Властивості медіани трикутника

· У будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці (вона називаєтьсяцентроїдом трикутника) і в цій точці поділяються у відношенні2:1, починаючи від вершини.

· Медіана ділить трикутник на два трикутника, площі яких рівні.

· Три медіани трикутника ділять трикутник на шість трикутників, площі яких рівні.

· Медіана трикутника , проведена до сторони , визначається через сторони трикутника за формулою: .

Властивості висоти трикутника

У будь-якому трикутнику три висоти або їх продовження перетинаються в одній точці(вона називаєтьсяортоцентром трикутника). Висоти трикутника, проведені до сторін трикутника ,  i , позначаються  і  відповідно. Висота трикутника  визначається через сторони трикутника за формулою: , де  - півпериметр.

Середня лінія трикутника

У кожному трикутнику можна побудувати три середні лінії – відрізки, які сполучають середини двох сторін трикутника. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні трикутника та дорівнює її половині. Середня лінія трикутника відтинає від трикутника подібний трикутник. Площа меншого трикутника відноситься до площі основного трикутника як 1:4.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник має сторону, яка лежить проти прямого кута, - гіпотенузу ( ) та дві сторони, які утворюють прямий кут, - катети (  і ).

Теорема Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів. с² = а² + в²

Властивості прямокутного трикутника:

1) Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.

2) Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за будь-який його катет.

3) Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи.

4) У прямокутному трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює їі половині.

5) Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу:  і .

6) Висота проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу: .

7) Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи.

8) Для сторін прямокутного трикутника істинні відношення: , , .

Співвідношення між сторонами і кутами трикутника

· проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки;

· проти рівних сторін лежать рівні кути;

· теорема синусів: ;

· теорема косинусів:  (квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними).

Основні формули з теми: «Трикутники, їх властивості. Теорема Піфагора. Розв’язування задач».  ( опорний конспект)

1) Р = а + в + с - периметр трикутника

2)  - медіана трикутника

3) , висота трикутника

де  - півпериметр.

4)Теорема Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів. С² = а² + в²

5) теорема синусів: ;

6) теорема косинусів:

7) Формули площі трикутника

а) Формула площі трикутника за стороною та висотою:
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника та довжини проведеної до цієї сторони висоти

б) Формула площі трикутника за трьома сторонами:

Формула Герона , де  - півпериметр

в) Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними: . Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін помноженого на синус кута між ними.

г) Формула площі трикутника за трьома сторонам і радіусом описаного кола:

д) Формула площі трикутника за трьома сторонами і радіусом вписаного кола:
Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

е) Формула площі рівностороннього трикутника: .

є) Формула площі прямокутного трикутника:

Де  - площа трикутника  – довжини сторін трикутника,  - висота трикутника, - кут між сторонами  і ,  - радіус вписаного кола,   - радіус описаного кола,  – півпериметр трикутника.

Приклади розв’язаних завдань

Задача 1: Одна із сторін трикутника на 7 см менша за другу і у 2 рази менша за третю. Знайти сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 47 см. Розв’язання: Позначимо довжину однієї сторони трикутника –  см, тоді довжину другої дорівнюватиме ( ) см, а третьої – см. За умовою . Розв’язавши це рівняння, дістанемо (см). Отже, довжина однієї сторони трикутника дорівнює 10 см, другої – 17 см, третьої – 20 см. Відповідь: 10 см, 17 см, 20 см. Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 735; Мы поможем в написании вашей работы! Поделиться с друзьями: ⇐ Предыдущая123Следующая ⇒ Мы поможем в написании ваших работ! . . © 2014-2024 — Студопедия.Нет — Информационный студенческий ресурс. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав (0.047)