Пример реализации математической модели в системе Microsoft Excel

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СХЕМАХ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомиться с методикой исследования переходных процессов в схемах с распределенными параметрами. Для заданного варианта схемы разработать математическую модель, реализовать ее на ПЭВМ, рассчитать переходный процесс и провести анализ полученных результатов.

ПРОГРАММА РАБОТЫ

1. Для заданного варианта схемы с распределенными параметрами (табл. П.3) разработать математическую модель, описывающую переходные процессы в исследуемой схеме.

2. Реализовать разработанный алгоритм в виде программы для ПЭВМ.

3. Рассчитать во временном диапазоне от 0 до 40 мкс изменения напряжения в узлах схемы при воздействии заданного импульса напряжения.

4. Составить отчет, который должен содержать:

- исходную расчетную схему и математическую модель для исследования

волновых процессов в заданной схеме;

- распечатку программы разработанного алгоритма;

- расчетные кривые изменения напряжения в исследуемых узлах схемы ;

- анализ полученных результатов.

ПОЯСНЕНИЯ К РАБОТЕ

При исследовании электромагнитных переходных процессов в электрической сети, последнюю можно представить в виде совокупности узлов, включающих элементы с сосредоточенными параметрами (моделирующими различное высоковольтное оборудование), соединенные между собой элементами с распределенными параметрами (воздушными или кабельными линиями). При этом в отличие от схем с сосредоточенными параметрами, где любая коммутация в схеме приводит к мгновенному изменению напряжения и тока во всех узлах цепи, в схемах, содержащих участки линий, изменения напряжений и токов в узлах происходят с некоторой задержкой по времени, поскольку узлы схемы соединены между собой элементами с распределенными параметрами, по которым электромагнитная волна распространяется с конечной скоростью, определяемой свойствами диэлектрической среды (воздуха для воздушной линии, элегаза – для газоизолированных линий, бумажно-пропитанная и пластмассовая изоляция – для кабельных линий). Определение изменения напряжения и токов в узлах такой схемы осуществляется на базе математической модели, которая содержит уравнения, описывающие переходные процессы в узлах схемы и уравнения длинной линии, связывающих эти узлы.

Рассмотрим математическую модель, описывающую переходные процессы в схеме, содержащей лишь два узла (рис.1), соединенные участком линии с параметрами l , n и Z_В , где l - длина линии, n - скорость распространения электромагнитной волны и Z_В - волновое сопротивление линии.

Рис. 1. К выводу уравнений, описывающих волновые

процессы в электрических сетях

При использовании метода обобщенных бегущих волн уравнения для узлов схемы записываются в виде

V₂₁(t) = u₁(t) + i₂₁(t) Z_В ,

V₁₂(t) = u₂(t) + i₁₂(t) Z_В ,

i₁(t) = f₁ [u₁(t)] , (1) i₂(t) = f ₂[u₂(t)] ,

где V₁₂(t) и V₂₁(t) – обобщенные волны, набегающие на узлы 1 и 2,

u₁(t), u₂(t) и i₁(t), i₂(t) - напряжения и токи в соответствующих узлах.

Уравнения (1) позволяют в каждый момент времени при известных значениях обобщенных волн, набегающих на узлы 1 и 2, определить напряжения и токи в этих узлах. Затем в этих узлах определяются обобщенные отраженные волны:

W₂₁(t) = 2u₂(t) – V₁₂(t) ,

W₁₂(t) = 2u₁(t) – V₂₁(t) . (2)

При неучете потерь в линии (R=G=0) отраженные волны будут падающими для узлов, через времена, равные временам пробега волн по линии, т.е. уравнения, связывающие узлы 1 и 2, записываются в виде

V₁₂(t) = W₁₂(t–t₁₂) ,

V₂₁(t)=W₂₁(t–t₂₁) , (3)

где t₁₂= t₂₁ = l/n - время пробега волны по линии длиной l,

0при t < t₁₂ ,

1 при, t > t₁₂ - обобщенная единичная функция.

