Сравнение средних значений двух выборок
Параметрические критерии.
Критерий Фишера.
Этот параметрический критерий служит для проверки нулевой гипотезы о равенстве дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей.
При малых объемах выборок применение критерия Стьюдента может быть корректным только при условии равенства дисперсий. Поэтому прежде чем проводить проверку статистической гипотезы по критерию Стьюдента, необходимо убедиться в возможности его использования.
Экспериментальное значение критерия вычисляется по формуле:
где n1, n2 - объемы выборок, 
- числа степеней свободы для этих выборок.
Сравниваем 
с табличным (критическим) значением, которое находим в таблице критерия Фишера для заданного уровня значимости ά и числа степеней свободы n1 и n2.
При пользовании таблицами следует обратить внимание, что число степеней свободы для выборки с большей по величине дисперсией выбирается как номер столбца таблицы, а для меньшей по величине дисперсии как номер строки таблицы.
Если 
Н0 принимаем.
Вывод: дисперсии двух генеральных совокупностей можно считать равными.
Если 
Н0 отвергаем.
Вывод: дисперсии двух генеральных совокупностей не равны.
Пример. Изучали влияние пищевых добавок на массу тела лабораторных животных. Опыт проводился на двух группах животных: опытной и контрольной. В опытной группе животные получали пищевую добавку к рациону. За время опыта прибавки в весе составили в граммах:
|
|
|
| X: Опыт | Y: Контроль |
| 580 | 500 |
| 690 | 560 |
| 700 | 420 |
| 619 | 621 |
| 703 | 580 |
| 560 | 530 |
| 450 |
ДЛЯ 
Вывод: дисперсии двух генеральных совокупностей можно считать равными.
Таблица критерия Фишера (a=0,05)
| n2 | Число степеней свободы n1 | |||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 1 | 161 | 200 | 216 | 225 | 230 | 234 | 237 | 239 | 241 | 242 |
| 2 | 18,51 | 19,0 | 19,2 | 19,3 | 19,3 | 19,3 | 19,6 | 19,4 | 19,4 | 19,4 |
| 3 | 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,88 | 8,84 | 8,81 | 8,78 |
| 4 | 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,09 | 6,04 | 6,00 | 5,96 |
| 5 | 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,88 | 4,82 | 4,78 | 4,74 |
| 6 | 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,21 | 4,15 | 4,10 | 4,06 |
| 7 | 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,79 | 3,73 | 3,68 | 3,64 |
| 8 | 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,50 | 3,44 | 3,39 | 3,35 |
Критерий Стьюдента.
Параметрический критерий , который используют для проверки статистических гипотез по выборкам, распределённым по нормальному закону Гаусса.
|
|
|
Используется:
1). Для определения достоверности среднего арифметического, полученного для одной выборки.
2). Для определения достоверности различия средних арифметических двух выборок.
3). Для определения достоверности корреляции двух случайных величин.
Проверка достоверности полученного среднего арифметического.
Определяется, существенны ли различия между 
-- среднего значения для выборки и М[X] -- мат. ожидания генеральной совокупности.
Н0: М[X]=0, то есть не достоверно.
где 
ошибка среднего арифм-го.
Число степеней свободы 
Находим из таблицы критерия Стьюдента для и заданного ά, 
если 
Н0 принимаем. Вывод: недостоверно
если 
Н0 отвергаем. Вывод: достоверно
Пример:
Измерена некоторая случайная величина Х. Получены следующие результаты: 15,18,13,14
По критерию Стьюдента проверить, достоверно ли полученное значение среднего арифметического. PD=0,95.
Выдвигаем нулевую гипотезу: 
Находим из таблицы критерия Стьюдента для 
и 
так как 
Н0 отвергаем. Вывод: достоверно
Сравнение средних значений двух выборок.
Имеем две выборочные совокупности:
X{x1, x2, … xn1}иY{y1, y2, … yn2}
n1 –объём первой выборки, n2– объём второй выборки.
|
|
|
Н 
0: М[X]=M[Y] или M[X]-M[Y]=0, т.е. обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, то есть различия между выборками не достоверны. Задаём уровень значимости ά.
