Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП

ГЛАВА 2 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Лекция 7 ФНП, предел непрерывность, частные производные

Что главное мы узнали на прошлой лекции

Были изучены несобственные интегралы, тем самым была завершена глава об интегрировании.

Что мы узнаем на этой лекции

Мы вспомним некоторые понятия векторной алгебры и аналитической геометрии, например, n-мерное евклидово пространство. Это поможет ввести понятие функции нескольких переменных. Будут рассмотрены понятия: окрестность точки n-мерного евклидова пространства, последовательность точек, предел последовательности. Это поможет ввести понятия предела и непрерывности функции двух и нескольких переменных, частные и полные приращения функции двух и нескольких переменных, частные производные.

1.Евклидово пространство

Вспомним некоторые важные понятия, изученные в 1 семестре. Мы познакомились с векторами на плоскости и в пространстве. Векторы на плоскости обладают рядом важных свойств. Для них введены операции сложения векторов и умножения вектора на число. Результатом этих операций являются вектора на плоскости, причем справедливы следующие 8 свойств: 1) - коммутативность, 2) - ассоциативность, 3) - существование нулевого элемента, 4) существование противоположного элемента , 5) ,
6) дистрибутивность для числовых коэффициентов,
7) - дистрибутивность для векторов, 8) .

Определение 1. Множество элементов произвольной природы называется векторным пространством или линейным векторным пространством, если для этих элементов введены операции сложения и умножения на действительное число, причем для этих операций справедливы 8 свойств, указанных для операций с геометрическими векторами.

Пусть заданы векторы , ,…, векторного пространства и числа , ,…, . Величина

(1)

называется линейной комбинацией заданных векторов , ,…, . При этом числа , ,…, называются коэффициентами линейной комбинации (1). Очевидно, что линейная комбинация векторов равна (нулевому вектору), если все коэффициенты линейной комбинации равны 0.

Определение 2. Система векторов , ,…, называется линейно независимой системой векторов, если из равенства ее линейной комбинации следует, что все коэффициенты этой линейной комбинации равны 0.

Определение 3. Линейно независимая система векторов линейного векторного пространства , ,…, называется базисом этого векторного пространства, если каждый его вектор является линейной комбинацией векторов , ,…, . При этом коэффициенты этой линейной комбинации определяются однозначно и называются координатами вектора в этом базисе.

Мы знаем, что для геометрических векторов справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1) ,

2) ,

3) ,

4) , .

Определение 4. Пусть в линейном векторном пространстве введена операция, ставящая в соответствие двум векторам число. Такое соответствие, удовлетворяющее условиям 1) – 4) называется скалярным произведением векторов и обозначается символом или .

Определение 5. Линейное векторное пространство с введенным скалярным произведением называется евклидовым пространством .

Можно доказать, что элементов базиса линейного векторного пространства не зависит от выбора базиса. Это число и называется размерностью такого пространства. Линейное пространство может быть бесконечно мерным.

Отметим, что -мерные векторные и евклидовы пространства обозначаются соответственно символами и .

Мы знаем, что наиболее удобными базисами на плоскости и в пространстве являются системы взаимно перпендикулярных векторов единичной длины. Евклидовы пространства замечательны тем, что при наличии произвольного базиса из векторов можно с помощью разрешенных линейных операций создать ортонормированный базис.

Определение 6. Базис в евклидовом линейного векторного пространства , ,…, называется ортонормированным базисом, если

Функции многих переменных. Предел и непрерывность ФМП

Под функцией мы понимаем отображение одного множества на другое. До сих пор мы рассматривали функцию вида , которая реализовывала отображение множества на оси абсцисс (область определения функции) на множество на оси ординат (множество значений функции ).

Под функцией нескольких переменных мы будем понимать отображение множества в -мерном евклидовом пространстве (область определения функции) на множество на оси (множество значений функции). Тем самым функция нескольких переменных может быть записана в виде , где - элемент евклидова пространства. Можно использовать запись .

Изучая функцию одной переменной , мы изучали числовые последовательности, предел числовой последовательности, предел функции, непрерывность функции, точки экстремума функции.

Наша цель – построить и изучить аналогичную теорию для ФМП. Этот раздел посвящен вопросам, связанным с пределами и непрерывностью функций.

Давайте вспомним, что такое предел функции одной переменной. Предел функции (по Коши) при , стремящимся к , равен , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки до не равной ей точки меньше , то модуль разности чисел и меньше наперед заданного числа ( ).

Для того, чтобы дать это и аналогичные определения для ФМП, надо ввести расстояние между точками – аргументами ФНП (=ФМП). Это делают следующим образом. Пусть начало координат с ортонормированным базисом находится в точке и заданы две точки и . Рассмотрим векторы , и определим скалярное произведение этих векторов формулой . Несложно проверить, что все свойства скалярного произведения выполнены. Именно так и принято вводить скалярное произведение в евклидовом пространстве.

При наличии скалярного произведения, которое гарантированно есть в евклидовом пространстве, можно ввести длину вектора и расстояние между точками евклидова пространства, что позволяет обобщить понятия предела последовательности, предела функции, непрерывности функции на случай ФНП.

Длиной вектора мы назовем квадратный корень из его скалярного квадрата, т. е. . Расстоянием между точками и равно длине вектора , их соединяющего, т.е. .

Заметим, что это определение обобщает обычное расстояние между точками на плоскости и в пространстве, известные нам из школы.

Пример 1. Расстояние между точками и на плоскости равно длине вектора , их соединяющего, т.е. . Расстояние между точками и в пространстве равно длине вектора , их соединяющего, т. е. .

Сформулируем определение предела для последовательности точек в евклидовом пространстве.

Определение 6. Пусть задана последовательность точек , ,…, ,…. Мы будем говорить, что число является пределом этой последовательности, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется номер , зависящий от , такой что при выполнении условия выполнено условие . ( ).

Пример 2. Заметим, что условию удовлетворяют точки -окрестности точки . В одномерном случае для функции одной переменной окрестностью точки на оси является интервал длины . Для плоскости – пространства размерности 2 такой -окрестностью является внутренность круга радиуса . Для реально пространства – пространства размерности 3 такой -окрестностью является внутренность шара радиуса .

Сформулируем определение предела для ФНП.

Определение 7. Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что число является пределом этой функции, т. е. , если для каждого, сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число , обладающее следующим свойством. Если расстояние от точки до не равной ей точки меньше , то модуль разности чисел и меньше . Формально это записывается в виде: .

Это определение соответствует определению предела функции одной переменной по Коши, которое эквивалентно определению предела функции по Гейне. Формулировка определения предела функции по Гейне, которая сохраняется для функции нескольких переменных, заключается в записи . Смысл этого в том, что означает с учетом области определения, что из того, что предел последовательности аргументов равен , следует, что предел соответствующих значений функции равен .

Перейдем к определению непрерывности ФНП. Здесь полностью сохраняются формулировки определения непрерывности для функции одной переменной. Функция непрерывна в точке, если предел функции при подходе к этой точке равен значению функции в этой точке. Запишем это формально.

Определение 8. Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства. Мы будем говорить, что функция непрерывна в точке , если .

Соответственно функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 3. Найдите пределы функций: а) , б) и исследуйте функции в) , г) на непрерывность.

Докажем, что не существует. В самом деле, пусть мы приближаемся к предельной точке по прямой . На этой прямой значение функции равно , т. е. во всех точках, кроме предельной, равно . Эта величина зависит от , следовательно, не существует.

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 300; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!