Таким образом, математическая модель расчетной задачи состоит из уравнений (1), описывающих переходные процессы в узлах исследуемой схемы, и уравнений (2) и (3), описывающих волновые процессы в линии. На рис.2 приведена блок-схема и алгоритм, имитирующий движение прямых и обратных волн. Из рисунка видно, что для моделирования движения этих волн требуется два массива размерностью (N+1), где величина N зависит от времени пробега волны по линии и выбранного шага (h) расчета N= t₁₂/h.

В общем случае шаг численного решения h определяется необходимой точностью решения узловых уравнений, временем пробега волны по линии, частотным спектром воздействующих на схему импульсов напряжения и видом нагрузки в узлах – наличием активных линейных или нелинейных элементов, а также элементов, запасающих энергию (емкостей или индуктивностей).

а)

б)

Рис. 2. Блок-схема программы (а) и алгоритм движения волн (б) для

исследования волновых процессов в схеме с двумя узлами 1 и 2,

соединенными линией с распределенными параметрами.

Современное развитие вычислительной техники позволяет не подходить строго к оптимальному выбору шага решения с точки зрения экономии машинного времени и обеспечения необходимой точности расчета, поэтому для исследования волновых процессов при воздействии на схему импульсов напряжения с достаточно крутыми фронтами и варьировании параметров R, L и C в реальных диапазонах их изменения согласно вычислительным экспериментам достаточно выбрать шаг расчета в диапазоне 0,01…0,1 мкс. При этом следует отметить, что шаг решения должен укладываться целое число раз во времени пробега волны по линии.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

При выполнении лабораторной работы каждому студенту выдается в соответствии с табл.П2 вариант расчетной схемы, для которой на базе разработанной математической модели, реализованной применительно к ПЭВМ, необходимо провести анализ волнового процесса при воздействии на схему (табл.П.3) импульса напряжения заданной формы (табл.П.4).

В качестве примера составим математическую модель, позволяющую исследовать электромагнитные переходные процессы, возникающие в схеме при ударе молнии в линию в непосредственной близости от кабельной вставки, в конце которой подключен ненагруженный трансформатор. На рис.3 представлены исходная и расчетная схемы замещения, содержащая три узла и связывающие эти узлы отрезки воздушной и кабельной линий. В схеме приняты следующие исходные данные:

e(t) - воздействующий импульс напряжения конечной длительности,

l₁= 1500 м и l₂= 600 м -соответственно, длины воздушной и кабельной линии,

n₁= 300 м/мкс и n₂= 150 м/мкс - скорости распространения электромагнитной волны по воздушной и кабельной линии,

Z = Z_В1= 400 Ом и Z_В2 = 40 Ом - волновые сопротивления ВЛ и КЛ,

С_тр = 2000 пФ - входная емкость трансформатора на частоте грозового импульса напряжения.

Исходные уравнения для узлов записываются в виде:

узел 1:

V₂₁(t) = u₁(t) + i₂₁(t) Z_В₁ ,

u₁(t) = e(t) – i(t) Z , (4)

i(t) = – i₂₁(t),

W₁₂(t) = 2u₁(t) – V₂₁(t).

а)

б)

Рис. 3. Исходная (а) и расчетная (б) схемы замещения для анализа

волновых процессов в схеме с распределенными параметрами

узел 2:

V₁₂(t) = u₂(t) + i₁₂(t) Z_В₁ ,

V₃₂(t) = u₂(t) + i₃₂(t) Z_В₂ ,

i₁₂(t) = – i₃₂(t), (5)

W₂₁(t) = 2×u₂(t) – V₁₂(t) ,

W₂₃(t) = 2×u₂(t) – V₃₂(t) .

узел 3:

V₂₃(t) = u₃(t) + i₂₃(t) Z_В₂ ,

i₂₃(t) = С_тр du₃(t)/dt , (6)

W₃₂(t) = 2u₃(t) – V₂₃(t) .

