Основные понятия системного анализа: система, элемент системы, связи, цели

Міністерство освіти і науки України

Донбаський державний технічний університет

Факультет гірництва

 

Кафедра вищої математики

 

 

ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ ТА ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ

 

 

Лектор:                                                                          Шифр

Сухініна О.А.

 

Контрольна робота

з дисципліни «Основи системного аналізу»

варіант №

студента групи ПГС -04

Прізвище Ім’я По батькові

 

Домашня адреса: Донецька обл.

м.Єнакієве, вул.   , буд. кв.

 

2006

 

 

Задание 1.

Для приведенного графа структурной схемы построить матрицу смежностей, найти изолированные, висячие вершины и тупики.

 

Изолированные вершины – 2

Висячие вершины – 5

Тупиковые вершины – 4, 6

Построим матрицу смежностей для приведенного графа структурной схемы.

 

Задание 2.

 

Для сравнительного оценивания четырех конструкций балок (A, B, C, D) эксперт провел попарные сравнения и дал такие оценки в виде утверждений:

1.  Модель B значительно превосходит модель С.

2.  Модель А умеренно уступает модели B .

3.  Преимущество модели B над моделью D находится между значительным и очень большим.

4.  Недостаток модели A перед моделью D существенный.

5.  Модель С очень сильно превосходит  модель D.

6.  Недостаток модели A перед моделью С находится между умеренным и существенным.

Необходимо построить матрицу попарных сравнений.

 

 

.

A=

 

 

Задание 3.

Семье со средним достатком необходимо приобрести дом. В результате анализа определились следующие критерии, которые необходимо при этом учесть: престижность района, стоимость, общая площадь, внутренняя отделка, подводящие коммуникации, кровля, сантехника, окна. Дальнейшее рассмотрение позволило выбрать в качестве кандидатов три модели дома и представить задачу в виде иерархии .

 

 

После анализа первичное множество критериев было сокращено до следующих существенных: Q₁ – престижность района; Q₂ – общая стоимость; Q₃ – стоимость; Q₄ – подводящие коммуникации; Q₅ – кровля; Q₆ – окна.

Путем опроса членов семьи построена матрица попарных сравнений для второго уровня (табл. 1).

После этого, сравнивая попарно три дома (А, В, С) по каждому критерию (уровень 3), получим шесть матриц (для каждого из критериев) размером 3×3

Необходимо рассчитать локальные векторы приоритетовы, индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы попарных сравнений критериев (табл.1) и матриц попарных сравнений критериев (табл.2).

 

Табл. 1

	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6
Q1	1	1/3	1/2	1/5	1/4	1/9
Q2	3	1	2	6	7	8
Q3	2	1/2	1	1/6	1/9	1/3
Q4	5	1/6	6	1	2	5
Q5	4	1/7	9	1/2	1	8
Q6	9	1/8	3	1/5	1/8	1

 

Табл. 2

Q1	A	B	C	Q2	A	B	C	Q3	A	B	C
A	1	3	9	A	1	1/8	1/6	A	1	1/2	5
B	1/3	1	5	B	8	1	1/4	B	2	1	1/9
C	1/9	1/5	1	C	6	4	1	C	1/5	9	1
Q4	A	B	C	Q5	A	B	C	Q6	A	B	C
A	1	1/9	1/7	A	1	1/3	1/7	A	1	2	8
B	9	1	1/5	B	3	1	9	B	1/2	1	1/6
C	7	5	1	C	7	1/9	1	C	1/8	6	1

 

 

Решение.

Локальные приоритеты вычисляются по формуле:

Индекс согласованности рассчитаем по формуле:

Отношение согласованности:

Для =1,24, =0,58.

Расчет согласованности матрицы критериев произведем в следующей таблице:

 

	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6
Q1	1	1/3	1/2	1/5	1/4	1/9	0,0009	0,3122	0,0366	0,8782
Q2	3	1	2	6	7	8	2016,0	3,5543	0,4166	0,9448
Q3	2	1/2	1	1/6	1/9	1/3	0,0062	0,4283	0,0502	1,0793
Q4	5	1/6	6	1	2	5	50,000	1,9194	0,2250	1,8148
Q5	4	1/7	9	1/2	1	8	20,5714	1,6553	0,1940	2,0345
Q6	9	1/8	3	1/5	1/8	1	0,0844	0,6623	0,0776	1,7422
Σ	24,0	2,267	21,500	8,0667	10,4861	22,4444	2086,6	8,5317		8,4938

 

Индекс согласованности

=0,4987

Отношение согласованности

=0,4022

Рассчитаем локальные векторы приоритетов, индекс согласованности и отношение согласованности для матриц попарных сравнений критериев.

