Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации
Лекция 3. ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ СКВАЖИН § 1.ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ. В этих трёх лекциях приведены основные положения теории фильтрации одномерных потоков однородных и неоднородных жидкостей и газов при установившихся и неустановившихся процессах. Большое внимание уделено пространственным задачам теории фильтрации жидкостей и газов и их смесей при установившихся и нестационарных изотермических процессах. Дано развитие теории притока сжимаемой жидкости и газа к несовершенным скважинам при линейном и нелинейном законах фильтрации, методам расчета добавочных фильтрационных сопротивлений. Изложены основные положения теории фильтрации в двойных средах. Рассмотрены задачи притока к трещинам гидравлического разрыва пласта и горизонтальным стволам, особенности фильтрации жидкости и газа в деформируемом пласте. Изложена теория вытеснения одной жидкости другой, фильтрация газоконденсатных смесей, теория конусообразования и соответствующие им прикладные задачи. Изложенные положения базируются на современных достижениях науки и практики в теории фильтрации и разработки нефтяных, нефтегазовых и газоконденсатных месторождений, науки о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Она является областью гидромеханики, в которой рассматривается не движение жидкостей и газов вообще, а особый вид их движения — фильтрация, которая имеет свои специфические особенности. Она служит теоретической основой разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Методами теории фильтрации решаются важнейшие задачи гидрогеологии, расчет притоков жидкости к искусственным водозаборам и дренажным сооружениям, изучение режимов естественных источников и подземных потоков, расчет фильтрации воды в связи с сооружением и эксплуатацией плотин, понижением уровня грунтовых вод, задачи о движении реагентов через пористые среды и специальные фильтры, фильтрация жидкостей и газов через стенки пористых сосудов и труб — вот далеко не полный перечень областей широкого использования методов теории фильтрации. Начало развитию подземной гидромеханики было положено французским инженером Анри Дарси (1803-1858 гг.), который в процессе работы над проектом водоснабжения г. Дижона (Франция) провел многочисленные опыты по изучению фильтрации воды через вертикальные песчаные фильтры. В опубликованной в 1856 г. замечательной книге А. Дарси дал подробное описание своих опытов и сформулировал обнаруженный им экспериментальный закон, в соответствии с которым скорость фильтрации жидкости прямо пропорциональна градиенту давления. Закон Дарси (Анри Дарси, 1856) — закон фильтрации жидкостей и газов в пористой среде. Исторически закон был получен А.Дарси экспериментально, но может быть получен с помощью осреднения уравнений Навье – Стокса, описывающих течение в масштабе пор (в настоящее время имеются доказательства для пористых сред с периодической и случайной микроструктурой). Выражает зависимость скорости фильтрации флюида от градиента напора: где: — скорость фильтрации, — коэффициент фильтрации, — градиент напора. Анри Филибер Гаспар Дарси (фр. Henry Philibert Gaspard Darcy, 10 июня 1803, Дижон, — 2 января 1858, Париж) — французский инженер-гидравлик, обосновавший закон Дарси (1856), связывающий скорость фильтрации жидкости в пористой среде с градиентом давления: «По-видимому, для песка одного качества, пропускаемый им расход прямо пропорционален напору и обратно пропорционален толщине фильтрующего слоя (грунта)». Именем Дарси названа единица измерения проницаемости пористой среды. Под руководством Дарси в г. Дижоне была создана первая в Европе система городских очистных сооружений с различными фильтрационными засыпками. Это настолько изменило город в лучшую сторону, что уже на следующий день после смерти Дарси от пневмонии главной площади города было присвоено его имя. В эти же годы другой французский инженер Жюль Дюпюи (1804- 1866 гг.) опубликовал монографию, в которой впервые изложил гидравлическую теорию движения грунтовых вод, вывел формулы для расчета дебитов колодцев и дрен, названные его именем, решил другие фильтрационные задачи.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jules Dupuit
Существенный вклад в развитие теории напорного и безнапорного движения грунтовых вод внес (Boussinesq) Жозеф Валантен Буссинеск (1842-1929 гг.) и Филипп Форхгеймер (1852-1933 гг.).
Ч. Слихтер (1864—1946 гг.), работавший в США, внес значительный вклад в развитие теории фильтрации. Им впервые предложены модели идеального и фиктивного грунта и показано, что пористость и просветность фиктивного грунта зависят не от диаметра частиц, а лишь от плотности их укладки.
