Основные принципы и предположения

Курс «Техническая механика» и ее место среди других дисциплин

Техническая механика – это комбинированный курс. Он включает себя некоторые разделы сопротивления материалов и строительной механики стержневых систем. Знакомство с курсом позволит иметь самое начальное представление о расчетах элементов строительных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость, что будет полезно в дальнейшем при изучении принципов проектирования строительных конструкций. Изучение технической механики в строительных ВУЗах имеет свою специфику, связанную с наличием строительных норм, которые были переработаны и актуализированы в последние годы. Строительные Нормы и Правила (СНиПы) были переименованы в Своды Правил (СП) и актуализированы. Изменен базовый ГОСТ «Надежность строительных конструкций и оснований», в котором изложены основные положения расчета строительных конструкций по предельным состояниям.

Строительные конструкции должны быть функциональны, то есть они должны нести возложенные на них функции и иметь все необходимые для эксплуатации свойства.

Чтобы конструкция была функциональной в течение запланированного срока её эксплуатации, нужно обеспечить её прочность, жесткость и устойчивость.

Прочностью называется способность конструкции не разрушаться под действием нагрузок.

Жесткостью называется способность конструкции сопротивляться деформированию.

Устойчивостью называется способность конструкции сохранять первоначальную форму равновесия.

Различают абсолютно твердое тело и деформируемое твердое тело.

Теоретическая механика, на которой базируется техническая механика, изучает тела, которые не деформируются. Такие тела называют абсолютно твердыми.

Сопротивление материалов и строительная механика изучают деформируемые твердые тела, являясь разделами большого и важного научного направления – механики деформируемого твердого тела. Поддеформациями понимают изменения формы и объема твердого тела.

Все тела можно разделить на три группы:

1) массивные или трехмерные тела, три размера которых соизмеримы;

2) двумерные тела, один размер которых (толщина) намного меньше двух других размеров (пластины и оболочки);

3) одномерные тела, один размер которых (длина) намного больше двух других (такие элементы конструкций называют стержнями или брусьями).

В сопротивлении материалов рассматривают одномерные тела, т.е. стержни.

Конструкции, состоящие из стержней (рамы, фермы), изучают в строительной механике стержневых систем.

Расчет пластин, оболочек и массивных тел рассматривается в теории упругости, которая в настоящем курсе не изучается.

 

 

Расчетные схемы

Сложные реальные конструкции, как правило, заменяют более простыми, идеализированными объектами (моделями), которые называют расчетными схемами. Искусство проектировщика состоит в том, чтобы построение модели не привело к существенным ошибкам. Выявляются и учитываются наиболее существенные факторы, влияющие на работу конструкции. Следует, однако, отдавать себе отчет, что процесс идеализации приводит к погрешностям расчета. Опыт проектировщика должен позволить ему построить расчётную схему таким образом, чтобы ошибки были минимальными. В настоящее время получили распространение расчетные компьютерные комплексы систем автоматического проектирования. Инженеру все меньше приходится прибегать к ручному счету. Однако, как правило, подготовка расчетной схемы для компьютерного расчета происходит в ручном режиме, а оценка его результатов производится по формулам сопротивления материалов и строительной механики.

Резюмируя сказанное, отметим, что расчеты в технической механике, которые проводятся по достаточно простым формулам с использованием упрощающих гипотез, являются приближенными. Ошибка может иногда достигать 10-15%. Далее будет показано, что такая погрешность будет нивелирована введением нескольких коэффициентов запаса на каждом этапе расчета. Такой подход обеспечивает примерно двойной запас прочности, жесткости и устойчивости конструкции, поглощая погрешности, полученные в ходе ее идеализации.

Процесс построения расчетной схемы применительно к стержням и стержневым системам, касается:

· формы и размеров;

· вида и способа приложения нагрузок, а также их величины;

· способов закрепления;

· материала.

Форма и размеры стержня.Учитывая, что длина стержня намного превышает его поперечные размеры, на расчетной схеме обычно показывают только линию, совпадающую с осью стержня, и форму его поперечного сечения.

Ось стержня представляет собой линию, которая соединяет центры тяжести его поперечных сечений. Поперечным сечением называется фигура, получаемая пересечением стержня плоскостью, перпендикулярной оси стержня.

