V. Дифференциальные уравнения
ВОПРОСЫ
Для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ»
Курс , 1 семестр
I. Введение в математический анализ. Теория пределов.
1. Понятие и виды множеств. Основные операции над множествами.
2. Понятие функции. Область определения, область значения. Способы задания функций.
3. Основные свойства функции: периодичность, четность, монотонность, ограниченность.
4. Обратная функция. Сложная функция. Примеры.
5. Понятие числовой последовательности.
6. Предел числовой последовательности.
7. Сходящиеся числовые последовательности и их свойства.
8. Определение предела функции.
9. Основные теоремы о пределах.
10. Понятие бесконечно малой функции и ее свойства.
11. Понятие бесконечно большой функции и ее свойства.
12. Эквивалентные бесконечно малые.
13. Раскрытие неопределенностей вида 
и 
14. Первый замечательный предел.
15. Число е. Второй замечательный предел.
16. Определение непрерывности функции в точке и на отрезке.
17. Классификация точек разрыва.
II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
1. Определение производной функции.
2. Механический, геометрический и экономический смысл производной.
3. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функций.
4. Основные правила и формулы нахождения производной.
5. Определение дифференциала функции и дифференциала независимой переменной.
|
|
|
6. Геометрический смысл дифференциала и его свойства.
7. Теорема Ферма.
8. Теорема Ролля.
9. Теорема Лагранжа.
10. Теорема Коши.
11. Правило Лопиталя (теорема Лопиталя) раскрытия неопределенностей.
12. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания функции.
13. Точки экстремума.
14. Необходимое и достаточные (1-е и 2-е) условия существования экстремума.
15. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции.
16. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие существования точек перегиба.
17. Асимптоты графика функции, их виды.
18. Общая схема исследования функции.
III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных
1. Понятие функции двух и нескольких переменных. Примеры. Область определения, область изменения.
2. Область, граница области, внутренние точки области. Открытая область. Замкнутая область. График функции двух переменных.
3. Определение предела функции двух переменных.
4. Непрерывность функции двух переменных в точке, в области.
5. Понятие частных приращений функции двух переменных по каждой из переменных.
|
|
|
6. Определение частных производных функции двух переменных по каждой из переменных. Правило вычисления.
7. Определение градиента функции двух переменных. Свойства.
8. Частные производные второго порядка функции двух переменных. Смешанные производные.
9. Понятие точек локального экстремума функции двух переменных.
10. Необходимые условия существования точек экстремума функции двух переменных.
11. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.
12. Теорема о наибольшем и наименьшем значении непрерывной функции двух переменных на замкнутой области.
IV.Интегральное исчисление
1. Понятие первообразной. Определение неопределенного интеграла.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица интегралов.
4. Метод непосредственного интегрирования.
5. Замена переменной в неопределенном интеграле.
6. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
7. Определение определенного интеграла.
8. Геометрический смысл определенного интеграла.
9. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Понятие несобственного интеграла первого рода. Сходимость и расходимость. Геометрический смысл несобственного интеграла.
11. Понятие несобственного интеграла второго рода.
|
|
|
12. Площадь плоской фигуры
13. Длина дуги кривой
14. Объем тела вращения.
V. Дифференциальные уравнения
1. Понятие дифференциального уравнения. Порядок ДУ.
2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
4. Понятие общего решения дифференциального уравнения первого порядка.
5. Понятие частного решения дифференциального уравнения первого порядка.
6. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными (ДУсРП).
7. Однородное дифференциального уравнения первого порядка (ОДУ).
8. Линейное дифференциального уравнения первого порядка (ЛДУ).
9. Линейное однородное дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛОДУ).
10. Характеристическое уравнение для ЛОДУ второго порядка.
11. Три случая корней характеристического уравнения и соответствующие им решения.
12. Линейное неоднородное дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ).
13. Виды частных решений ЛНДУ второго порядка со специальной правой частью.
VI. Числовые и функциональные ряды. (на следующий семестр)
1. Понятие числового ряда, примеры.
|
|
|
2. Частичные суммы ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды.
3. Геометрический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость.
4. Свойства сходящихся рядов.
5. Необходимый признак сходимости числового ряда.
6. Признаки сравнения сходимости положительных рядов.
7. Признак Даламбера сходимости положительных рядов.
8. Признак Коши сходимости положительных рядов.
9. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
10. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.
11. Функциональный ряд и его область сходимости.
12. Теорема Абеля.
13. Степенной ряд, радиус, интервал и область сходимости.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 147; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!