Основоположниками отечественной школы теории фильтрации являются профессор Н.Е. Жуковский, академики Н.Н. Павловский, JI.C. Лей- бензон. Исследования этих выдающихся ученых, их многочисленных учеников и последователей стали фундаментальной основой развития теории фильтрации в нашей стране.
|
|
|
Н.Е. Жуковский (1847-1921 гг.) в 1889 г. опубликовал первую работу по теории фильтрации «Теоретическое исследование о движении подпочвенных вод». Им впервые выведены общие дифференциальные уравнения теории фильтрации, показано, что напор как функция координат удовлетворяет уравнению Лапласа, указано на математическую аналогию теплопроводности и фильтрации. Им исследованы также вопросы капиллярного поднятия воды в пористой среде, решен ряд задач о притоке воды к скважинам.
Н.Н. Павловскому (1884-1937 гг.) принадлежит определяющая роль в развитии теории фильтрации в гидротехническом направлении. В опубликованной монографии «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения» изложена разработанная им строгая математическая теория движения фунтовых вод под гидротехническими сооружениями. Им впервые многие задачи фильтрации воды были сформулированы как краевые задачи математической физики. Н.Н. Павловский впервые обосновал и предложил применение метода электрогидродинамической аналогии (ЭГДА) для решения фильтрационных задач, что в последующем нашло широкое применение для решения задач фильтрации воды, нефти и газа в неоднородных коллекторах.
Н.Н. Павловский впервые предложил использовать параметр Рей- нольдса в качестве критерия существования закона Дарси, что имеет важное значение для исследования законов сопротивления при фильтрации. Фундаментальные результаты в развитии теории движения грунтовых вод получены академиком П.Я. Полубариновой-Кочиной.
Пелаге́я Я́ковлевна Ко́чина (урожд. Полуба́ринова; 1899 — 1999) — советский физик-гидродинамик, академик АН СССР.
Леонид Самуилович Лейбензо́н (1879—1951) — русский и советский учёный-механик основатель советской школы ученых и специалистов, специалист в области гидродинамики, теории упругости, теории фильтрации газа и нефти.
Теоретические и экспериментальные исследования Л.С. Лейбензона начались в 1921 г. в Баку. Ему принадлежит приоритет в постановке и решении ряда задач нефтегазовой и подземной гидромеханики. Им проведены первые исследования по фильтрации газированных жидкостей, сформулированы задачи нестационарной фильтрации при расчетах стягивания контуров нефтеносности при вытеснении нефти водой, получены фундаментальные результаты в развитии теории фильтрации природного газа.
Трудами учеников и последователей академика Л.С. Лейбензона сложилась школа, которая по праву называется школой Л.С. Лейбензона.
Выдающийся вклад в развитие теории фильтрации в нефтегазоводоносных пластах внесли академик С.А. Христианович, профессоры Б.Б. Лапук, Исаак
Абрамович Чарный, В.Н. Щелкачев и К.С Басниев. Написанные ими монографии и учебники стали классическими и основополагающими.
§ 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
На различных этапах строительства скважины возникает необходимость в решении задач, связанных с оттоком жидкости из скважины и притоком ее в скважину из пласта. Здесь основное значение имеют закономерности движения жидкости в пласте, основанные на решении соответствующих граничных задач теории фильтрации.
Фильтрация - это движение жидкостей, газов и их смесей под действием перепада давления в твердом проницаемом теле, пронизанном системой сообщающихся между собой пустот (поры, трещины).
Нефть и природные газы заключены в недрах Земли. Их скопления связаны с вмещающими горными породами (пластами) - пористыми и проницаемыми образованиями, имеющими непроницаемые кровлю и подошву. Горные породы, которые могут служить вместилищами нефти и газа и отдавать их при разработке, называются коллекторами. В свою очередь, коллекторы называют пористыми или трещиноватыми в зависимости от геометрии пустот.
Природные жидкости (нефть, газ, подземные воды и их смеси) находятся в пустотах (порах и трещинах) коллекторов. Часто находящиеся в пустотном пространстве пласта природные жидкости обозначают общим термином флюид,подразумевая под ним любую из них. Флюид, находящийся в коллекторе, может находиться в состоянии покоя или двигаться. Движение флюидов через твердые (вообще говоря, деформируемые) трещиноватые или пористые среды называется фильтрацией. Фильтрация может быть обусловлена воздействием различных сил: градиентом давления, концентрации, температуры, капиллярными, электромолекулярными и другими силами. Например, движение (фильтрация) расплавленного жира в фитиле свечи или керосина в фитиле керосиновой лампы обусловлено капиллярными силами. Однако в дальнейшем будем рассмотривать течения, вызываемые действием градиента давления или силы тяжести.