Рис. 1.1. Общий вид стержня (а) и его представление в расчетной схеме

На рис. 1.1,а показан реальный вид прямого стержня, показаны поперечные сечения, их центры тяжести C и проходящая через них ось.

На рис. 1.1, б представлен его вид в расчетной схеме. Начало осей координат О совместим с центром тяжести крайнего левого поперечного сечения. Ось прямолинейного стержня совпадает с осью Оx,а в плоскости поперечного сечения для осей будем использовать обозначения Оу и Оz. В дальнейшем, иногда, для краткости изложения, вместо Оx, Оу и Оz будут использоваться обозначения x, у и z соответственно.

Виды и способы приложения нагрузок. В подавляющем большинстве задач будем рассматривать стержни, находящиеся в состоянии равновесия. На стержень извне воздействуют внешние силы, которые уравновешиваются реактивными усилиями, возникающими в местах закрепления стержней. Реакции опор также относят к внешним силам. Внешние силы в строительстве называют нагрузками.

Нагрузки бывают поверхностными и объемными.

Поверхностные нагрузкиприложены к поверхности тела.

Объемные силы (нагрузки) приложены к каждой частице тела. Примером таких сил может являться собственный вес тела (гравитационные силы).

Нагрузки бывают сосредоточенными (приложенными к точке) и распределенными.

Сосредоточенные нагрузки– это сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты (пары сил)(для простоты их обычно называют силы и моменты). Сосредоточенные силы и моменты являются упрощением (схематизацией) реально действующих нагрузок.

Сосредоточенная сила вводится там, где площадка, на которую она действует, мала по сравнению с размерами стержня. Например, контакт колеса вагона с рельсом происходит по такой малой площадке, что можно ее считать точкой, а силу сосредоточенной (т.е. приложенной в точке). Такой подход приведет к существенным упрощениям расчета рельсового пути. Однако надо при этом понимать, что давление колеса на рельс при такой идеализации будет бесконечным. На самом деле площадь контакта колеса и рельса достаточно мала, но является конечной величиной.

Сосредоточенные моменты, как правило, не существуют сами по себе. Обычно, сосредоточенный момент – это результат приведения системы сил к некоторой точке. Моменты измеряются в единицах силы, умноженных на единицу длины, например, в кН·м.

Распределенные нагрузки наиболее часто встречаются в строительстве. Нагрузки от собственного веса, снеговая нагрузка, гидростатическое давление и др. На рис. 1.2 кроме сосредоточенных сил и сосредоточенного момента показаны также распределенные по длине нагрузки q, которые могут быть равномерными или неравномерными. Интенсивность распределенной нагрузки q измеряется в единицах силы, деленных на единицу длины, например, в кН/м.

Для распределенной нагрузки определяется ее равнодействующая и точка ее приложения. Для нагрузки q1 равнодействующая равна P1 = q1·l1, т.е. площади изображенного на рисунке прямоугольника. Точка приложения силы P1 находится в центре тяжести условного прямоугольника, или в середине участка длины l1. Для нагрузки q2 равнодействующая может быть вычислена как площадь трапеции, для чего необходимо знать, чему равна нагрузка в начале и в конце участка длины l2. Точка приложения силы P2 будет проходить через центр тяжести трапеции.

Рис. 1.2. Виды нагрузок

 

Нагрузки также различаются по способу их приложения.

Первое существенное различие нагрузок по способу их приложения зависит от того, будут ли учитываться силы инерции. Различают статические и динамические нагрузки.

Нагрузки называются статическими, если они не изменяются во времени или изменяются очень медленно. Силы инерции в таком случае можно не учитывать. Такой, например, можно считать снеговую нагрузку или нагрузку от собственного веса.

При больших скоростях изменения нагрузок они называются динамическими, например, при ударе. При рассмотрении этих нагрузок нужно учитывать влияние сил инерции. Расчеты на прочность при динамических нагрузках существенно отличаются от расчетов при статических нагрузках.

Второе существенное различие по способу приложения нагрузок заключается во времени их действия. Нагрузки делят на постоянные и временные. Постоянные нагрузки действуют на конструкцию постоянно, а временные нагрузки действуют, время от времени. Например, при расчете опор моста вес самого моста – постоянная нагрузка, а вес движущегося состава и ветровые нагрузки являются временными нагрузками. Величина постоянных нагрузок, как правило, определяется с большой точностью, а временные нагрузки прогнозируются сложнее. Поэтому при расчетах на прочность эти два типа нагрузок учитываются по-разному.

