Приложения тройного интеграла
Тройные интегралы
I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
II. Замена переменных в тройном интеграле
1. Цилиндрические координаты 2. Сферические координаты.
Пример1. Пример 2.
Тройные интегралы имеют те же свойства, что и двойные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.)
I. Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.
Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда
Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.
Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь
где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.
Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.
2. Пусть область T заключена между плоскостями x = a и x = b, причём каждое сечение области T плоскостью представляет собой квадрируемую фигуру G(x)(рис. 1). Тогда
3. Пусть теперь тело T представляет собой "цилиндрический брус", ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z1(x, y) и z = z2(x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z1(x, y) и z2(x, y) - непрерывны в G. Тогда
|
|
Если G = {(x, y): a x b, y1(x) y y2(x)}, то
Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.
II. Замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам
Если выполняются условия
1?. Отображение (6) взаимно однозначно;
2?. Функции в (6) непрерывно - дифференцируемы в области
3?. Якобиан отображения
то имеет место формула
Формулы (6) называют криволинейными координатами (u, v, w) в области T. Рассмотрим примеры криволинейных координат.
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения (8)
2. Сферические координаты.Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел , где r - расстояние точки M до точки 0, - угол между лучами OM и OZ, - полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M.
|
|
Они связаны с прямоугольными формулами
Якобиан отображения . Иногда используются обобщённые сферические координаты.
Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой
Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах
Пусть T - материальное тело (кубируемая область) с плотностью
Тогда
- масса тела.
Пример1.Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 - ax = 0. (рис. 5)
Решение. Рассмотрим одну четвёртую часть тела, лежащёю в первом октанте. Часть поверхности вырезанная цилиндром, проектируется в область . Тогда
Перейдём в интеграле к цилиндрическим координатам по формулам (8). При этом уравнение окружности x? + y? - ax = 0 преобразуется в кривую а уравнение поверхности - к виду
Таким образом
Пример 2. Вычислить интеграл
где T - область, ограниченная поверхностями
Решение. Перейдём в интеграле к сферическим координатам по формулам (9). Тогда область интегрирования можно задать неравенствами
|
|
А, значит,
Приложения тройного интеграла
Объем тела
Масса тела
( - плотность тела).
Координаты центра масс
Моменты инерции
Относительно координатных плоскостей:
Относительно координатных осей:
Относительно начала координат:
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 711; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!