При неучете потерь в воздушной и кабельной линии приходящие в узлы волны определятся как:

V₁₂(t) = W₁₂(t–t₁₂) ,

V₂₁(t) = W₂₁(t–t₂₁) ,

V₂₃(t) = W₂₃(t–t₂₃) , (7)

V₃₂(t) = W₃₂(t–t₃₂) ,

где t₁₂и t₂₃- времена пробега волны по воздушной и кабельной линии, соответственно.

Для определения u₁(t), u₂(t) и u₃(t) системы уравнений (4)…(6) целесообразно переписать в виде:

u₁(t) = [V₂₁(t) Z + e(t) Z_В1]/(Z + Z_В1) ,

u₂(t) = [V₁₂(t) Z_В2 + V₃₂(t) Z_В1]/(Z_В1 + Z_В2) ,

du₃(t)/dt = [V₂₃(t) – U₃(t)]/C_тр/Z_В2 , (8)

W₁₂(t) = 2u₁(t) – V₂₁(t) , W₂₁(t) = 2u₂(t) – V₁₂(t) ,

W₂₃(t) = 2u₂(t) – V₃₂(t) , W₃₂(t) = 2u₃(t) – V₂₃(t) .

При использовании для численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения dy(t)/dt = f [y(t), t], например, неявного метода трапеций, решение уравнения на (k+1)-м шаге интегрирования (t= k×h) запишется в виде

y[(k+1)h] = y(kh) + 0,5×h [f(y_k+1,t_k+1) + f(y_k,t_k)] . (9)

Соответственно, напряжение в узле 3 на (k+1)-ом шаге интегрирования можно определить как

u₃₍_k₊₁₎ = [u₃₍_k₎ + (V₂₃₍_k₎+V₂₃₍_k₊₁₎– u₃₍_k₎)×h/2/Z_В2/С_тр]/(1+ h/2/Z_В2/C_тр). (10)

Таким образом, расчет переходного процесса в исследуемой схеме сводится к решению системы уравнений (8) при известных значениях волн, приходящих в узлы схемы, определению волн, отраженных от узлов и имитации движения обобщенных волн по линиям в соответствии с волновыми уравнениями (7).

Для реализации этой модели может быть использована какая-либо из систем инженерных расчетов: MATLAB, Mathcad, EXCEL и др. Ниже приведены примеры использования для реализации рассмотренного алгоритма систем MATLAB и EXCEL

Пример реализации математической модели в системе MATLAB

Программа расчета переходных процессов в схеме, приведенной на рис.3, при использовании метода бегущих волн имеет вид:

% Исходные данные

tr=40e-6; - время расчета переходного процесса

h=0.1e-6; - шаг расчета

L1=1500;L2=600; - длина ВЛ и КЛ

v1=300.e6;v2=150.e6; - скорости распр. волн по ВЛ и КЛ

Z1=400;Z2=40; - волновые сопротивления ВЛ и КЛ

C=2e-9; - входная емкость трансформатора

U0=1; - амплитуда воздействующей волны

ti=2e-6; - длительность срезанного импульса

U3k=0; - начальное значение U₃(t)

nt=tr/h; - количество циклов по времени

% Начальные значения массивов напряжений и времени

UM1=0;UM2=0;UM3=0;tm=0;

% Формирование размерности для массивов волн

N1=round(1+L1/v1/h);

N2=round(1+L2/v2/h);

% Формирование начальных (нулевых) массивов волн

V12=zeros(1,N1);

V21=zeros(1,N1);

V23=zeros(1,N2);

V32=zeros(1,N2);

% Расчет волнового процесса (цикл по времени)

for k=1:nt

t=k*h;

% if(t<=ti)

% e=2*U0-2*U0*(ti-t)/ti;

% else - срезанный импульс

% e=0;

% end

e=2*U0; - прямоугольный импульс

% Сдвиг волн на шаге расчета

for i=N1:-1:2

V12(i)=V12(i-1);