 

Способы закрепления стержней.В соответствии с одной из аксиом статики связи могут быть отброшены и заменены опорными реакциями. Рассмотрим основные опоры и опорные реакции.

 

Свободное опирание.Этот вид опоры редко встречается при расчете строительных конструкций, однако будет полезен для расчета устойчивости, например, строительных машин – кранов, экскаваторов и др. Возможны следующие основные варианты данного вида опирания (рис. 1.3)

Рис 1.3. Варианты свободногоопирания

а)Опирание тела углом на гладкую поверхность. Реакции R1 и R2 направлены перпендикулярно касательным к гладким поверхностям (рис. 1.3, а).

б) Опирание тела гладкой поверхностью на угол. Реакции R1иR2направлены перпендикулярно касательным к гладким поверхностям (рис. 1.3,б).

в) Опирание тела с гладкой поверхностью на гладкую поверхность. Реакция R направлена перпендикулярно общей касательной соприкасающихся поверхностей (рис. 1.3,в).

Гибкая нерастяжимая нить.Реакции R1 и R2 направлены вдоль нити и приложены в точках крепления (рис. 1.4). В строительстве это тросы, канаты, цепи и др. Подразумевается, что гибкая нить работает только на растяжение, что очевидно.

Рис 1.4. Гибкая нерастяжимая нить Рис. 1.5. Жесткий стержень

 

 

Жесткий стержень. В некоторых случаях расчетная схема конструкции содержит прямой стержень с шарнирами на концах. Он может работать как на сжатие, так и на растяжение. Конструкция шарнира может быть различной, например, в случае деревянного стержня, роль шарниров могут играть одиночные гвозди, которыми стержень крепится по концам к строительной конструкции. Реакция направлена вдоль жесткого стержня и приложена в точке крепления (рис. 1.5).

 

Жесткая заделка (жесткое защемление), показанная на рис. 1.6,а, обеспечивает стержню, заделанному в стену или другое массивное тело, отсутствие линейных и угловых перемещений, то есть заделанный конец стержня не может перемещаться по какой-то линии и поворачиваться. Расчетная схема жестко защемленного стержня показана на рис. 1.6,б. На ней изображают только ось стержня, то есть линию, соединяющую центры тяжести всех поперечных сечений. Если сечение, например, прямоугольное, то центры тяжести расположены на пересечении диагоналей прямоугольника.

В заделке возникает одна наклонная реакция и реактивный момент. Наклонную реакцию разложим на две проекции: H – в горизонтальном направлении (назовем ее горизонтальной реакцией) и R – в вертикальном направлении (вертикальная реакция). Вектор реактивного момента направлен на нас (из плоскости чертежа) и проецируется в точку. Модуль его обозначим М и изобразим в виде части окружности со стрелкой

Линейные перемещения будем обозначать: u – вдоль оси x и v – вдоль оси y, а угловые перемещения (углы поворота сечений) – буквой j.В жесткой заделке имеем следующие кинематические условия: u = 0; v =0;j = 0.

Рис 1.6. Жесткая заделка

 

Статические условия в жесткой заделке: H ¹ 0, R ¹ 0, М ¹ 0 (т.е. в жесткой заделке имеются три опорные реакции горизонтальная H, вертикальная R,а также реактивный момент М).

 

Температурная (скользящая) заделка.Представлена на рис. 1.7 (на левом конце балки). Заделанный конец (т. А) имеет возможность перемещения вдоль оси балки, что исключает появление горизонтальной реакции. Нагрев балки с двумя заделками, одна из которых скользящая, не приводит к появлению сжимающих напряжений, т.е. балка свободно удлиняется и со стороны опор на нее при этом не оказывается никакого давления. Кинематические условия в температурной заделке: u ¹ 0; v = 0; j = 0. Статические условия в температурной заделке: RA ¹ 0, HA = 0, М A ¹ 0.

Рис 1.7. Температурная (скользящая) заделка

 

Шарнирно-неподвижная опора.Такое опорное закрепление характерно тем, что разрешен только угол поворота, а горизонтальное и вертикальное перемещения запрещены. Эта опора обозначается двумя короткими стержнями с шарнирами по концам(рис. 1.8). Кинематические условия в шарнирно-неподвижной опоре: u = 0; v = 0; j ¹ 0 Статические условия в шарнирно-неподвижной опоре: R ¹ 0, H ¹ 0, М = 0 (имеются две опорные реакции).

