Частотне (спектральне) представлення періодичних сигналів

Стр 1 из 2Следующая ⇒

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, молоді та спорту УКРАЇНИ

Технологічний коледж Національного університету

«Львівська політехніка»

ЗАТВЕРДЖУЮ

Заступник директора

з навчально-методичної роботи

________________ Кривішин Н.Т.

“ _______ ” _____________2012 р.

Методичні вказівки до практичної роботи №2

Розрахунок спектральних характеристик

Бінарних сигналів

з дисципліни “Комп’ютерна електроніка”

Спеціальність 5.05010201 “Обслуговування комп’ютерних систем і мереж”

Напрям підготовки 6.050102 “Комп’ютерна інженерія”

ЛЬВІВ 2012

Мандзевич Т.Д.

Розрахунок спектральних характеристик бінарних сигналів: Методичні вказівки до практичної роботи з дисципліни «Комп’ютерна електроніка».– Львів, 2012, с.16.

В методичних вказівках до практичної роботи коротко викладені основні поняття і методи теорії сигналів, зокрема, способу частотного (спектрального) представлення детермінованих сигналів, наведені приклади розкладу в ряд Фур’є типових бінарних сигналів – періодичної послідовності однополярних та різнополярних прямокутних імпульсів.

З метою закріплення теоретичних знань у практичній частині наведено зміст завдання та приклади розрахунку спектральних характеристик періодичної послідовності найпростіших бінарних сигналів. Для виконання практичної роботи розроблено 30 варіантів індивідуального завдання.

Для студентів коледжу спеціальності 5.05010201 “Обслуговування комп’ютерних систем і мереж” базового напряму 6.050102 “Комп’ютерна інженерія”.

Методичні вказівки до практичної роботи №2 “Розрахунок спектральних характеристик бінарних сигналів” з дисципліни "Комп’ютерна електроніка" для студентів коледжу спеціальності 5.05010201 “Обслуговування комп’ютерних систем і мереж” базового напряму 6.050102 “Комп’ютерна інженерія”. Львів, 2011 – с.16.

Укладач:

Викладач коледжу Т.Д. Мандзевич

Методичні вказівки обговорені та схвалені на засіданні циклової комісії спеціальних комп’ютерних дисциплін коледжу

Протокол № від “____” __________2010 р.

Голова циклової комісії _______________ Л.М. Павліш

Рецензенти:

Войтович П.В. – викладач вищої категорії Технологічного коледжу Національного університету «Львівська політехніка»

Деревянченко Ю.Г. – викладач вищої категорії Технологічного коледжу Національного університету «Львівська політехніка»

Відповідальний за випуск:

Королевич І.Є. – завідувач відділення комп’ютерних технологій Технологічного коледжу Національного університету «Львівська політехніка»

МЕТА РОБОТИ

Вивчення основних понять і методів теорії сигналів, зокрема, способу частотного (спектрального) представлення детермінованих сигналів і на цій основі засвоєння практичного розрахунку спектральних характеристик періодичної послідовності найпростіших бінарних сигналів.

Основні положення

Сигнал як матеріальний носій інформації являє собою певну змінну в часі фізичну величину (напругу, струм, заряд, магнітний потік тощо), яку в загальному випадку називають коливанням. З інформаційного погляду всю розмаїтість сигналів можна поділити на дві основні групи: детерміновані та випадкові.

Детермінованими називають такі сигнали, значення яких у будь-який момент часу є точно відоме, тобто їх можна передбачити безпомилково. Такі сигнали не несуть нової інформації, але їх використовують як тестові сигнали при дослідженні властивостей та характеристик електронних кіл та пристроїв.

Випадковими називають такі сигнали, значення яких у будь-який момент часу неможливо передбачити абсолютно точно. Їх можна передбачити лише з деякою імовірністю. Очевидно, що сигнал, прийнятий на приймальному пункті, є для адресата випадковим, бо адресат наперед не знає змісту інформації, яку несе цей сигнал. Водночас цей сигнал на передавальному пункті вважається детермінованим, оскільки там точно відома інформація, яку несе сигнал. Випадковими сигналами також є різноманітні електромагнітні коливання атмосферного та промислового походження, а також сигнали сусідніх передавальних станцій, які перешкоджають надійному прийманню інформаційних сигналів. Отже, випадкові сигнали можна поділити на корисні та завади (шуми).

Сигнали також прийнято класифікувати залежно від характеру зміни в часі та зміни на множині значень.

Розрізняють сигнали неперервні та дискретні в часі. Неперервні в часі сигнали існують у кожен момент часу. Дискретні в часі сигнали появляються лише в певні моменти часу.