Поровое пространство осадочных горных пород - сложная система сообщающихся межзернистых пустот, в которой трудно выделить отдельные поровые каналы (рис. 1.1). Размеры пор, например, в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров (мкм). Движение флюидов в пласте происходит с очень малыми скоростями, порядка микрометров в секунду (в гидромеханике движения со столь малыми скоростями часто называются ползущими).
 |
Поэтому процесс фильтрации с высокой степенью точности можно очень часто считать изотермическим. И в то же время при фильтрации в горных породах возникает значительная сила трения. При движении флюидов в пустотном пространстве коллектора соприкосновение между твердым скелетом и жидкостью происходит по огромной поверхности. Например, в 1м3 пористой среды (песчаника) площадь поверхности пустотного пространства может достигать порядка 104 м2. Поэтому основным свойством флюида, которое влияет на фильтрацию, является вязкость. В связи с этим обстоятельством вязкость учитывается даже при фильтрации газа, а так как сила трения распределена по всему объему коллектора, то Н.Е. Жуковский предложил при описании фильтрации силу трения считать массовой силой.
Строение нефтяных и газовых залежей осложняется значительной неоднородностью и анизотропией свойств пород, их слоистостью, наличием тектонических и стратиграфических нарушений (разрывов сплошности породы). Разведка месторождений, исследование пластов, извлечение нефти и газа осуществляется через отдельные скважины диаметром 10-20 см, отстоящие друг от друга до сотни метров.
Объектом изучения в теории фильтрации является движущаяся жидкость (газ, смесь), а скелет тела – средой, в которой это движение происходит.
Основная характеристика фильтрационного движения – вектор скорости фильтрации
 ,
| (2.28) |
где 
– компоненты скорости фильтрации; 
– расход жидкости через элементарные площадки 
, проходящие через некоторую точку 
среды перпендикулярно к соответствующим координатным осям. Если через точку проведена произвольно ориентированная площадка 
, то проекция вектора 
на нормаль к площадке 
равна
 ,
| (2.29) |
где 
– направляющие косинусы нормали ; 
– расход жидкости через площадку .
Подчеркнем, что расходы в формулах (2.28) и (2.29) делятся на полную площадь 
, а не на ее часть, занятую жидкостью. Поэтому величина скорости фильтрации 
не равна истинной скорости движения жидкости 
, они связаны соотношением
 ,
|
где 
– активная, или динамическая, пористость; 
и 
– соответственно элементарный объем среды и ее части, занятых подвижной жидкостью.
Горные породы, слагающие проницаемые пласты, характеризуются, как правило, сложной структурой флюидосодержащего пространства. Помимо пор они могут обладать развитой системой микро- и макротрещин. В зависимости от степени влияния трещин на фильтрацию жидкости принято различать пористые, трещиноватые и трещиновато-пористые породы.
Каждая из этих пород описывается некоторым конечным набором осредненных геометрических характеристик. Важнейшими из них являются пористость 
и, аналогично, трещинная пористость 
.
Для пористых пород зависит от формы, размеров и взаимного расположения твердых частиц. Из чисто геометрического рассмотрения фиктивного грунта, состоящего из одинаковых шарообразных частиц, Слихтер установил, что не зависит от их диаметра, а зависит только от их упаковки. Эта теоретическая пористость укладывается в диапазоне 0,26 – 0,47. Диапазон изменения пористости реальных тел намного шире.
Наряду с пористостью для описания пористого тела используют: просветность 
, эффективные диаметры частиц 
и пор 
. Просветностью называется отношение площади пор ко всей площади сечения, проведенную через данную точку тела. Диапазон изменения теоретической просветности, по Слихтеру, равен 0,093 – 0,214. Параметры 
и 
определяются по анализу фракционного состава частиц или микроструктуры пор и их кривых распределения.
Основными геометрическими параметрами трещиноватости являются: раскрытие трещин– расстояние между стенками;
объемная плотность трещиноватости – отношение площади поверхности всех трещин в некотором элементарном объеме к величине этого объема; поверхностная плотность трещиноватости – отношение суммы длин следов трещин, выходящих на элементарную площадку, к величине площади последней;
густота трещин - отношение количества трещин, секущих нормаль плоскостей, к элементу длины этой нормали;
ориентация трещин - в пространстве.