 

Q1	A	B	C			Вектор приоритетов,
A	1	3	9	27	3	0,672	0,970126
B	1/3	1	5	1,666667	1,185631	0,265	1 1/9
C	1/9	1/5	1	0,022222	0,281144	0,063	0,944118
	1,444444	4,2	15		4,466775		3,029064

 

Индекс согласованности 0,0145

Отношение согласованности 0,0250

 

Q2	A	B	C			Вектор приоритетов,
A	1	1/8	1/6	0,020833	0,275161	0,062	0,933892
B	8	1	1/4	2	1,259921	0,285	1 1/2
C	6	4	1	24	2,884499	0,653	0,924607
	15	5,125	1,416667		4,419581		3,319518

 

Индекс согласованности 0,1597

Отношение согласованности 0,2754

 

Q3	A	B	C			Вектор приоритетов,
A	1	1/2	5	2,5	1,357209	0,427	1,366021
B	2	1	1/9	0,222222	0,605707	0,191	2
C	1/5	9	1	1,8	1,21644	0,383	2,338147
	3,2	10,5	6,111111		3,179356		5,704549

 

Индекс согласованности 1,3522

Отношение согласованности 2,3315

 

Q4	A	B	C			Вектор приоритетов,
A	1	1/9	1/7	0,015873	0,251316	0,053	0,901568
B	9	1	1/5	1,8	1,21644	0,257	1 4/7
C	7	5	1	35	3,271066	0,690	0,926934
	17	6,111111	1,342857		4,738823		3,397204

 

Индекс согласованности 0,1986

Отношение согласованности 0,3424

 

Q5	A	B	C			Вектор приоритетов,
A	1	1/3	1/7	0,047619	0,36246	0,085	0,931099
B	3	1	9	27	3	0,701	1
C	7	1/9	1	0,777778	0,919641	0,215	2,178321
	11	1,444444	10,14286		4,282102		4,121384

 

Индекс согласованности 0,5606

Отношение согласованности 0,9667

 

Q6	A	B	C			Вектор приоритетов,
A	1	2	8	16	2,519842	0,652	1,059389
B	1/2	1	1/6	0,083333	0,43679	0,113	1
C	1/8	6	1	0,75	0,90856	0,235	2,154736
	1,625	9	9,166667		3,865193		4,23118

 

 

Индекс согласованности 0,6155

Отношение согласованности 1,0613

Выводы. Полученное для матрицы критериев отношение согласованности очень высокое, не будем считать его приемлемым. Необходимо проводить новый опрос более компетентных экспертов.

Что касается интерпретации результатов, то в рассмотренном случае общая площадь является наиболее важным критерием при выборе дома, подводящие коммуникации занимает второе место, третье место – кровля.

Анализ альтернатив по каждому критерию позволяет сделать вывод о том, что в основном по всем критериям дом А и дом С имеют самые высокие показатели.

Для основных критериев Q₂ и Q₄ вектор приоритетов для дома С больше, чем для всех остальных. Таким образом, семья выбирает для покупки дом С.

 

Задание 4

Предприятие производит два вида продукции А и В. На изготовление единицы продукции А используется сырье S1, S2, S3 в объеме , ,  кг соответственно. На изготовление единицы продукции В используется сырье S1, S2, S3 в объеме , ,  кг соответственно. Максимально возможные запасы сырья в сутки составляет для S1 – P₁ кг, для S2 – P₂ кг, S3 – P₃ кг.

От реализации единицы готовой продукции А прибыль составляет  грн., а вида В -  грн. Решить задачу оптимального производства продукции А и В, при котором прибыль от реализации всей производственной продукции будет максимальной. Решение задачи должно содержать:

a) математическую модель задачи;

b) графическое решение задачи;

c) решение задачи симплексным методом;

d) экономический анализ результатов решения.

=9, =7, =5, =6, =10, =11, P₁ =738, P₂ =910, P₃=900, =3, =4

Решение.

 

а) Составим математическую модель задачи.

Пусть  - количество готовой продукции А,

- количество готовой продукции В.

Составим систему ограничений

Дадим геометрическую интерпретацию математической формулировки задачи. Для этого перейдем от неравенств к равенствам и построим многоугольник решений

 

	0	82
	123	0

                       

 

Из условия  следует, что область D лежит ниже прямой  

	0	130
	91	0

              

 

Из условия  следует, что область D лежит ниже прямой .

	0	180
	81,81	0

              

 

условия  следует, что область D лежит ниже прямой .

Строим линии и отмечаем область D.

Передвигая вдоль вектора N прямую видим, что максимальное значение достигается в точке В(40;63)

Z_max= 3·40+4·63=372

Решим задачу симплекс методом. В системе ограничений перейдем от неравенств к равенствам, добавив дополнительные переменные  ,

Выбирая в качестве базисных векторы Х3, Х4, Х5 получим первоначальный опорный план Х=(0, 0, 738, 910, 900).

