Задания к лабораторной работе

Лабораторная работа №3. Решение уравнений и систем уравнений в среде MathCad

Теоретическая часть.

Решение уравнений с одним неизвестным.

Любое такое уравнение выглядит следующим образом

f(x) = g(x)

Его можно преобразовать так, чтобы получилось равенство с нулём в правой части

f(x) - g(x) = 0

Решение даётся встроенной функцией root:

root(f(x) - g(x),x)

Например, рассмотрим уравнение:

cos(x) = x + .2

Чтобы решить его в Mathcad, напишите:

x := 1<--- Начальное приближение к корню

root(cos(x) - x - .2,x) =

Решение уравнений в символьном виде

Команда Решить относительно переменной используется, чтобы написать формулу в виде зависимости от одной переменной,найти точное решение уравнения, выражающееся через рациональные числа и константы p и e, найти численное решение с высокой точностью.

Чтобы решить уравнение, нужно:

Ввести левую часть уравнения.

- Ввести знак равенства сочетанием клавиш Ctrl+=.

- В оставшееся поле ввода ввести правую часть уравнения.

- Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение.

- Выбрать команду Решить относительно переменной.

По окончании решения корни уравнения выводятся в виде вектора. Если в уравнении присутствуют числа с десятичными дробями, то Mathcad выведет ответ в виде десятичных чисел, в противном случае он попытается найти точное решение.

Неравенства решаются точно таким же образом, за исключением того, что вместо знака равенства Ctrl+= нужно использовать знаки неравенства >, <, Ctrl+( или Ctrl+).

Вычисление корней полинома

polyroots(v) Возвращает вектор, содержащий все корни многочлена, коэффициенты которого задаются вектором v.

Аргументы:

- v есть вектор, содержащий коэффициенты полинома, расположенные в порядке возрастания степеней.

Решение системы линейных уравнений.

solve(A,b) Возвращает вектор решений системы линейных уравнений Ax = b.

Аргументы:

- A есть квадратная невырожденная матрица.

- b есть вектор с тем же числом строк, что и у матрицы A.

Решение системы нелинейных уравнений

Приведённый ниже пример иллюстрирует решение системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными.

x:=1 y:=1

Given

x²+y²=6

x+y=2

Find(x,y)=…

Численное дифференцирование

Возвращает производную f(x), вычисленную в точке x.

Операнды:

- f(x) должна быть гладкой скалярной функцией,

- x есть точка, в которой ищется значение производной.

Нужно вначале определить точку, в которой ищется значение производной:

x:=13

Заметьте, что в данном примере возвращается производная f, вычисленная при том значении x , которое было ранее присвоено переменной x. Хотя в данном примере используется функция одной переменной, f может быть функцией любого числа переменных. Если функция f имеет несколько слагаемых, заключите их в скобки перед применением оператора дифференцирования.

Символьное дифференцирование

Существует два способа найти символьное выражение для производной:

1)Ввести выражение, подлежащее дифференцированию, выделить переменную и выбрать команду Дифференцировать по переменной.

2)Ввести ? для того, чтобы создать оператор дифференцирования, после чего ввести выражение, подлежащее дифференцированию, и переменную дифференцирования в соответствующие поля ввода, а затем вычислить выражение символьно.

Для того, чтобы вычислить производные высших порядков, нужно ввести сочетание клавиш Ctrl+Shift+?, создающее оператор дифференцирования высших порядков, а затем заполнить соответствующие поля ввода и вычислить выражение символьно.

Символьные и численные производные Mathcad являются частными производными: переменные, отличные от переменной дифференцирования, считаются постоянными.

Численное интегрирование

Возвращает значение определённого интеграла функции f(x) по отрезку от a до b.

Операнды:

- f есть скалярная функция, определённая на отрезке [a,b].

- x есть переменная интегрирования.

- a и b должны быть вещественными скалярами, а f может принимать комплексные значения.

- если a и b являются размерными величинами, их размерность должна быть одинаковой.

Например,

Символьное интегрирование

Существует два способа вычислить неопределенный интеграл от некоторого выражения:

1)Выделить переменную интегрирования, а затем команду Интегрировать по переменной.

2)Ввести Ctrl+I для того, чтобы создать оператор вычисления неопределенного интеграла, заполнить поля ввода для подинтегрального выражения и переменной интегрирования и вычислить выражение символьно.

Чтобы вычислить определенный интеграл, нужно ввести & для того, чтобы создать оператор интегрирования, заполнить поля ввода и вычислить выражение символьно.

Если пределами интегрирования являются символьные выражения или числа без десятичных точек, то Mathcad попытается найти точное символическое или численное значение интеграла.

Если в подинтегральном выражении присутствуют десятичные числа, то Mathcad вырабатывает 20-значное приближенное значение интеграла, если он существует.

Если символьной процессор не может найти ни неопределенный интеграл ни точное численное значение определенного интеграла, то выдаётся сообщение "Интеграл не найден". Если требуется только численное значение определенного интеграла, то следует использовать процедуру численного интегрирования: выделить оператор интегрирования с заполненными ролями и ввести =.

Задания к лабораторной работе.

1. Найти корни уравнения с одним неизвестным

1.1.

1.2. 3x6

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

2. Найти решение уравнения в символьном виде. Проверьте правильность решения.

2.1 x³-4x²+6x-24=0

2.2 sin(x)-4cos(x)+3sin(2x)+4=0

2.3 x³-8x+15=0

2.4 2x³+3x²-12x-8=0

2.5 2sin(x)-1.5+x²=0

2.6 e^x-2(1-x)²=0

2.7 x=0.5cos(x)-0.3

2.8 x³+0.5x²-2.91x+1.15=0

3. Вычислить корни полинома

3.1 2x⁶-5x⁵-4x⁴+18x³-x²+26=0

3.2 x⁶+x⁵-14x⁴+21x³-2x²-17=0

3.3 5x⁶-2x⁵+2x⁴-4x³-4x²+45=0

3.4 3x⁶-15x⁵-24x⁴+11x³+16x²+36=0

3.5 x⁶+x⁵-15x⁴+11x³-17x²+38=0

3.6 2x⁶-5x⁵-4x⁴+18x³-x²+26=0

3.7 4x⁶+x⁵-14x⁴-21x³-3x²-1=0

3.8 3x⁶+2x⁵-23x⁴-17x³+6x²-43=0

4. Решить систему линейных уравнений

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

5. Решить систему нелинейных уравнений

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

6. Найти производную в точке x=0.41

6.1

6.2

6.3

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

7. Найти значение определенного интеграла

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

Содержание отчета

Постановка задачи, описание основных функций среды MathCad, используемых для решения линейных и нелинейных уравнений,систем уравнений, результаты выполнения, выводы.

Контрольные вопросы

1. Какие виды уравнений и систем уравнений могут быть решены с помощью среды MathCad.

2. Как найти корень нелинейного уравнения. Почему при нахождении корня необходимо задать начальное приближение?

3. Каким образом можно найти все корни линейного уравнения.

4. Как найти все корни полинома.

5. Как выполняется численное интегрирование и дифференцирование в среде MathCad.

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 142; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

Мы поможем в написании ваших работ!