Пористые и трещиноватые породы с хаотичным, бессистемным распределением пор или трещин характеризуются изотропией фильтрационных свойств, в то время как породы с упорядоченной системой (большинство трещинных коллекторов) обладают ярко выраженной анизотропией.
Особенностью фильтрации в трещиновато-пористых породах является то, что закономерности фильтрации в порах и трещинах могут существенно отличаться.
Все это находит отражение в основном соотношении теории фильтрации – законе фильтрации, который устанавливает связь между вектором скорости и полем давления 
.
Существуют по крайней мере три основных фактора, которые влияют на характер (линейный, нелинейный) закона фильтрации: режим фильтрации (ламинарный, турбулентный), реологические свойства (ньютоновская, неньютоновская) и однородность жидкости.
Линейные уравнения и граничные задачи фильтрации.
1. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде
Для этой модели справедлив экспериментально установленный линейный закон фильтрации Дарси
 ,
| (2.30) |
Или в проекциях на оси декартовой системы координат
  ,
|
где 
называется коэффициентом проницаемости, или просто проницаемостью.
Проницаемость имеет размерность площади. Она не зависит от свойств жидкости, является чисто геометрической характеристикой пористой среды.
В практике принято проницаемость измерять в мкм2. Среда имеет проницаемость 1 мкм2 если при градиенте давления 10 МПа/м через площадку 10-4 м2 расход жидкости, вязкость которой 10-3 Па.с, составляет 10-6 м3/с, т. е. 1мкм2 = 10-12 м2.
Проницаемость определяется геометрией порового пространства. Известно множество попыток установить аналитическую зависимость между проницаемостью, пористостью, размером, формой и упаковкой частиц.
Для фиктивного грунта Слихтер нашел, что теоретическая проницаемость
 ,
|
а Козени получил
 .
|
Эти формулы полезны при изучении закономерностей фильтрации только в искусственных пористых телах. Для реальных тел достоверные результаты можно получить лишь по данным измерений расхода и перепада давления в лабораторных условиях на керновом материале или при натуральных испытаниях пластов с последующей интерпретацией полученных результатов.
Закон фильтрации (2.30) – это упрощенная форма уравнений движения
 ,
|
неразрывности движения или сохранения массы
 ,
|
и механического состояния
 ,
|
в которых отброшены силы инерции 
, а сумма сил 
заменена силами трения Ньютона 
. Тогда отпадает надобность в уравнениях состояния (2.24).
|
Имеем симметричный девиатор напряжений
Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от , т. е.
| (2.31) |
где 
, 
и 
– соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении 
; 
и 
– соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что 
.
К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного 
, заполнения элементарного объема 
сплошной среды принимает вид
 .
| (2.32) |
Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций 
, 
, и 
. Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины 
и 
много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное
классическое уравнение теории фильтрации:
 ,
| (2.33) |
где 
– коэффициент пьезопроводности среды; 
– приведенный модуль объемной упругости среды; 
– оператор Лапласа. Пьезопроводность 
имеет размерность м2/с.
Если 
, то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При 
имеем уравнение Лапласа
 ,
| (2.34) |
которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при 
, т. е. при установившемся режиме фильтрации.
Для однозначного определения поля давления в заданной области 
, ограниченной поверхностью 
, необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при 
)
 при 
| (2.35) |
и при 
граничным условиям:
если на поверхности (или ее части) задано давление 
, то
 при  ,
| (2.36) |
если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то
 ,
| (2.37) |
если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то
 ,
| (2.38) |
где 
– характерный линейный размер; 
– коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».
Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.
2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды.
Проницаемость зависит от направления - имеет место обобщенный закон Дарси
 ,
| (2.39) |
где 
– тензор проницаемости.
Если воспользоваться системой координат, оси которой совпадают с главными осями тензора , то уравнение (2.39) в проекциях на оси декартовой системы координат перепишется в виде
  ,
| (2.40) |
где 
– проницаемости вдоль главных осей 
анизотропии. При этом проекция скорости фильтрации на нормаль к элементарной площадке вычисляется по формуле
 .
| (2.41) |
Подставляя (2.40) в (2.32) получим уравнение при установившейся фильтрации
 .
| (2.42) |
Учитывая (2.41), усложняются и граничные условия вида (2.37) и (2.38).
Однако граничную задачу, связанную с уравнением (2.42), легко свести к граничной задаче, связанной с уравнением Лапласа (2.34), если вести следующую замену переменных:
для пространства
|
для плоскости
| (2.43) |
где 
– новые координаты.