Решение осуществим в симплексной таблице

 

i	Базис	Сбаз	Х0	3	4	0	0	0
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
1 2 3	Х3 Х4 Х5	0 0 0	738 910 900	9 7 5	6 10 11	1 0 0	0 1 0	0 0 1
m+1			0	-3	-4	0	0	0
1 2 3	Х3 Х4 Х2	0 0 4	2718/11 1010/11 900/11	69/11 27/11 5/11	0 0 1	1 0 0	1 0 0	-6/11 -10/11 1/11
m+1			3600/11	-13/11	0	0	0	4/11

Найдем

Значит в базис введем вектор Х2, а Х4 выведем из базиса.

 

i	Базис	Сбаз	Х0	4	5	0	0	0
				Х1	Х2	Х3	Х4	Х5
1 2 3	Х3 Х1 Х2	0 3 4	336/27 1010/27 1750/27	0 1 0	0 0 1	1 0 0	-69/27 11/27 -5/27	48/27 -10/27 7/27
m+1			10030/27	0	0	0	13/27	-2/27
1 2 3	Х5 Х1 Х2	0 3 4	7 40 63	0 0 1	0 1 0	9/16 10/48 7/48	-23/16 -1/8 3/16	1 0 0
m+1			372	0	0	29/48	3/8	0

 

Из последней симплексной таблицы видим, что все оценки неотрицательные, значит полученный план является оптимальным.

Х_опт=(40; 63)

Z_max=3·40+4·63=372

 

Задание 5

Имеются три пункта поставки однородного груза А₁, А₂, А₃ и четыре пункта В₁, В₂, В₃, В₄ потребления этого груза. На пунктах А₁, А₂ и А₃ находится груз соответственно в количестве a₁,   a₂ и a₃ т. В пункты В₁, В₂, В₃ и В₄ требуется доставить соответственно b₁ , b₂ , b₃ и b₄ т груза. Расстояние между пунктами поставки и пунктами потребления приведено в следующей матрице-таблице:

 

Пункты поставки	Пункты потребления
	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3

 

Найти такой план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

а₁ = 230 , a₂ = 280, a₃ = 120, b₁ = 200, b₂ = 160, b₃ = 180, b₄ = 100.

 

 

Решение.

 

Начнем с построения первоначального опорного плана. Найдем его методом минимальной стоимости. Выберем клетку, имеющую наименьшую стоимость и поместим в неё максимально возможный груз. Таким образом заполним первоначальную таблицу.

Получим первоначальный опорный план. Он является невырожденным, т.к. занято m+n-1=3+4-1=6 клеток.

Его стоимость Z=200*13+30*6+100*11+180*7+60*10+70*5=6090

 

 

Матрица планирования		Пункты потребления												Запасы
		В1			В2			В3			В4
Поставщики	ui vj	v1=13			v2=11			v3=7			v4=6
А1	u1=0			13			15			9			6	230
		200									30
А2	u2=0			19			11			7			14	280
					100			180
А3	u3=-1			17			10			23			5	120
					60						70
Потребности		200			160			180			100

Для проверки плана на оптимальность построим систему потенциалов. Потенциалы найдем из условия u_i+v_j=c_ij для занятих клеток.

Пусть u₂=0, тогда

u₂+v₂=11      v₂=11

u₂+v₃=7        v₃=7

u₃+v₂=10      u₃=-1

u₃+v₄=5        v₄=6

u₁+v₄=6        u₁=0

u₁+v₁=13      v₁=13

Систему потенциалов составили. Теперь проверим найденный опорный план на оптимальность для незанятых клеток: u_i+v_j-c_ij<0

Для строки А₁: u₁+v₂-c₁₂ =0+11-15=-4<0

u₁+v₃-c₁₃ =0+7-9=-2<0

Для строки А₂: u₂+v₁-c₂₁ =0+13-19=-6<0

u₂+v₄-c₂₄ =0+6-14=-8<0

Для строки А₃: u₃+v₁-c₃₁ =-1+13-17=-5<0

u₃+v₃-c₃₃ =-1+7-23=-17<0

Для всех клеток условие оптимальности выполнено, значит получен оптимальный план.

 

Задание 6

Предприятие, имеющее возможность вложения денежных средств в альтернативные варианты (капиталовложения в собственное производство или депозит в банке), может ожидать доход в зависимости от экономического положения в стране (стабильное, рост инфляции, изменение налогового кодекса, падение спроса). Величины доходов предприятия представлены в следующей матрице-таблице:

 

Альтернативы предприятия	Ситуации окружающей среды
	1	2	3	4
1	a11	a12	a13	a14
2	a21	a22	a23	a24

 

На основе игровой модели установить оптимальную стратегию поведения предприятия, дать экономическую интерпретацию (гарантированную прибыль) оптимальной стратегии предприятия.