V21(i)=V21(i-1);

end

for i=N2:-1:2

V23(i)=V23(i-1);

V32(i)=V32(i-1);

end

% Вычисление значений напряжения в узлах

U1=(V21(N1)+e)/2;

U2=(V12(N1)*Z2+V32(N2)*Z1)/(Z1+Z2);

U3=(U3k+h*(V23(N2)+V23(N2-1)-U3k)/2/Z2/C)/(1+h/2/Z2/C);

U3k=U3;

% Формирование массивов напряжений и времени

UM1=[UM1 U1];

UM2=[UM2 U2];

UM3=[UM3 U3];

tm=[tm t*1.e6];

% Вычисление отраженных (падающих) волн

V12(1)=2*U1-V21(N1);

V21(1)=2*U2-V12(N1);

V23(1)=2*U2-V32(N2);

V32(1)=2*U3-V23(N2);

end

subplot(311),plot(tm,UM1,'blue'),grid;

title('Расчетные кривые изменения u(t) в узлах')

ylabel('u1(t)')

subplot(312),plot(tm,UM2,'blue'),grid; - вывод графиков u_i(t)

ylabel('u2(t)')

subplot(313),plot(tm,UM3,'blue'),grid;

xlabel('t, мкс')

ylabel('u3(t)')

Для выяснения особенностей протекания переходных процессов в исследуемой схеме рассмотрено воздействие двух видов грозовых волн:

- по ВЛ набегает срезанная волна, образовавшаяся при перекрытии линейной изоляции воздушной линии (вариант №1 табл.П 4),

- по ВЛ набегает прямоугольная волна бесконечной длительности, имитирующая в первом приближении полную волну с крутым фронтом (вариант №7 табл.П.4 ).

На рис.4 и 5 приведены расчетные кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы при воздействии импульса напряжения различной длительности. Из приведенных рисунков видно, что характер изменения напряжения в конкретных узлах схемы зависит как от формы воздействующего импульса напряжения, так и от параметров схемы, в частности, от соотношения волновых сопротивлений линий в месте их сопряжения и времени пробега волн по участкам линий.

Анализ приведенных на рис.4 расчетных осциллограмм показывает, что при воздействии на схему срезанной волны напряжения (импульса с длительностью t_и= 2 мкс) форма изменения напряжения в исследуемых узлах повторяет форму воздействующего импульса напряжения, а амплитуда определяется коэффициентами преломления в соответствующих узлах. Последнее связано с отсутствием наложения преломленных и отраженных волн в любой точке схемы с распределенными параметрами. В рассматриваемом случае очень легко проверить работоспособность разработанной математической модели и правильность ее реализации на ПЭВМ.

Например, в первом узле второй импульс напряжения появляется через время t=2×t₁₂=2×l₁/n₁=2×1500/300=10мкс с отрицательной амплитудой, определяемой коэффициентом отражения в узле b₂₁= (Z_В2–Z_В1)/ (Z_В2+Z_В1) = (40 – 400)/(40 +400) = – 0,82.

Во втором узле через время, равное t₁₂= l₁/n₁=1500/300 = 5мкс , появляется импульс напряжения с амплитудой, определяемой коэффициентом преломления в месте сопряжения ВЛ и КЛ a₁₂=2×Z₂/(Z₂+Z₁)= 0,18.

В третьем узле схемы напряжение на трансформаторе (емкости) появляется через время t = t₁₂+t₂₃= 1500/300 + 600/150 = 9 мкс с практически удвоенной амплитудой по отношению к величине напряжения в узле 2. В дальнейшем появление импульсов напряжения в схеме с убывающими амплитудами обусловлено преломлением и отражением волн в кабельной вставке, нагруженной на входную емкость трансформатора.