Это означает геометрическое преобразование анизотропной области в некоторую изотропную область 
, проницаемость которой
| (2.44) |
При этом граница области преобразуется в границу 
области . Например, область, ограниченная окружностью
 ,
| (2.45) |
преобразуется согласно (2.42) в область, ограниченную эллипсом
 .
| (2.46) |
или в параметрическом виде
 .
|
где 
, 
- полуоси элипса
Для области 
имеем уравнение Лапласа
 ,
|
решение которого должно удовлетворять заданному граничному условию на окружности (2.45) для соответствующих точек эллипса (2.46).
3.Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды.
Горная порода рассматривается как сплошная, в любой точке которой имеют место двойная пористость 
, проницаемость 
, скорость фильтрации 
и давление 
, связанные законом Дарси
| (2.47) |
и уравнениями неразрывности
| (2.48) |
где индексами 1 и 2 обозначены величины, характеризующие соответственно систему трещин и пор;
 .
| (2.49) |
– интенсивность перетока жидкости между этими системами; 
– новая безразмерная величина, характеризующая данную среду.
При этом пористости 
и 
являются функциями обоих давлений, т.е.
 .
| (2.50) |
Однако во многих случаях систему уравнений (2.47) – (2.48) можно упростить, если исходить из следующих условий:
1) объем, занимаемый трещинами, много меньше объема пор, т.е. допустимо принять 
;
1) изменение пористости происходит в основном за счет изменения порового давления 
и поэтому при небольших изменениях этого давления
 ;
| (2.51) |
2) проницаемость 
, т.е. фильтрацией в порах можно пренебречь 
;
3) жидкость слабосжимаема так что
 ,
| (2.52) |
где 
или 
в зависимости от того, рассматривается жидкость в трещинах или в порах;
4) вязкость жидкости .
Физическая сущность перечисленных допущений состоит в том, что в системе трещины – поры рассматривается фильтрация жидкости по трещинам в условиях интенсивного массобмена с жидкостью, находящейся в упругом деформированном поровом пространстве.
В результате принятых упрощений уравнения (2.48) примут вид
 .
|
Подставляя сюда соотношения (2.47), (2.49), (2.51), (2.52) и отбрасывая малые величины высших порядков, получим
 ,
| (2.53) |
где 
– специфическая характеристика трещиновато-пористой среды; 
– своеобразная пьезопроводность среды.
Параметр 
имеет размерность площади, и для реальных пород его порядок может изменяться в широких пределах – от 10-1 до 106 м2.
Легко заметить, что путем исключения одного из давлений система уравнений (2.53) сводится к одному уравнению
 ,
| (2.54) |
где 
– параметр, называемый временем запаздывания.
Это уравнение отличается от классического уравнения (2.33) слагаемым, содержащим параметр 
. В пределе, когда 
, среда с двойной пористостью переходит в чисто пористую и уравнения (2.54) и (2.33) совпадают.
При жестком режиме фильтрации 
или при установившейся фильтрации уравнение (2.54) обращается в уравнение Лапласа (2.34).
Следовательно, ставить задачу о фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде имеет смысл при 
.
Начальное и граничные условия, которые необходимо присоединить к уравнению (2.54), обладают некоторой особенностью. Прежде всего ясно, что граничную задачу, связанную с уравнением (2.54) следует рассматривать относительно одного из давлений – 
или .
Если начальные условия 
и 
удовлетворяют первому уравнению (2.53), то задачу целесообразно решать относительно давления 
, принимая начальные и граничные условия в виде выражений (2.35) – (2.38). После определения давления вычисляют поровое давление 
.
В противном случае задачу следует решать относительно давления 
. Но здесь имеет место определенная специфика в задании граничных условий.
Если начальное распределение давления 
согласовано с граничными условиями 
вида
 ,
| (2.55) |
при 
, то в таком виде граничная задача и рассматривается.
Но если же согласования нет, то к правым частям соответствующих граничных условий необходимо прибавить слагаемое 
, где 
– невязка существующего граничного условия:
| (2.56) |
Это свидетельствует о том, что заданный скачок граничных условий в порах трещиновато-пористой среды не уничтожается мгновенно, как в обычной пористой среде, а убывает по закону 
. Такое качественное отличие – результат принятого упрощения пренебрежения фильтрацией жидкости в порах, где давление изменяется только благодаря массообмену с жидкостью в трещинах. Аналогично, предположение о жестком характере фильтрации жидкости в трещинах приводит к указанной выше проверке начальных распределений давлений и .
