Варіанти семестрового завдання (частина 2)
Варіант 1
1. Дано вершини трикутника 
, 
і 
. Написати рівняння медіани й висоти, проведених з вершини 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках 
і його висоту, опущену з вершини 
на грань 
.
.
3. Знайти відстань від точки 
до площини, що проходить через три точки 
.
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору 
.
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 2
1. Дано рівняння двох сторін квадрата 
й 
. Знайти площу цього квадрата.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 3
1. Дано рівняння трьох сторін трикутника 
, 
і 
. 
. Скласти рівняння висоти 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
|
|
|
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 4
1. Дано координати кінців відрізка 
й 
. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 5
1. Дано вершини трикутника 
, 
і 
. Скласти рівняння висоти й медіани, проведених з вершини 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту , опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
|
|
|
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 6
1. Дано рівняння трьох сторін трикутника 
, 
і 
. Скласти рівняння висоти .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 7
1. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка , якщо 
й 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
|
|
|
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 8
1. Дано вершини трикутника 
, 
і 
. Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини 
й знайти її довжину.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 9
1. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка , якщо 
й 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
|
|
|
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 10
1. Дано вершини трикутника 
, 
і 
. Скласти рівняння прямої, що проходить через середину сторони 
перпендикулярно до сторони .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту , опущену з вершини на грань .
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки .
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору .
.
5. Знайти кут між площинами й .
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин й :
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 11
1. Дано вершини трикутника 
, 
і . Написати рівняння медіани й висоти, проведених з вершини .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 12
1. Дано рівняння трьох сторін трикутника , і . . Скласти рівняння висоти .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 13
1. Дано рівняння двох сторін квадрата 
й 
. Знайти площу цього квадрата.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 14
1. Дано координати кінців відрізка 
й 
. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 15
1. Дано вершини трикутника , 
і 
. Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини й знайти її довжину.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 16
1. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка 
, якщо 
й 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 17
1. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка , якщо 
й 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 18
1. Дано вершини трикутника 
, 
і 
. Скласти рівняння прямої, що проходить через середину сторони 
перпендикулярно до сторони 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де , , 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 19
1. Дано координати кінців відрізка 
й 
. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 20
1. Дано вершини трикутника 
, і 
. Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини й знайти її довжину.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 21
1. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка , якщо 
й .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, .
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, .
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 22
1. Дано вершини трикутника 
, 
і 
. Скласти рівняння прямої, що проходить через середину сторони перпендикулярно до сторони .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де , , 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 23
1. Дано рівняння двох сторін квадрата 
й 
. Знайти площу цього квадрата.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де , , , .
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 24
1. Дано рівняння трьох сторін трикутника , і . Скласти рівняння висоти .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, .
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 25
1. Дано вершини трикутника 
, і 
. Написати рівняння медіани й висоти, проведених з вершини .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де , , , .
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
.
5. Знайти кут між площинами 
й 
.
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
і 
.
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
.
Варіант 26
1. Дано рівняння двох сторін квадрата 
й . Знайти площу цього квадрата.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
5. Знайти кут між площинами 
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
Варіант 27
1. Дано координати кінців відрізка 
й 
. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка .
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
5. Знайти кут між площинами 
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
Варіант 28
1. Дано вершини трикутника , і 
. Скласти рівняння висоти, опущеної з вершини й знайти її довжину.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де , , 
, .
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
5. Знайти кут між площинами 
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
Варіант 29
1. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка , якщо 
й 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
5. Знайти кут між площинами 
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
Варіант 30
1. Скласти рівняння прямих, що проходять через точку 
паралельно й перпендикулярно до відрізка , якщо 
й 
.
2. Обчислити об'єм тетраедра з вершинами в точках і його висоту, опущену з вершини на грань , де 
, 
, 
, 
.
3. Знайти відстань від точки до площини, що проходить через три точки , де 
, 
, 
, 
.
4. Написати рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , де 
5. Знайти кут між площинами 
6. Написати канонічне рівняння прямої, заданої у вигляді перетинання двох площин: 
7. Знайти точку перетинання прямої і площини:
Підготовка до іспиту
Екзаменаційні питання
1. Визначення матриці. Види матриць.
