свойства стохастически эквивалентных процессов (анализ на основе теоретического примера).
|
|
|
13. Фундаментальные проблемы теории Колмогорова, связанные с различиями свойств траекторий стохастически эквивалентных случайных процессов. Общая схема построения модели случайного процесса с заданными аналитическими свойствами траекторий, отражающими объективно существующие особенности реальной системы.
14. Различные понятия непрерывности случайного процесса. Непрерывность случайного процесса с вероятностью, равной единице, в любой фиксированный момент времени 
и непрерывность траекторий процесса «в целом» с вероятностью, равной единице. Соотношение между данными видами стохастической непрерывности и его значение для описания свойств случайного процесса.
15. Различные понятия недифференцируемости случайного процесса. Недифференцируемость случайного процесса с вероятностью, равной единице, в любой фиксированный момент времени и недифференцируемость траекторий процесса «в целом» с вероятностью, равной единице. Соотношение между данными видами стохастических свойств.
16. Понятие модификации случайного процесса, обладающей заданными аналитическими свойствами траекторий. Примеры модификаций с различными свойствами траекторий.
|
|
|
17. Непрерывная модификация случайного процесса. Теорема Колмогорова о достаточных условиях существования непрерывной модификации (без доказательства). Теоретическое значение данного утверждения.
18. Аксиоматическое построение модели случайного процесса на основе заданной системы согласованных вероятностных мер.
Теоретическое значение данного формального построения для развития теории случайных процессов.
Раздел 2. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Общие свойства. Классификация состояний.
19. Общее понятие марковского процесса. Идея марковского свойства. Марковский процесс с дискретным временем и дискретным множеством состояний (цепь Маркова). Классическое определение Марковской цепи. Формализация понятий прошлого и будущего. Сигма-алгебры, порожденные траекториями процесса. Вариант марковского свойства (условная независимость двух произвольных событий из прошлого и будущего).
20. Вероятности перехода марковской цепи и их свойства. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Вероятностный смысл данных свойств.
|
|
|
21. Теорема о представлении произвольного совместного распределения вероятностей состояний марковской цепи через вероятности перехода (доказательство). Выражение произвольного конечномерного распределения марковской цепи через вероятности перехода.
22. Матричные представления для вероятностей перехода марковской цепи (матрицы вероятностей перехода). Матричная форма уравнений Колмогорова-Чепмена. Представление матриц вероятностей перехода за конечное время через матрицы вероятностей перехода за единицу времени.
23. Однородные цепи Маркова. Определение понятия однородности. Представление для произвольного конечномерного распределения однородной марковской цепи через вероятности перехода за единицу времени (за один шаг процесса). Матричные формулы для вероятностей перехода за конечное время.
24. Цепи Маркова с дискретным множеством состояний. Способы задания марковской цепи с помощью вероятностных характеристик.
Задание произвольных конечномерных распределений и начальных условий для марковских цепей.
25. Теоремы об оценках для вероятностей перехода марковской цепи (доказательство теоремы 1)
26. Связи между состояниями. Понятие пути и достижимости. Транзитивность достижимости. Сообщающиеся состояния.
27. Классы состояний. Теорема о разбиении множества состояний на классы. Замкнутые и незамкнутые классы.
28. Существенные и несущественные состояния. Определение. Свойства состояний марковской цепи, связанные с существенностью (формулировка теорем).
29. Возвратные и невозвратные состояния марковской цепи (формальное определение). Необходимое и достаточное условие возвратности (аналитический критерий). Теорема о необходимых условиях невозвратности (без доказательства).
30. Альтернатива солидарности для свойства возвратности (доказательство теоремы).
31. Случайные моменты времени 
, в которые происходит возвращение марковской цепи в произвольное фиксированное состояние 
(при условии 
). Эволюция цепи на интервалах времени 
между соседними моментами возвращения. Связи однотипных вероятностных характеристик, определенных на различных интервалах между моментами возвращения в данное состояние.
32. Лемма Бореля-Кантелли (без доказательства).
33. Теорема о числе возвращений марковской цепи в возвратное и невозвратное состояния (доказательство).
34. Следствие из теоремы о числе возвращений. Случайная длительность пребывания марковской цепи в конечном невозвратном классе состояний. Общая характеристика эволюции марковской цепи с конечным множеством состояний.
35. Теорема о связи свойств существенности и возвратности (доказательство).
36. Вероятность перехода из фиксированного состояния i в состояние j за произвольное конечное число шагов (формальное определение). Теорема о переходах внутри возвратного класса (без доказательства).
37. Положительные и нулевые состояния (определение). Альтернатива солидарности для свойства положительности (без доказательства).
38. Теорема о связи свойств возвратности и положительности.
39. Теорема о свойствах конечного замкнутого класса (доказательство).
40. Анализ связей между свойствами существенности, возвратности и положительности для конечного и счетного классов состояний. Обоснование при помощи известных теоретических утверждений.
41. Периодичность. Понятие периода и периодического состояния. Альтернатива солидарности для свойства периодичности (доказательство).
42. Теорема о структуре замкнутого периодического класса (доказательство).
43. Альтернатива солидарности марковской цепи для основных свойств состояний (полное доказательство).
44. Поглощающие цепи Маркова. Определение, свойства эволюции цепи. Основные характеристики ( 
– математическое ожидание числа попаданий в состояние j до поглощения при условии ( ); 
- вероятность поглощения в фиксированном состоянии k при условии ( )).
45. Поглощающие цепи Маркова. Теорема о представлении матрицы 
. Следствие: представление аддитивного функционала среднего дохода за время до поглощения при различных начальных условиях.
46. Поглощающие цепи Маркова. Теорема о предоставлении матрицы 
.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 357; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!