После решения граничной задачи относительно порового давления распределение давления в трещинах определяется по формуле (2.53)
а скорости фильтрации относительно какой–либо поверхности – по формуле
(2.55)
4. Приизучении фильтрации газа основное значение имеет его высокая сжимаемость, которая на несколько порядков выше сжимаемости пористой среды.
Поэтому в уравнении неразрывности (2.32) пренебрегают изменением пористости во времени и представляют это уравнение в виде
 .
| (2.57) |
К этому уравнению необходимо присоединить уравнение состояния газа
|
и закон фильтрации, который при небольшой скорости фильтрации имеет вид закона Дарси
| (2.58) |
где в общем случае 
; 
- температура.
В простейшем случае газ можно считать термодинамически идеальным, находящемся при постоянной температуре 
с вязкостью µ=const и плотностью
 ,
| (2.59) |
где 
- постоянные величины.
Подстановка (2.58) и (2.59) в (2.57) дает основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа
 ,
| (2.60) |
которое впервые было получено Л. С. Лейбензоном в 1930г.
Наиболее известный приближенный метод решения этого уравнения основан на линеаризации, по Л. С. Лейбензону, который состоит в том, что левую часть уравнения умножают на , а правую – на некоторое характерное давление , например давление в невозмущенной части пласта.
Тогда вместо (2.60) необходимо решить линейное уравнение
 ,
| (2.61) |
которое аналогично уравнению (2.33), где 
. Следовательно, все соотношения, полученные до сих пор для жидкости, могут быть в первом приближении использованы и при изучении фильтрации газа, если заменить в них на 
, на 
.
Лекция 4. 5. Экспериментально установлено, что иногда линейный закон фильтрации жидкости 
(2.58) нарушается и зависимость между и 
принимает вид выпуклой или вогнутой кривой, как показано на рис. 11.
Рис. 11.Возможные виды нелинейного закона фильтрации
Основные причины проявления нелинейных эффектов следующие:
1) высокая скорость фильтрации, когда параметр Рейнольдса 
превышает критическое значение (зависимость изображена кривой 1 на рис. 11);
2) ламинарная фильтрация жидкостей с неньютоновскими свойствами (кривая 2);
3) малая скорость фильтрации в слабопроницаемых и неоднородных пластах (кривая 2).
Предложены различные аппроксимации нелинейных зависимостей. Например, кривая 1 чаще всего описывается двучленным законом фильтрации
 ,
| (2.62) |
а кривая 2 – законом фильтрыции с предельным градиентом
| (2.63) |
где, по данным Е. М. Минского, 
, а, по данным Б. И. Султанова, 
; 
- эффективный диаметр пор; - предельное напряжение сдвига.
В общем случае к обоим типам кривых применимы степенная и кусочно-линейная аппроксимации
 ,
| (2.64) |
 ,
| (2.65) |
которыми удобно пользоваться при расчетах. Здесь 
- параметры модели; 
- характерное значение градиента давления; 
- безразмерная функция, описывающая ломаную линию (см. рис. 11).
Вопросы к 3-ей лекции
1. Закон Дарси
2. Фильтрация
3. Флюид
4. Силы обуславливающие фильтрацию
5. Поровое пространство осадочных горных пород
6. Объект изучения в теории фильтрации
7. Вектор скорости фильтрации
8. Компоненты скорости фильтрации
9. Соотношение скорости фильтрации и истинной скорости движения жидкости
10. Виды пород в зависимости от степени влияния трещин на фильтрацию жидкости
11. Просветность
12. Раскрытие трещин
13. Объемная плотность трещиноватости
14. Поверхностная плотность трещиноватости
15. Густота трещин
16. Ориентация трещи
17. Закон фильтрации
18. Основные факторы влияющие на характер закона фильтрации
19. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей в изотропной среде
20. Теоретическая проницаемость для фиктивного грунта Слихтера и Козени
21. Классическое уравнение теории фильтарции
22. Коэффициент пьезопроводности
23. Уравнение Лапласа
24. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей для анизотропной среды
25. Обобщенный закон Дарси
26. Закономерности фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах для однородной и изотропной среды
27. Распределение давления в трещинах
28. Основное значение при изучении фильтрации газа
29. Основное нелинейное уравнение теории фильтрации газа
30. Метод решения нелинейного уравнения теории фильрации газа
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1073; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!