Если множество А и В составлены из одних и тех же элементов, то они равны
Если для каждого x, то А=В.
II. A Аксиома суммы. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются множества A и все элементы множества B и которое никаких других элементов не содержит.
III. B Аксиома разности. Для произвольных множеств A и B существует множество, элементами которого являются те и только те множества A, которые не являются элементами множества B.
IV. C Аксиома существования. Существует по крайней мере одно множество.
Из аксиом J и A следует, что для произвольных множеств А и В множество, удовлетворяющее условиям аксиомы А, единственно. В самом деле, если бы были два таких множества С1 и С2, то они оба содержали ли бы одни и те же элементы (все элементы множества А, и все элементы, принадлежащие В), и поэтому, согласно аксиоме J, было бы С1 = С2.
О п р е д е л е н и е 1. Это единственное множество, удовлетворяющее условиям аксиомы А, назовем суммой (или объединением) множеств А и В и будем обозначать символом . Для производных х и производных множеств А и В верны эквиваленты.
⇋
(1)
О п р е д е л е н и е 2. Подобным образом из аксиом J и B заключаем, что для произвольных множеств А и В существует в точности одно множество, содержащее элементы множества А, не принадлежащее множеству В.
Это множество называется разностью множеств А и В и обозначается символом А–В. (А\В)
⇋
(2)
Из закона де Моргана и закона двойного отрицания следует также, что
|
|
(3)
то есть x не принадлежит разности , если х не принадлежит А или принадлежит В.
С помощью операций и \ можно определить еще две операции на множествах.
О п р е д е л е н и е 3. Произведение (пересечение) множеств А и В определяем по формуле
⇋
Из определения разности имеем для произвольного х
,
откуда по (3) и первому закону дистрибутивности
О п р е д е л е н и е 4. Симметрическую разность двух множеств А и В определяем как
Включение. Пустое множество.
О п р е д е л е н и е 5. Множество A называется подмножеством множества В, если каждый элемент подмножества А принадлежит множеству В. В этом случае мы пишем или и говорим, что множество А содержится в В. Отношение называется отношением включения.
Свойства включения.
Из определения следует:
(1)
Очевидно, что из следует , но не обратно. Если и , то А – собственное подмножество множества В.
Далее , потому что по определению
, откуда следует, что и А=В в силу аксиомы J.
Отношение включения транзитивно:
(2)
Сумма двух множеств содержит каждое слагаемое:
(3)
Произведение двух множеств содержится в каждом сомножителе:
|
|
(4)
В самом деле, из закона , следует, что для каждого x
и, согласно (1) из §2 , , а, следовательно, по (1) .
Второе утверждение в (3) доказывается аналогично.
Для доказательства (4) нужно использовать закон .
Из (2) §2 следует включение
Отношение включения можно определить при помощи отношения равенства и одной из операций .
(5)
В самом деле, если , то для каждого x и тогда в силу закона имеем:
, откуда
,
что доказывает, что .
С другой стороны, , значит .
Обратно, если , то, согласно (3), . Вторая часть формулы (5) доказывается аналогично.
Из аксиомы разности (аксиома B §2) следует, что, если существует хотя бы одно множество А, то существует множество А – А, не содержащего ни одного элемента. Такое множество единственно.
В самом деле, если бы было два таких множества , то для каждого x эквивалентность
была бы истинна, так как оба ее члена ложны. Тогда в силу аксиомы J.
Единственное множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством ( ).
Для каждого x
или
Поскольку импликация с ложной посылкой истинна, для каждого x верна импликация.
Таким образом, пустое множество является подмножеством любого множества.
|
|
Из формулы (1) §2 следует, что
так как . Отсюда заключаем, что , а из закона
.
Равенство означает, что множества А и В не имеют общих элементов, то есть не пересекаются.
Равенство означает, что .
Роль пустого множества в теории множеств аналогична роли числа нуль в алгебре. Без множества 0 операции умножения и вычитания множеств не всегда были бы выполнимы, что в последствии привело бы к значительным трудностям при вычислениях.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 277; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!