2. Дії над матрицями: додавання, множення на число, множення матриць, транспонування.
3. Визначник матриці. Обчислення визначників другого й третього порядку.
4. Властивості визначника.
5. Зворотна матриця. Схема обчислення зворотної матриці. Приклад.
6. Розв’язання систем лінійних рівнянь матричним методом. Приклад.
7. Розв’язання систем трьох лінійних рівнянь методом Крамера й Гауса.
8. Основні визначення векторної алгебри: вектор, довжина вектору, орт, розкладання вектору по одиничним ортам, колінеарність векторів.
9. Координати вектору, колінеарність векторів, Довжина вектору, координати середини вектору.
10.Скалярний добуток векторів, його властивості. Кут між векторами.
11.Векторний добуток векторів і його властивості. Геометричний зміст векторного добутку.
12.Мішаний добуток векторів. Геометричний зміст мішаного добутку. Умова компланарності векторів.
13.Загальне рівняння прямої на площині. Окремі випадки. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
14.Канонічне рівняння прямої на площині. Зв'язок з параметричним рівнянням. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
15.Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Окремі випадки. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
16.Канонічне рівняння прямої на площині. Зв'язок з параметричним рівнянням. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (на площині). Відстань від точки до прямої.
17.Коло. Канонічне рівняння кола.
18.Еліпс. Дослідження еліпса по канонічному рівнянню (при a>b).
19.Еліпс. Дослідження еліпса по канонічному рівнянню (при a<b).
20.Гіпербола. Дослідження гіперболи по її канонічному рівнянню (якщо 2a – дійсна вісь).
21.Гіпербола. Дослідження гіперболи по її канонічному рівнянню (якщо 2b – дійсна вісь).
22.Парабола. Канонічне рівняння параболи.
23.Загальне рівняння площини. Кут між двома площинами. Умова паралельності й перпендикулярності двох площин.
24.Рівняння площини, яка проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках.
25.Канонічне й параметричне рівняння прямої в просторі. Кут між прямими. Умова паралельності й перпендикулярності двох прямих.
26.Загальне рівняння прямої в просторі, заданої перетинанням двох площин.
27.Взаємне розміщення двох прямих у просторі.
28.Кут між прямою й площиною. Умови паралельності й перпендикулярності прямої і площини.
Екзаменаційні задачі
1. Розв'язати рівняння 
2. Розв'язати нерівність 
3. Розв'язати систему матричним способом, методом Гауса, Крамера:
4. Знайти точку A(x;y;z) в якій знаходиться початок вектора а=(2;3;-1), якщо кінець його збігається з точкою В(1;2;-1). Скласти рівняння прямої, яка проходить через А і В.
5. Дана трапеція А(3;-1;2), В(1;2;-1), С(-1;1;-3) і D(3;-5;3), 
. Написати рівняння середньої лінії трапеції. Написати рівняння діагоналей трапеції.
6. Дано вершини трикутника ABC: 
. Написати рівняння висоти, проведеної з вершини .
7. Дано вершини А(2;-1;4), В(3;2;-6) і С(-5;0;2) трикутника. Скласти рівняння медіани, проведеної з вершини А.
8. Дано трикутник ABC, A(4;0;-2), В(-2;-6;4) і С(4;3;2). Знайти кут між сторонами АВ і АС.
9. Обчислити площу трикутника з вершинами в точках А(1;-1;2), В(5;-6;2) і С(1;3;-1). Скласти рівняння сторони АВ.
10. Обчислити об’єм тетраедра з вершинами в точках А(1;1;1), В(2;0;2) С(2;2;2) і D(3;4;-3).
11. Встановити, чи належать точки одній прямій: 
.
12. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки, якщо: 
, 
, 
.
13. Знайти точку перетину прямої та площини: 
, 
14. Знайти точку перетину трьох площин: 
Література
1. Г.Н. Яковлєв, “Геометрія”.
2. Г.Н. Яковлєв, “Алгебра та початок аналізу”.
3. Н.В. Богомолов, “Практичні заняття з математики”.
4. Ю.К. Рудавський, “Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії”.
5. В.І. Діскант, “Збірник задач з лінійної алгебри та аналітичної геометрії”.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 747; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!