ошибка разности средних арифметических 
.
Число степеней свободы 
Если 
, 
Находим из таблицы критерия Стьюдента для 
и заданного ά, .
если Н0 принимаем
Вывод: обе выборки принадлежат одной генеральной совокупности, различия между выборками не достоверны.
если Н0 отвергаем
Вывод: обе выборки не принадлежат одной генеральной совокупности, различия между выборками достоверны.
Пример:
Исследовалось влияние лекарственного препарата на величину некоторого параметра.
| Опыт X | Контроль Y |
| 160 | 180 |
| 120 | 160 |
| 140 | 220 |
| 180 | 180 |
| 130 | 160 |
| 160 | 200 |
| 170 |
По критерию Стьюдента для уровня значимости ά=0,05 проверить , эффективен ли препарат.
Выдвигаем нулевую гипотезу:
=
Находим из таблицы критерия Стьюдента для 
и заданного ά=0,05, 
Вывод: 
Непараметрические критерии.
Непараметрические критерии сравнивают сами значения выборок (варианты), они используют ранги.
|
|
|
Ранг -- это место по возрастанию.
Если встречается несколько одинаковых значений, то их ранг = среднему арифметическому рангов. Число рангов=n -- количество значений для которых расставляем ранги.
Пример:
| X | Ранг | |
| 5 | 7 | |
| 3 | 4 | |
| 2 | 2,5 | Ранг «2»= 
|
| 5 | 7 | Ранг «5»= 
|
| 8 | 9 | |
| 9 | 10 | |
| 5 | 7 | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 2,5 | |
| 4 | 5 | |
| N=10 |
Критерий Вилкоксона.
Работает с так называемыми сопряжёнными вариантами, когда варианты из двух выборок измеряются парами (например, значению xi до воздействия препарата соответствует yi после воздействия).
Итак, имеем две выборки одинакового объёма n1=n2=n :
X{x1, x2, … xn}– контроль
Y{y1, y2, … yn}– опыт
Нас интересует достоверно ли различие между выборками, то есть принадлежат ли XиY одной генеральной совокупности для заданного уровня значимости ά.
Алгоритм проверки статистической гипотезы:
1). Н0: различие между выборками не достоверно.
2). Вычислить разности: 
. Если 
=0, то i-ю строку вычеркнуть и n=n-k -- количество вычеркнутых строк.
3). Расставить ранги для разностей, знак разности не учитываем. То есть расставляем ранги для 
.
4). Подсчитать суммы рангов, учитывая знаки разностей:
R+ -- сумма рангов для >0
R- -- сумма рангов для <0
5). 
, то есть выбираем меньшее из двух чисел.
6).Определить по таблице критерия Вилкоксона для α и числа степеней свободы=n Ткрит.
7). Если Тэксп ≤Ткрит то Н0 отвергаем.
если Тэксп>Ткрит то Н0 принимаем.
8). Записать вывод.
Пояснения: считается, что если различия между выборками не достоверны, (то есть верна гипотеза Н0), то R+и R-не сильно отличаются друг от друга. В таблице содержатся критические значения для меньшей суммы рангов и если Тэксп<Ткрит ,
то различия велики и гипотезу Н0 следует отвергнуть.
Пример: Достоверны ли различия между выборками для уровня значимости α=0,05? Н0: Различия между выборками не достоверны.
| № | Контроль Х | Опыт Y | Разности
| Ранг разности |
| 1 | 32 | 21 | 11 | 7 |
| 2 | 31 | 19 | 12 | 8 |
| 3 | 29 | 27 | 2 | 2,5 |
| 4 | 28 | 29 | -1 | 1 |
5 
| 30 | 30 | 0 | |
| 6 | 27 | 29 | -2 | 2,5 |
| 7 | 29 | 22 | 7 | 6 |
| 8 | 33 | 27 | 6 | 5 |
| 9 | 26 | 21 | 5 | 4 |
n=9-1=8 R-=1+2,5=3,5 R+=7+8+2,5+6+5+4=32,5
Следовательно Тэксп=3,5.
