Механічні коливання та пружні хвилі

Основні формули

A) Гармонічні коливання

Рівняння гармонічних коливань:

x = A sin (w_o t +j ), (1.45)

де x – зміщення точки від положення рівноваги, різне для різних моментів часу, А – амплітуда, w₀ – колова частота(кількість коливань, що відбуваються за 2p секунд), j – початкова фаза.

Враховуючи, що

w = 2p/Т = 2pn_o ,(1.46)

де Т – період коливань, n_o=1/Т – лінійна частота коливань (кількість коливань, що відбуваються за 1 сек.), формулу (1.45) можна записати також у вигляді:

x = A sin {(2p/T) t + j} = A sin (2pn_o t +j). (1.45*)

Швидкість V і прискорення a точки, що здійснює гармонічні коливання, визначаються співвідношеннями:

, (1.47)

. (1.48)

Гармонічний коливальний рух виникає під дією квазіпружної сили F – сили, величина якої прямо пропорційна зміщенню частинки з положення рівноваги, а напрям протилежний до зміщення:

F = – kx , (1.49)

де k – коефіцієнт пропорційності (пружна стала).

Згідно з другим законом Ньютона рух частинки під дією квазіпружної сили описується рівнянням:

ma = – kx або .

Поділивши обидві частини рівняння на m і позначивши k/m =w_o²,одержимо диференціальне рівняння гармонічних коливань у загальній формі:

. (1.50)

Вираз (1.45) є загальним розв'язком рівняння (1.50) при довільних А і j, якщо

. (1.51)

Прикладом коливань під дією квазіпружної сили є коливання математичного маятника. Колова частота і період коливань математичного маятника:

; , (1.52)

де g – прискорення вільного падіння, l – довжина математичного маятника.

Кінетична енергія матеріальної точки, яка здійснює гармонічні коливання:

Потенціальна енергія:

Повна енергія гармонічних коливань:

. (1.53)

Б) Згасаючі коливання

При згасанні коливань їхня амплітуда зменшується з часом.

Згасання коливань описують, вводячи силу тертя, пропорційну швидкості частинки, яка коливається:

F'= – rv = – rx,

де r – коефіцієнт пропорційності, а знак мінус означає, що сила протидіє рухові.

При наявності згасання рівняння руху (диференціальне рівняння власних загасаючих коливань) має вигляд:

або в загальній формі:

, (1.54)

Його розв'язком буде:

x = A e^–^b^tsin (wt + j) (1.55)

або

x = A e^–^b^tcos (wt + j),

тут А – амплітуда коливань у початковий момент часу t = 0, – коефіцієнт згасання, – колова частота гармонічних коливань.

Величина

(1.56)

називається логарифмічним декрементом згасання. Тут А(t) – амплітуда коливань в момент часу t, А(t+T) – амплітуда коливань у момент часу t+T (через період).

В) Вимушені коливання

Вимушені коливання відбуваються під дією періодичної сили F, причому

F = F_osin w . (1.57)

Коливання матеріальної точки в такому випадку описуються рівнянням руху:

. (1.58)

Вимушені коливання точки відбуватимуться за законом:

x = A sin (wt + j), (1.59)

де амплітуда А і фаза j вимушених коливань визначаються співвідношеннями:

; . (1.60)

Резонанс (максимальне значення амплітуди вимушених коливань) буде досягнуто за умови, коли частота вимушених коливань w пов'язана з частотою власних коливань w_o та коефіцієнтом загасання b наступним співвідношенням:

. (1.61)

г) Пружні хвилі

Рівняння плоскої біжучої хвилі:

, (1.62)

де y – зміщення будь-якої точки середовища з координатою x у момент часу t від положення рівноваги; v – швидкість поширення коливань у середовищі.

Або, врахувавши, що довжина хвилі

l = vT , (1.63)

а хвильове число

, (1.64)

співвідношення (1.62) можна записати у вигляді:

y= A sin (wt – kx). (1.62*)

Різниця фаз коливань двох точок, що лежать на промені на відстані x₁ і x₂від джерела коливань

. (1.65)

Приклади розв'язування задач

Задача 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі має вигляд x =А + Bt + Ct³, де А = 2 м, В = 1 м/с, С = – 0,5 м/с³ . Знайти координату x, швидкість v_x і прискорення a точки в момент часу t = 2 с.

Дано:

х=А + Bt + Ct³

А = 2 м

В = 1 м/с

С = – 0,5 м/с³

x, v_x, a –?

Розв'язання

Координату x знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t:

x = (2+1×2–0,50×8) м = 0.

Миттєва швидкість відносно осі x – це перша похідна від координати по часу:

Прискорення точки знайдемо, взявши першу похідну від швидкості по часу:

В момент часу t = 2 с

v = (1 – 3×0,5×2²) м/с;

a = 6(–0,5)×2 м/с²= – 6 м/с² .

Задача 2. З вертольота, що знаходиться на висоті 300 м, скинуто вантаж. Через який час вантаж досягне землі, якщо вертоліт:

1) нерухомий; 2) опускається зі швидкістю 5 м/с; 3) піднімається зі швидкістю 5 м/с?

Дано: h₀= 300 м v₀ = 5 м/с ––––––––– t – ?

Розв’язання

1) Якщо вертоліт нерухомий, то відстань по вертикалі, яку проходить вантаж при вільному падінні . Звідси час падіння вантажу на землю

.

2) Якщо вертоліт опускається зі швидкістю v₀, то і вантаж опускається разом з вертольотом зі швидкістю v₀. Рівняння руху вантажу:

.     (1)

Коли вантаж досягне землі, h = h₀, t = t₂.

Звідси: ;

;

Відкинемо t₂<0 іодержимо t₂=7,3 с.

3) Якщо вертоліт піднімається зі швидкістю v₀, то і вантаж має таку ж початкову швидкість. Рівняння руху вантажу має вигляд (1). У момент досягнення землі h = h₀, t = t₃ .

Тоді

,

.

Відкинувши t₃<0, одержимо t₃= 8,3 с.

Задача 3. Точка рухається по колу радіусом R = 20 cм з постійним тангенціальним прискоренням a_t. Знайти тангенціальне прискорення a_t точки, якщо відомо, що до кінця п’ятого оберту після початку руху лінійна швидкість точки v = 79,2 см/c.

Дано:

R = 20 cм = 0,2 м;

n = 5;

v=79,2см/c=0,792 м/с

а_t - ?

Розв’язання

Лінійна швидкість v при рівноприскореному русі по колу (а_t=соnst) дорівнює:

v =a_t t.                        (1)

Щоб знайти a_t ,потрібно знати час від початку обертання до кінця 5-го оберту. Його можна визначити, використавши співвідношення (1.18) з урахуванням того, що початкова кутова швидкість дорівнює нулю:

.

Тут e – кутове прискорення, n – кількість обертів. Отже,

.                                                                        (2)

Але (співвідношення (1.15))

.                                                                              (3)

Підставивши (3) і (2) у формулу (1), одержимо:

.

Звідси тангенціальне прискорення

.

Обчислимо його значення:

a_t = 0,1м/с².

Задача 4. Знайти прискорення вантажів, кутове прискорення блока радіуса r і натяг ниток на установці, зображеній на рисунку за умови, що немає ковзання нитки. Момент інерції блока відносно його осі обертання і маси вантажів відповідно дорівнюють J, m₁, m₂ (m₁ > m₂ ).

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 849; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!