Иной характер волнового процесса будет иметь место при воздействии на исследуемую схему импульса напряжения бесконечной длительности (рис.5,а). В этом случае за счет многократного отражения и наложения волн емкость кабельной вставки заряжается до существенно большего значения напряжения. Если же заменить кабельную вставку (волновое сопротивление которой на порядок меньше волнового сопротивления ВЛ) на участок воздушной линии (Z_В2=Z_В1), то преломленных и отраженных волн в узле 2 не будет (b₂₁= 0, a₁₂= 1) и вся схема зарядится до двойного напряжения по отношению к воздействующей волне U₀=1 (рис.5,б). Это обусловлено тем, что при t = ¥ частота изменения воздействующего прямоугольного импульса напряжения равна нулю и нагрузка в узле 3 схемы представляет собой бесконечно большое сопротивление (X_C=1/wC®¥), т.е. линия не нагружена. Следует также отметить кратковременное понижение напряжения в узлах 2 и 3 исследуемой схемы при приходе отрицательной отраженной волны от третьего узла (при t_фр @ 0 w®¥ , X_C®0 и следовательно b₃₂= -1).

Рис.4. Расчетные кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы

при воздействии импульса напряжения конечной длительности (t_и= 2 мкс)

а)

б)

Рис. 5. Расчетные кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы

при воздействии импульса напряжения бесконечной длительности и

варьировании значений Z_В1 и Z_В2 : а) - Z_В1 =10×Z_В2 , б) - Z_В1 = Z_В2

Пример реализации математической модели в системе Microsoft Excel

Для расчета переходных процессов с помощью метода бегущих волн можно использовать также систему Microsoft Excel. В этом случае составляется расчетная таблица, столбцы которой предназначены либо для вычисления по формулам (8) одной из величин (u₁, W₁₂, u₂, W₂₁, W₂₃, u₃, W₃₂ ) либо для имитации в соответствии с уравнениями (7) запаздывания волн (волна отраженная от одного узла через время t=l/n станет для другого узла приходящей). Одна строка таблицы соответствует одному шагу расчета.

Пример использования системы Microsoft Excel для расчета переходных процессов в исследуемой схеме при воздействии срезанной волны с амплитудой U₀=200 приведен в табл.1. Графическая иллюстрация полученных расчетных кривых дана на рис.6.

Рис. 6 Кривые изменения напряжения в узлах исследуемой схемы при

расчете переходного процесса с помощью Microsoft Excel

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Чем отличается моделирование электромагнитных переходных процессов в схемах с сосредоточенными и распределенными параметрами?

2. Какие основные факторы влияют на форму и амплитуду изменения напряжения в узлах исследуемой схемы?

3. Как влияют на характер волнового процесса сосредоточенные элементы (R, L и C) при воздействии на схему с распределенными параметрами прямоугольного импульса напряжения бесконечной длительности?

4. Для своего варианта схемы качественно оценить как изменится переходный процесс если изменить один из следующих параметров: форму воздействующего импульса напряжения, длину или волновое сопротивление i-го участка схемы)?

ЛИТЕРАТУРА

1. К.П. Кадомская.- Волновые процессы и перенапряжения в электрических сетях. Сб. задач/ Новосиб. гос. техн. ун-т.- Новосибирск 1994.- 89 с.

2. К.П. Кадомская, Н.В. Цуркан. – Волновые процессы в воздушных и кабельных линиях электропередачи. Методические указания к лабораторному практикуму по курсу "Вычислительная техника и программирование"/ НЭТИ.- Новосибирск 1991.- 23 с.

3. Перенапряжения в электрических системах и защита от них: Учебник для вузов/ В.В. Базуткин, К.П. Кадомская, М.В. Костенко, Ю.А. Михайлов.- СПб.: Энергоатомиздат, Санкт-Петербург.отд-ние,1995.- 320 с.

4. К.П. Кадомская. - Перенапряжения в энергосистемах.Часть 1.Волновые процессы в ВЛ и КЛ.Учебное пособие для студентов IV-V курсов электроэнергетического факультета/ Новосибирск, 1980.-100с.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 300; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!