По таблице для n=8 и α=0,05 находим: Ткрит=4.
Н0 отвергаем.
Вывод:Различия между выборками достоверны.
Критерий Манна-Уитни.
Этот непараметрический критерий можно использовать для двух выборок как одинаковых, так и разных объёмов. Объём меньшей выборки обозначают n1.
То есть, если 
Обе выборки объединяют в один ряд и ранги расставляют для всех n1+ n2 чисел.
Алгоритм проверки статистической гипотезы:
1). Н0: различие между выборками не достоверно.
2). Расставить ранги для всех n1+ n2 значений.
3). Вычислить:
где 
-- сумма рангов для первой выборки,
-- сумма рангов для второй выборки.
4) . 
5).
а). Если 
,то в таблице для 
по 
и 
находим число -- это вероятность Р, которая позволяет судить о правомерности гипотезы Н0.
если 
принимаем,
если 
отвергаем. Где α -- заданный уровень значимости.
в). Если 
,то существует другая таблица. В ней для и находим 
.
Если Uэксп ≤Uкрит то Н0 отвергаем.
если Uэксп˃Uкрит то Н0 принимаем.
6). Записать вывод.
Пример 1: даны две выборки. По критерию Манна-Уитни проверить, достоверны ли различия между выборками для уровня значимости α=0,05?
| 1-я выборка | Ранг | 2-я выборка | Ранг |
| 1 | 1 | 3 | 2 |
| 5 | 3 | 8 | 5 |
| 7 | 4 | 10 | 7 |
| 9 | 6 | 12 | 8 |
| 13 | 9 | ||
| n1=4 | R1=14 | n2=5 | R2=31 |
Н0: Различия между выборками не достоверны.
n1+ n2 =4+5=9
R1=1+3+4+6=14 
R2=2+5+7+8+9=31 
В таблице для n2=5,находим для n1=4 и 
Н0 принимаем.
Вывод:Различия между выборками не достоверны.
| N1(N2=5) | |||||
| U | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 0 | 0.167 | 0.047 | 0.018 | 0.008 | 0.004 |
| 1 | 0.333 | 0.095 | 0.036 | 0.016 | 0.008 |
| 2 | 0.500 | 0.190 | 0.071 | 0.032 | 0.016 |
| 3 | 0.667 | 0.286 | 0.125 | 0.056 | 0.028 |
| 4 | 0.429 | 0.196 | 0.095 | 0.048 | |
| 5 | 0.571 | 0.286 | 0.143 | 0.075 | |
| 6 | 0.393 | 0.206 | 0.111 | ||
| 7 | 0.500 | 0.278 | 0.155 | ||
| 8 | 0.607 | 0.365 | 0.210 | ||
| 9 | 0.452 | 0.274 | |||
| 10 | 0.548 | 0.345 | |||
| 11 | 0.421 | ||||
| 12 | 0.500 | ||||
Пример 2: Изучалось действие различных лекарственных препаратов на двух группах животных. Получены следующие результаты:
| 1-я группа | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | |||
| 2-я группа | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 8 | 9 | 10 | 12 |
По критерию Манна-Уитни для уровня значимости a=0,05 выяснить, значима ли разница между действием этих препаратов.
Н0: Различия между выборками не достоверны, то есть разница между действием препаратов не значима.
| 1-ая группа | Ранг | 2-ая группа | Ранг | |
| 1 | 1 | 3 | 5 | |
| 2 | 2,5 | 3 | 5 | 
|
| 2 | 2,5 | 4 | 8 | |
| 3 | 5 | 4 | 8 | 
|
| 4 | 8 | 5 | 10,5 | |
| 5 | 10,5 | 8 | 12 | 
|
| 9 | 13 | |||
| 10 | 14 | 
| ||
| 12 | 15 | |||
| 
| 
| 
|
По таблице критических значений критерия Манна-Уитни для уровня значимости a=0,05.
Н0 отвергаем.
Вывод: разница между действием препаратов значима.
Контрольные вопросы.
Критерий Фишера.
Критерий Стьюдента.
Критерий Вилкоксона.
Критерий Манна-Уитни..
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 314; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!