Шарнирное закрепление. Этот вид опоры, показанный на рис. 1.9, имеет те же кинематические и статические условия, что и шарнирно-неподвижная опора, изображенная на рис. 1.8. Эти две опоры полностью эквивалентны.

 

Рис 1.8. Шарнирно неподвижная опора. Рис 1.9. Шарнирное закрепление

 

Шарнирно-неподвижную опору иногда называют неподвижным цилиндрическим шарниром (подшипником), а ее, в учебниках для механических специальностей часто изображают, как на рис. 1.10. Такую опору образует подшипник (рис. 2.10,а), внутрь которого вставлен стержень. Подшипник жестко закреплен к неподвижной части конструкции. Нагружение стержня происходит перпендикулярно его оси.

 

Рис 1.10. Другие изображения шарнирно-неподвижной опоры

 

Реакция со стороны шарнира направлена по нормали к оси стержня, а ее разложение по осям координат приводит к появлению двух ее составляющих R ¹ 0 и H ¹ 0. Иногда такую опору изображают в виде треугольников(рис. 1.10 б, в), жестко соединенных с основанием. Естественно, что никакого подшипника в строительных конструкциях не существует. Такая опора может быть принята, например, когда железобетонная балка лежит на колонне, а ее нижняя закладная деталь точечно приварена к закладной детали колонны.

Шарнирно-подвижная опора.Эта опораможет быть назначена, если стержень закрепить таким образом, чтобы разрешить ему горизонтальное перемещение и угол поворота и запретить вертикальное перемещение. Будем обозначать такую опору в виде короткого стержня с двумя шарнирами по концам (рис. 1.11). Кинематические условия в шарнирно-подвижной опоре: v = 0, и 0, j 0 (запрещено только вертикальное перемещение, стержень на этой опоре может перемещаться горизонтально и поворачиваться). Статические условия в шарнирно-подвижной опоре: R ¹ 0, H = 0, М = 0 (возникает только одна опорная реакция по направлению опорного стержня).

 

Рис. 1.11. Шарнирно-подвижная опора Рис. 1.12. Другие обозначения шарнирно-подвижной опоры

 

Шарнирно-подвижную опору иногда называют подвижным цилиндрическим шарниром. Это цилиндрический шарнир, поставленный на тележку с катками, которая имеет возможность перемещения по горизонтальной поверхности. Кстати, похожую тележку можно реально увидеть среди опор металлического моста. Другие обозначения шарнирно-подвижной опоры, встречающиеся в различной технической литературе, представлены на рис. 1.12. Когда железобетонная балка просто лежит на колонне, можно принять в расчетной схеме такой тип опоры, с некоторыми оговорками.

Анализируя условия закрепления реального объекта необходимо определить в каком направлении и каким образом может перемещаться его закрепленная часть. От этого зависит, какой вид опоры надо назначить для формирования расчетной схемы.

 

Материал стержня.Из курсов физики и материаловедения известно, что строительные материалы (металлы, бетон, дерево и др.) имеют разную и сложную структуру. Мы не будем рассматривать поведение материалов на микроуровне (т.е. на уровне атомов и молекул). Принимается, что мы имеем дело с неким идеализированным материалом, который обладает определенными свойствами, а они, в свою очередь, могут быть сформулированы в виде следующих гипотез(допущений) о свойствах материалов:

 

1. Гипотеза сплошности. Материал считается сплошным, т.е. не содержащим пустот и включений.

2. Гипотеза однородности. Материал считается однородным. Это означает, что во всех точках тела физико-механические свойства одинаковы. Заметим, что по своей природе многие материалы в действительности являются неоднородными, например, бетон, состоящий из цементного камня, песка и щебеня; стеклопластики и т.д. Но в этих случаях, условно считая материалы всё же однородными, их наделяют некими осредненными свойствами.

3. Гипотеза изотропности. Принимается, что материал является изотропным, т.е. обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях. Тела, не отвечающие данной гипотезе, называются анизотропными. Примером анизотропного материала является дерево, у которого прочность вдоль и поперек волокон различна.

