Основные допущения метода совместного решения приближенных уравнений равновесия и пластичности
Плоское напряженное состояние наиболее часто реализуется в операциях листовой штамповки (вытяжка, обжим, раздача и т.д.). Упрощенное уравнение равновесия рассмотрим на примере осесимметричной тонкостенной оболочки двойной кривизны.
Рисунок 2 - Осесимметричная тонкостенная оболочка двойной кривизны.
Для вывода уравнения равновесия необходимо использовать следующие допущения:
1. Оболочка осесимметричная, поэтому все напряжения не зависят от координаты 
, а касательные напряжения 
0. Напряжение 
— главное напряжение.
2. Принимаем что толщина заготовки постоянна и значительно меньше радиусов кривизны в меридиональном и широтном направлениях.
3. Размеры очага деформации вдоль срединой поверхности оболочки значительно больше толщины оболочки. При таких размерах характеристика очага деформации напряжения перпендикулярна к поверхности оболочки можно пренебречь. Тогда схема напряженного состояния с достаточной точностью может быть принята плоской.
4. Для тонкой оболочки у которой радиусы серединой поверхности значительно больше толщины оболочки, можно считать что 
по толщине оболочки постоянные. Если 
постоянны по толщине оболочки, то их можно привести к серединным поверхностям оболочки.
5. Касательные напряжения вызванные трением на контактной поверхности оболочки можно учесть законом Амантона:
,
где 
- коэффициент трения;
- нормальное напряжение к срединной поверхности оболочки полученное
проектированием напряжений на нормаль к поверхности оболочки.
В большинстве операций листовой штамповки очаг деформации можно разделить на участки в каждом из которых кривизна срединных поверхностей оболочки в меридиональных сечениях постоянна.
3. Определение характера распределения нормальных напряжений на контактной поверхности заготовки.
Рассмотрим обжим цилиндрической заготовки в конической матрице. На рисунке 3 представлены схема деформирования заготовки в такой матрице и принятые обозначения размеров.
Рисунок 3 – схема деформирования заготовки в конической матрице.
Очаг деформации в этом случае состоит из двух участков: I, в котором заготовка соприкасается с конической полостью матрицы, и участка II свободного изгиба с радиусом 
срединной поверхности, в котором заготовка не соприкасается с матрицей.
Распределение напряжений в основном, коническом, участке очага деформации можно установить, подставляя значение 
из условия пластичности в уравнение 
и учитывая, что 
.
Интегрируя это дифференциальное уравнение с разделимыми переменными, находим:
.
Произвольную постоянную интегрирования C можно найти из граничного условия, согласно которому при 
(на крае заготовки) напряжение 
:
.
Подставляя значение C в предыдущее уравнение, получаем формулу, которая позволяет установить распределение напряжений в коническом участке очага деформации:
.
Напряжение 
, действующее в коническом участке очага деформации на границе его с участком свободного изгиба, можно получить из формулы при подстановке в нее значения (рисунок 3):
.
Распределение напряжений на участке II очага деформации находим, решая уравнение 
, в котором принято 
(контакт заготовки с инструментом отсутствует). Получающееся дифференциальное уравнение имеет вид:
.
Интегрирование его дает уравнение:
.
При переходе элементов заготовки в процессе ее деформирования из участка II очага деформации в участок I радиус срединной поверхности в меридиональном сечении увеличивается от до бесконечности (спрямление), а при переходе из недеформируемой части заготовки в очаг деформации уменьшается от бесконечности до значения (изгиб). Считая, что изгиб и спрямление вызывают увеличение напряжения на 
, величина которого определяется по формуле 
, заключаем, что в качестве граничного условия для участка II очага деформации можно принять, что при , 
.
Используя это граничное условие, находим:
;
отсюда произвольная постоянная интегрирования:
.
Подставляя значение С в уравнение для определения величины в участке II очага деформации, получаем:
.
Значение напряжения , действующего в участке II очага деформации на его границе с недеформируемой частью заготовки, определим по предыдущей формуле при подстановке в нее значения 
. Для упрощения в третьем и четвертом слагаемом примем 
:
.
Напряжение 
, действующее в стенках обжимаемой заготовки, с учетом влияния изгиба определим как сумму напряжения и приращения напряжения : 
. (1)
Для определения по формуле (1) при обжиме в конической матрице необходимо знать величину радиуса участка свободного изгиба. В первом приближении можно принять, что величина в участке II очага деформации определяется по формуле 
, как в случае, когда меридиональное напряжение сравнительно велико:
. (2)
Подставляя значение из выражения (2) в (1), получаем:
. (3)
Подставляя значение из выражения в (3), после несложных преобразований получаем:
. (4)
Так как при обжиме радиусы 
и незначительно отличаются по величине один от другого, то без большого ущерба для точности формулу (4) можно записать в несколько ином виде:
. (5)
Формула (5) позволяет определить величину напряжения , действующего в стенках заготовки при обжиме в конической матрице.
Заметим, что этой формулой нельзя пользоваться для определения величины при обжиме в конической матрице, когда обжатая часть заготовки выходит в цилиндрическое отверстие матрицы, так как в этом случае появится новый участок очага деформации (на скругленной кромке матрицы), на границах которого элементы заготовки будут получать изгиб и спрямление [70].
Проведенный анализ обжима в конической матрице и в матрице с криволинейной образующей был выполнен без учета влияния упрочнения и изменения толщины заготовки в процессе деформирования на величину 
.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 791; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!