Арифметические операции в двоичной системе счисления
Пример 1.Найдите X, если Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания: Согласно распределительному закону для логического сложения: Согласно закону исключения третьего и закона исключения констант: Полученную левую часть приравняем правой: X = В. Окончательно получим: X = В. Пример 2.Упростите логическое выражение Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходного и полученного логического выражения. Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону де Моргана) и закону двойного отрицания: Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения: Согласно закону противоречия: Согласно закону идемпотентности Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный)закон и группируя слагаемые, получаем: Согласно закону исключения (склеивания) Подставляем значения и получаем: Согласно закону исключения констант для логического сложения и закону идемпотентности: Подставляем значения и получаем: Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического умножения: Согласно закону исключения третьего: Подставляем значения и окончательно получаем: 2. Логические основы компьютера Дискретный преобразователь, который после обработки входных двоичных сигналов выдаёт на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется логическим элементом. Ниже приведены условные обозначения (схемы) базовых логических элементов, реализующих логическое умножение (конъюнктор), логическое сложение (дизъюнктор) и отрицание (инвертор). Рис. 3.1. Конъюнктор, дизъюнктор и инвертор Устройства компьютера (сумматоры в процессоре, ячейки памяти в оперативной памяти и др.) строятся на основе базовых логических элементов. Пример 3. По заданной логической функции F(A, В) = =B&АÚB&A построить логическую схему. Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе логической схемы должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые в свою очередь подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов). Пример 4. Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить логические функции F1(X,Y) и F2(X,Y), которые реализуются на ее двух выходах. Функция F1(X,Y) реализуется на выходе первого конъюнктора, то есть F1(X,Y) = X&Y. Одновременно сигнал с конъюнктора подается на вход инвертора, на выходе которого реализуется сигнал X&Y, который, в свою очередь, подается на один из входов второго конъюнктора. На другой вход второго конъюнктора подается сигнал Xv Y с дизъюнктора, следовательно, функция F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Рассмотрим схему сложения двух n-разрядных двоичных чисел. При сложении цифр i-ro разряда складываются ai и bi, а также Pi-1 — перенос из i-1 разряда. Результатом будет st — сумма и Pi — перенос в старший разряд. Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор — это устройство с тремя входами и двумя выходами. Пример 3.15. Построить таблицу истинности одноразрядного двоичного сумматора, воспользовавшись таблицей сложения двоичных чисел. Триггер. Для хранения информации в оперативной памяти компьютера, а также во внутренних регистрах процессора используются триггеры. Триггер может находиться а одном из двух устойчивых состояний, что позволяет запоминать, хранить и считывать 1 бит информации. Самый простой триггер — .RS-триггер. Он состоит из двух логических элементов ИЛИ-НЕ, которые реализуют логическую функцию F9 (смотри таблицу 3.1). Входы и выходы элементов соединены кольцом: выход первого соединен со входом второго и выход второго — со входом первого. Триггер имеет два входа S (от англ. set — установка) и Я (от англ. reset — сброс) и два выхода Q (прямой) и Q (инверсный). Рис. 2 Логическая схема RS-триггера Пример 3.16. Построить таблицу, описывающую состояние входов и выходов RS-триггера. Если на входы поступают сигналы R = 0 и S = 0, то триггер находится в режиме хранения, на выходах Q и Q сохраняются установленные ранее значения. Если на установочный вход S поступает на короткое время сигнал 1, то триггер переходит в состояние 1 и после того, как сигнал на входе S станет равен 0, триггер будет сохранять это состояние, то есть будет хранить 1. При подаче 1 на вход R триггер перейдет в состояние 0. Подача на оба входа S и R логической единицы может привести к неоднозначному результату, поэтому такая комбинация входных сигналов запрещена. Задания для самостоятельного выполнения 1. Существуют 16 логических функций от двух переменных (смотри таблицу 3.1). Постройте их логические схемы с помощью базовых логических элементов: конъюнктора, дизъюнктора и инвертора. 2. Доказать, что рассмотренная в примере 3.10 логическая схема является одноразрядным двоичным полусумматором (не учитывается перенос из младшего разряда). 3. Доказать, построив таблицу истинности, что логическая функция Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) определяет перенос в старший разряд при сложении двоичных чисел (А и В — слагаемые, Ро — перенос из младшего разряда). 4. Доказать, построив таблицу истинности, что логическая функция S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) определяет сумму при сложении двоичных чисел (А и В — слагаемые, Ро — перенос из младшего разряда). 5. Построить логическую схему одноразрядного двоичного сумматора. Какое количество базовых логических элементов необходимо для реализации 64-разрядного сумматора двоичных чисел? 6. Какое количество базовых логических элементов образуют оперативную память современного компьютера объемом 64 Мбайта? 1. Запишите в развернутом виде числа: а)A8=143511; г)А10=143,511; 6)А2=100111; д)А8=0,143511; в)А16=143511; е)А1е=1АЗ,5С1. 2. Запишите в свернутой форме следующие числа: а)А10=9-101+1*10+5'10-1+3-10~2; б)А16=А-161+1-16°+7-16"1+5-16~2. 3.Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления: а)А10=А,234; в) А16=456,46; б)А8=-5678; г)А2=22,2? 4. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления. 5. Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018 1010116? 6. Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, то есть с нее будет начина ться запись нового числа, то это новое число будет на единицу боль ше утроенного исходного числа. Найдите исходное число. 2.22.Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место спра ва, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число. 2.23.Какое из чисел 1100112, 1114, 358 и 1В16 является: а) наибольшим; б) наименьшим? 2.27.Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12g, 1116 и 110112? 2.28.Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифра ми в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счис ления? 2.29.«Несерьезные» вопросы. Когда 2x2=100? Когда 6x6=44? Когда 4x4=20? 2.30. Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам: а) [1011012; 1100002]; б) [148; 208]; в) [2816; 3016]. 2.31.В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе? 2.32.В классе 36д учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников? 2.33.В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья? 2.34.Было 100q яблока. После того как каждое из них разрезали попо лам, стало 1000q половинок. В системе счисления с каким основа нием вели счет? 2.35.У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Стар ший учится в 1001 классе. Может ли такое быть? 2.36.Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколь ко дней понадобилось, чтобы заполнить листьями половину пру да? Сколько листьев было после девятого дня?. 2.37.Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную систему счисления следующие числа: а) 5; в) 12; д) 32; б) 7; г) 25; е) 33. Проверить правильность перевода с помощью программы Advanced Converter. 2.3. Перевод чисел из одной системы счисления в другую 2.3.1. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием р в систему с основанием q: 1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие дейст вия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно выполнять деление данного числа и по лучаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя. 3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа б но вой системе счисления, привести в соответствие с алфави том новой системы счисления. 4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка. Пример 2.12.Перевести десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления: ■ Получаем: 17310=2558. Пример 2.13.Перевести десятичное число 17310 в шестнад-цатеричную систему счисления: - Получаем: 17310=AD16. Пример 2.14.Перевести десятичное число 1110 в двоичную систему счисления. Получаем: 111O=10112. Пример 2.15.Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 36310 в двоичное число. 2.3.2. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую Можно сформулировать алгоритм перевода правильной дроби с основанием р в дробь с основанием q: 1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие дейст вия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. 3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в со ответствие с алфавитом новой системы счисления. 4. Составить дробную часть числа в новой системе счисле ния, начиная с целой части первого произведения. Пример 2.16. Перевести число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления. Пример 2.17. Перевести число 0,6562510 в шестнадцатерич-ную систему счисления. Пример 2.18. Перевести десятичную дробь 0,562510 в двоичную систему счисления. Пример 2.19.Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.710. Очевидно, что этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,710. Так, за четыре шага мы получаем число 0,10112,а за семь шагов число 0,10110012,которое является более точным представлением числа 0,710 в двоичной системе счисления, и так далее. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа. 2.3.3. Перевод произвольных чисел Перевод произвольных чисел, то есть чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой. Пример 2.20.Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления. Переводим целую часть: Переводим дробную часть: Пример 2.21. Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему. 2.3.4. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2п и обратно Перевод целых чисел- Если основание q-ичной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-ичной системы счисления в двоичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2", нужно: 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по п цифр в каждой. 2. Если в последней левой группе окажется меньше п разря дов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2п. Пример 2.22. Число 1011000010001100102 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628. Пример 2.23. Число 10000000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F8716. Перевод дробных чисел. Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2", нужно: 1. Двоичное число разбить слева направо на группы по п цифр в каждой. 2. Если в последней правой группе окажется меньше п раз рядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2п. Пример 2.24.Число 0,101100012 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428. Пример 2.25. Число 0,1000000000112 переведем в шестнад-цатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,80316. Перевод произвольных чисел. Для того чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q — 2n, нужно: [ 1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа на лево, а дробную — слева направо на группы по п цифр в каждой. 2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2п. Пример 2.26.Число 111100101,01112 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34S. Пример 2.27.Число 11101001000,110100102 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D216. Перевод чисел из систем счисленияс основанием q = 2пв двоичную систему.Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q = 2 , перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления. Пример2.28. Переведем шестнадцатеричное число 4АС351б в двоичную систему счисления. В соответствии с алгоритмом: i Получаем: 10010101100001101012. Задания для самостоятельного выполнения 2.38. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же целое число должно быть записано в различных системах счисления. 2.39. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же дробное число должно быть записано в различных системах счисления. 2.40. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же произво льное число (число может содержать как целую, так и дробную часть) должно быть записано в различных системах счисления. 2.4. Арифметические операции в позиционных системах счисления
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Арифметические операции в двоичной системе счисления.
 |
Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Арифметические операнды располагаются в верхней строке и в первом столбце таблиц, а результаты на пересечении столбцов и строк:
Сложение.Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1 + 1, происходит перенос в старший разряд.
 |
Пример 2.29.Рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:
Вычитание. При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак. В таблице вычитания 1 с чертой означает заем в старшем разряде.
 |
Пример 2.30. Рассмотрим несколько примеров вычитания двоичных чисел:
Умножение. Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
 |
Пример 2.31. Рассмотрим несколько примеров умножения двоичных чисел:
Вы видите, что умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.
 |
Пример 2.32. Рассмотрим пример деления двоичных чисел:
 |
Сложение в других системах счисления. Ниже приведена таблица сложения в восьмеричной системе счисления:
 |
Задания для самостоятельного выполнения 2.41. Выполните арифметические операции:
 |
2.42. Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:
 |
2.43. Какое число следует за каждым из данных;
 |
Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления. 2.44. Какое число предшествует каждому из данных:
2.45. Выпишите целые числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:
а) [1011012; 1100002] в двоичной системе;
б) [148; 208] в восьмеричной системе;
в) [2816; 3016] в шестнадцатеричной системе.
Ответ для каждого числа запишите в указанной и десятичной системах счисления.
 |
2.46. Вычислите выражения:
 |
2.47. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:
2.48.Сумму восьмеричных чисел 178 + 17008 + 1700003 + 170000008 +
+ 17000000008 перевели в шестнадцатеричную систему счисления.
Найдите в записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.
2.49.
 |
Восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, в
следующих примерах на сложение и вычитание, определив внача
ле, в какой системе изображены числа.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 857; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!