4. Гипотеза об абсолютной упругости. Материал считается абсолютно упругим, т.е. деформации (изменения формы и размеров) тела полностью исчезают после снятия нагрузок. Проявление упругихсвойствдемонстрируют, например, стальная пружина или теннисный мяч. Пластические свойства (когда форма и размеры не восстанавливаются) проявляет пластилин. Многие строительные материалы обладают одновременно упругими и пластическими свойствами; такие деформации называют упруго-пластическими, и расчеты конструкций с учетом такой реальной работы материала достаточно сложны и имеют свои особенности.

5. Гипотеза о линейной зависимости между нагрузками и деформациями.Это допущение означает, что деформации прямо пропорциональны прикладываемым нагрузкам. Тела, подчиняющиеся этой гипотезе, называютсялинейно деформируемыми.

В некоторых задачах, рассматриваемых ниже, будут учитываться отличия конкретного материала от идеализированного материала (для которого справедливы перечисленные пять гипотез).

 

Основные принципы и предположения

Кроме некоторых упрощений при построении расчетных схем, описанных в предыдущем разделе, в технической механике вводятся дополнительные принципы, ограничения и гипотезы.

 

Принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). Суммарный эффект воздействия группы нагрузок равен сумме эффектов от воздействия каждой нагрузки в отдельности. На рис. 1.13 показана балка, нагруженная двумя сосредоточенными силами. Согласно рассматриваемому принципу прогиб в любой точке балки можно вычислить, просуммировав прогибы, которые возникают в этой точке от действия отдельных сил и :

vC = v1 + v2.

Данный принцип можно использовать только в тех случаях, когда деформации тела прямо пропорциональны приложенным нагрузкам.

Рис. 1.13. К принципу суперпозиции

 

Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными его оси после деформации. Эта гипотеза используется во всех задачах сопротивления материалов. Гипотеза основана на результатах опытов. Так, при изгибе стержня проведенные по вертикальной поверхности прямые (рис. 1.14,а), перпендикулярные его оси будут оставаться прямыми, поворачиваться на какой-то угол, оставаясь при этом к ней перпендикулярными (рис. 1.14,б).

Рис. 1.14. Иллюстрация гипотезы плоских сечений

 

Применение этой гипотезы при выводе расчетных формул приводит к линейному распределению нормальных напряжений по сечению стержня. На самом деле в местах приложения нагрузок сечения немного искривляются, чем объясняются небольшие погрешности в расчетах.

 

Принцип Сен-Венана Напряженно-деформированное состояние стержня зависит от способа приложения нагрузок только вблизи места их приложения.

На рис. 1.15 показан стержень, растягиваемый силой F двумя способами. В первом случае (рис. 1.15, а) сила приложена в центре торцевого сечения. При этом торцевое сечение как бы «выпучивается». Продольные волокна в средней области стержня будут растягиваться больше, чем волокна, находящиеся ближе к краям. По мере удаления от торцов форма искривления сечения становится более пологой, и, наконец, на некотором расстоянии от торца сечение становится плоским.

Рис. 1.15. Иллюстрация принципа Сен-Венана

Во втором случае (рис. 1.15, б) две силы величиной F/2 приложены по краям сечения. Равнодействующая этих сил равна F и, как и в первом случае, проходит через центр сечения. Искривление торцевого сечения характеризуется тем, что крайние продольные волокна растягиваются сильнее, чем центральные. Однако на некотором расстоянии от торца сечение также становится плоским, то есть влияние характера приложения сил ослабевает, а затем затухает. В инженерных расчетах считают, что это расстояние примерно равно размерам поперечного сечения ( ). Учитывая, что для стержней характерно соотношение , можно считать, что в данном примере деформированное состояние не зависит от способа приложения силы F (исключая малую зону вблизи нагрузки). Принцип Сен-Венана позволяет проводить расчеты, не вдаваясь в детали способа приложения нагрузок. Однако надо всегда помнить о «возмущениях» напряженно-деформированного состояния вблизи мест приложения нагрузок и, по-возможности, учитывать этот факт в реальном проектировании.

В рассмотренном примере речь шла о деформациях. Напряжения также подчиняются принципу Сен-Венана. Понятие о напряжениях и деформациях будет дано позже.