 

Решение.

Решим матричную игру. Строки матрицы соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго игрока. Эти стратегии называются чистыми. Первый игрок имеет две стратегии. Второй игрок имеет четыре стратегии. Исследуем матрицу на наличие седловой точки.

Найдем нижнюю чистую цену игры. Для этого для каждого значения (i=1,2) определим минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий второго игрока.

  

   
Отыщем теперь такую стратегию i=i₀ , при которой минимальный выигрыш будет максимальным, т.е.

 

Второй игрок при оптимальном своем поведении должен стремиться по возможности за счет своих стратегий максимально уменьшить выигрыш первого игрока. Поэтому для второго игрока отыщем , т.е.

Это чистая верхняя цена игры.

Так как , то игра не имеет седловой точки и следовательно не имеет решения в чистых стратегиях.

Воспользуемся графическим методом для определения смешанных стратегий.

Построим прямые, соответствующие стратегиям второго игрока.

Обозначим через – вероятность применения первым игроком своей первой стратегии, через  – смешанную стратегию второго игрока.

Составим неравенства   (j=1,2,3,4)   (i=1,2)

                            

                                                  

                                              

Для решения этих систем применим графический метод. Т.к. , то  .

Введем обозначения для левой части неравенства

Где  - это средний выигрыш первого игрока при условии, что он применяет свою смешанную стратегию, а второй свою j-тую чистую стратегию.

Каждому значению j=1,2,3,4 согласно выражению  соответствует прямая линия в прямоугольной системе координат.

=(5-10) +10=-5 + 10

=(20-18) +18=2 +18

=(3-9) +9=-6 +9

=(15-6) +6=-9 + 6

Построим эти линии

Нижняя граница множества ограничений изображена на рисунке. Очевидно, максимальное значение  достигается в точке М₀ , образуемой пересечением линий, соответствующих j=3, j=4, т.е. М₃ и М₄. Поэтому полагаем , .

Для определения значений  , ,  и v решим следующие уравнения:

и  , т.к. игра свелась к матрице А=

 

 

Решим эти системы

                    

                

           

                    

                       

                                       

                                        

                        

 Таким образом, оптимальная стратегия первого игрока ,  достигается, если изменение налогового кодекса происходит с вероятностью  и падение спроса осуществляется с вероятностью .Тогда гарантированная прибыль составит  ден. ед.

 

 

Основные понятия системного анализа: система, элемент системы, связи, цели.

Система- (от греч systema –составленное из частей, соединение) – объективное единство закономерно связанных друг с другом предметов, явлений, я также знаний о природе и обществе.

Система – множество элементов, находящихся в отношениях и связях друг с другом, которое образует определенную целостность, единство.

Под системой понимается:

Ÿ комплекс элементов, находящихся во взаимодействии (Л. Берталанфи);

Ÿ множество элементов с отношениями между ними и между их атрибутами (А. Холл, Р. Фейджин);

Ÿ совокупность элементов, организованных таким образом, что изменение, исключение или введение нового элемента закономерно отражаются на остальных элементах;

Ÿ взаимосвязь самых различных элементов; все, состоящее из связанных друг с другом частей;

Система– это полный, целостный набор элементов, взаимосвязанных между собой так, чтобы могла реализоваться функция системы.

Под элементомсистемы понимается простейшая неделимая часть системы. В общем виде имеется неограниченное множество таких частей, способ выделения которых зависит от формулировки целей анализа и построения системы.

Элементы системы должны быть связаны между собой для достижения глобальной, в рамках данной системы, цели.

Цель - это одна из сложных и вместе с тем древнейших категорий. Она в той или иной мере присутствует в сознании человека, который осуществляет произвольный вид деятельности, и переносится на множество естественных и искусственных систем. Познание цели помогает понять сущность исследуемых систем.

Цель отображает назначение системы, которое не является детерминировано фиксированным, оно может развиваться во времени и не обязательно единственным образом.

Цель отображает то, что может или должно возникнуть, прообраз будущего, состояние, которое желательно достигнуть.

По наличию информации о способах достижения целей выделяются следующие классы целей:

Ÿ Функциональная цель – это цель, способ достижения которой известен системе, которая достигала эта цель. Функциональные цели повторяются во времени и пространстве. Примерами такого типа целей являются результаты выполнения производственных операций, которые периодически повторяются.

Ÿ Цель-аналог – это образ, который получен в результате действия другой системы, но который ни разу не достигался рассматриваемой системой, а если и достигался, то при других условиях внешней среды.

Ÿ Цель развития, или новая цель – это цель, которая никогда и никем раньше не достигалась. Такая цель по существу связана с созданием новых систем.

 

---

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 241; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!