Гипотеза о малых перемещениях. В сопротивлении материалови строительной механике рассматриваются малые перемещения. Предполагается, что перемещения точек стержня при любых видах нагружения сравнимы с размерами его поперечного сечения, т.е. намного меньше длины стержня.

 

 

Напряжения и деформации

Напряжения.Мысленно рассечем тело на две части В и С (рис. 1.16, а). Мы не будем рассматривать тело на микроуровне, т.е. не будем изучать силы взаимодействия атомов и молекул. На каждой малой площадке сечения тела плоскостью (рис. 1.16, б) действует некая сила DF, являющаяся эквивалентом межатомных и межмолекулярных сил.

Рис. 1.16. Полные, нормальные и касательные напряжения

 

Предел отношения при называется полным напряжением на площадке с нормалью n и обозначается :

 

  (1.1)

 

где – нормаль к рассматриваемой площадке.

Спроецировав полное напряжение на нормаль к площадке и на плоскость сечения, получим, соответственно, нормальное – sn и касательное – tn напряжения (рис. 1.16, б).

Если, например, площадка перпендикулярна оси х, то на плоскости Оуz нормальное и касательное напряжения будут иметь обозначения sx и tx (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Напряжения на площадке Oyz

Заметим, что индекс у нормального напряжения соответствует направлению нормали к площадке. Спроецировав напряжение tx на оси Оу и Оz, получим составляющие касательного напряжения txy и txz , при этомпервый индекс у касательного напряжения обозначает нормаль к площадке, на которой оно действует, а второй – направление этого напряжения. Отметим, что в литературе в равной степени встречаются и другие обозначения индексов у касательных напряжений, когда первый индекс обозначает направление касательного напряжения, а второй индекс – нормаль к площадке, на которой оно действует. Эти обозначения полностью эквивалентны. В соответствии с принятыми нами обозначениями напряженное состояние на площадке Оуz описывается тремя напряжениями (sx, txy и txz).

Вырежем вокруг некоторой точки тела элементарный параллелепипед, грани которого равны dx, dy, dz и перпендикулярны осям координат (рис. 1.18). На каждой грани (площадке) будут действовать по три составляющие полного напряжения – одно нормальное и два касательных напряжения (напряжения на невидимых гранях не показаны).

 

Рис. 1.18. Напряжения вблизи точки тела

 

В дальнейшем будет показано, что касательные напряжения с одинаковыми индексами равны по величине, т.е. txy = tyx, txz = tzx и tyz = tzy. Таким образом, в общем случае, напряженное состояние в точке тела описывается шестью напряжениями – тремя нормальными и тремя касательными.

Для каждого материала существуют свои предельные значения нормального и касательного напряжений (назовем их опасными), которые данный материал может выдержать, не разрушаясь. Значения опасных напряжений определяются экспериментально в лабораториях. Если вычислить путем расчета наибольшие напряжения в конструкции, то, сопоставляя их с опасными напряжениями, можно оценить её прочность.

Деформации.Словом,«деформации» обозначаются два понятия. С одной стороны, это явление, заключающееся в изменении размеров и формы тела под действием приложенных к нему нагрузок. С другой стороны, деформациями называются величины, определяющие меру изменения размеров и формы тела. В механике рассматривают два вида деформаций: линейные деформации, определяющие изменение размеров, и угловые деформации, описывающие изменение формы тела.

Любая точка твердого тела при его деформировании перемещается. Пусть, до приложения нагрузок точка была в положении А, после деформации тела она оказалась в положении В. Отрезок АВ имеет длину и направление. Он называется вектором полного перемещения. Как и любой другой вектор, он может быть разложен по координатным осям. Приняты следующие обозначения этих проекций (обычно они называются также перемещениями): и – вдоль оси х, v – вдоль оси у и w – вдоль оси z.

Линейные деформации.На рис. 1.19, а показано перемещение отрезка АВ, направленного вдоль произвольной оси s. Длина отрезка до деформации равна . После деформации отрезок переместится в новое положение , его длина изменится и будет равной . Изменение длины отрезка равно . Эта величина называется абсолютным удлинением (укорочением) отрезка, или абсолютной деформацией.

Рис. 1.19. К определению линейных деформаций

 

Согласно определению относительной линейной деформацией называется величина

  . (1.2)

Как видно из формулы (1.2), относительные линейные деформации являются безразмерными величинами. Изменение размеров элементарного параллелепипеда, показанного на рис. 1.18, определяется тремя линейными деформациями, и . Эти величины являются функциями координат, т.е. . Рассмотрим связь между линейными деформациями и перемещениями на примере деформации отрезка, первоначальное положение которого параллельно оси х (рис. 1.19, б). Начальная длина отрезка АВ равна dx, а после деформации dx1. При этом перемещение точки А в горизонтальном направлении равно и, а точки В . Если пренебречь наклоном отрезка А1В1 к оси х, изменение его длины будет равно:

 

.

В соответствии с формулой (1.2) получим:

 

  .  

Данное равенство называетсясоотношением Коши для линейных деформаций.

 

  . (1.3)

 

Если известна функция , то перемещения можно вычислить путем интегрирования

 

  . (1.4)

Угловые деформации. Угловые деформации определяют изменение формы тела. Рассмотрим два бесконечно малых взаимно перпендикулярных отрезка АВ и АС, параллельных осям и (рис. 1.20). В деформированном состоянии эти отрезки перемещаются и поворачиваются относительно начального состояния.

Рис. 1.20. К определению угловых деформаций

Угловой деформацией называется величина, на которую изменяется первоначально прямой угол. Для рассматриваемого случая угловая деформация обозначается и будет равна . Индексы у угловой деформации указывают, между какими направлениями происходит изменение угла. Изменение углов между двумя другими парами направлений определяет еще две угловые деформации и . Так же как и линейные деформации, угловые деформации – безразмерные величины и являются функциями координат, т.е. . В итоге следует заключить, что деформированное состояние в точке тела определяется шестью деформациями – тремя линейными ( ) и тремя угловыми ( , , ).

Совокупность шести напряжений и шести деформаций во всех точках тела называется напряженно-деформированным состоянием тела.

 

Внутренние усилия в стержнях

Внутренними усилиями называются шесть результирующих, к которым сводятся напряжения, действующие в поперечных сечениях стержней. Используя декартову систему координат, начало которой совпадает с центром тяжести сечения, а ось Ох направлена перпендикулярно сечению, в соответствии с рис. 1.21, заметим, что в таком сечении будут действовать три напряжения: и (эти напряжения показаны приложеннымик бесконечно малой площадке dA).

Рис. 1.21. К определению внутренних усилий

 

Вычислим составляющие главного вектора и главного момента, к которым приводятся указанные напряжения, и укажем их названия. Все шесть внутренних усилий показаны на рис. 1.22.

 

Рис. 1.22. Внутренние усилия в поперечном сечении стержня

нормальная (продольная) сила; поперечные (перерезывающие) силы; изгибающие моменты; крутящий момент. (1.5)

 

Название силы N соответствует её физическому смыслу – она действует вдоль нормали к сечению и вдоль оси стержня, и поэтому её называют нормальная или продольная сила.

Силы Qy и Qz действуют перпендикулярно оси стержня («поперек оси»), как бы перерезывая стержень. Отсюда соответствующие названия: поперечные или перерезывающие силы по осям y и z, соответственно.

Названия моментов соответствуют виду деформирования стержня – изгиб и кручение. Изгибающие моменты относительно осей y и z обозначаются My и Mz. Момент относительно оси x Mx иногда обозначают Мк и называют крутящим моментом, где индекс «к» указывает на кручение стержня.

При растяжении или сжатии в поперечных сечениях возникают только продольные силы N. При изгибе в поперечных сечениях могут возникать две поперечные силы и два изгибающих момента . В некоторых случаях (при так называемом плоском прямом изгибе) в сечениях возникают только два усилия, например и ). При кручении стержней отличными от нуля будут только крутящие моменты . Таким образом, вид деформирования стержня можно определить, как по виду (способу приложения) нагрузок, так и по внутренним усилиям, возникающим в стержне. Поскольку напряжения являются функциями от координат, в том числе от х, внутренние усилия также зависят от х. Графики функций внутренних усилий называются их эпюрами.

Вычисление внутренних усилий и построение их эпюр является начальным этапом решения любой задачи технической механики. По эпюрам находят сечения, где внутренние усилия достигают наибольших значений. Эти сечения называются опасными, именно в них может начаться разрушение при превышении допустимых нагрузок.

 

 


Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 860; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:




Мы поможем в написании ваших работ!