Крім того, розрізняють сигнали неперервні та дискретні на множині значень. Неперервні на множині значень сигнали можуть набувати неперервної множини значень (континуум значень) у даному інтервалі, тобто їх миттєві значення можуть змінюватися плавно, хоча також можуть мати окремі стрибки. Дискретні на множині значень сигнали можуть набувати лише дискретних значень у заданому інтервалі, тобто їх миттєві значення можуть змінюватися лише стрибкоподібно.

На підставі цієї класифікації можна виділити такі чотири типи сигналів:

1. Аналогові, або континуальні – неперервні в часі та на множині значень.

2. Дискретизовані – дискретні в часі та неперервні на множині значень.

3. Квантовані – неперервні в часі та дискретні на множині значень.

4. Цифрові – дискретні одночасно в часі та на множині значень.

Рис. 1. Аналоговий (а), дискретизований (б), квантований (в) та цифровий (г) сигнали, які відповідають одному й тому самому первинному повідомленню

Отже, будь-яке первинне повідомлення може бути перетворене в будь-який із чотирьох наведених вище типів сигналів. Наприклад, первинне повідомлення у вигляді неперервного звукового сигналу може бути перетворене:

а) в аналоговий електричний сигнал, миттєві значення якого пропорційні до сили звуку (рис. 1, а);

б) у дискретизований сигнал, який є послідовністю коротких імпульсів, амплітуди яких пропорційні до сили звуку в дискретні моменти часу, відстань між імпульсами на осі часу називають інтервалом дискретизації (рис. 1, б);

в) у квантований сигнал, який є послідовністю стрибкоподібних змін з дозволеними фіксованими значеннями (які називають рівнями квантування), що відповідають миттєвим значенням сигналу з деякою похибкою, яку можна допустити (рис. 1, в);

г) у цифровий сигнал, який є послідовністю коротких імпульсів, амплітуди яких відповідають певним рівням квантування (тобто представляють миттєві значення сигналу з певною допустимою похибкою), часова відстань між імпульсами дорівнює інтервалові дискретизації (рис. 1, г). Звичайно кожному рівневі квантування присвоюють певне двійкове число (найчастіше порядковий номер рівня), яке представляють з допомогою бінарних символів 0 і 1. Своєю чергою, бінарні символи представляють відповідними електричними сигналами згідно із встановленими стандартами. Це представлення називають кодуванням бінарних символів. Відомо багато способів кодування, які дістали назву лінійних кодів або цифрових форматів.

Залежно від тривалості проміжку часу, протягом якого існує сигнал, розрізняють довготривалі та імпульсні сигнали.

Довготривалі сигнали теоретично існують на нескінченному проміжку часу. Реальні сигнали мають початок та кінець і їх не можна вважати неперервними. Проте в багатьох випадках зустрічаються достатньо довготривалі сигнали, які наближено можна вважати неперервними.

Імпульсні сигнали (одинокі імпульси) існують лише протягом короткого проміжку часу, а в усі інші моменти їх значення тотожно дорівнюють нулеві.

Для теоретичного дослідження сигналів треба створити їх математичні моделі, тобто описати їх математично. Всі фізичні сигнали є дійсними функціями часу, але залежно від потреб методів аналізу використовують такі основні способи їх математичного опису:

а) подання сигналу у вигляді функції часу – часове подання;

б) подання сигналу у вигляді деякої функції частоти – частотне (спектральне) подання;

в) подання сигналу в операторній формі – операторне подання.

У багатьох випадках для спрощення аналізу доцільно представити складний детермінований сигнал як сукупність вибраних певним чином елементарних сигналів. До елементарних сигналів належать: гармонічне (синусоїдне) коливання, одиничний стрибок (функція Хевісайда), дельта-імпульс (функція Дірака). Гармонічне коливання використовують при частотному (спектральному) поданні сигналів, а одиничний стрибок та дельта-імпульс – при часовому поданні, яке інколи називають динамічним поданням. Це пояснюється тим фактом, що для значної кількості кіл справедливий принцип накладання (суперпозиції), згідно з яким проходження складного сигналу через електронне коло аналізують, розглядаючи окремо проходження кожної його елементарної складової. Відтак, додаючи на виході всі складові, визначають результуючий вихідний сигнал. Крім того, дуже часто розглядають завдання формування складних сигналів із більш простих, елементарних сигналів.

Сукупність усіх елементарних сигналів, які в сумі утворюють заданий складний сигнал, називають спектром цього сигналу у вибраному базисі елементарних сигналів.

Частотне (спектральне) представлення періодичних сигналів.

При спектральному представленні сигналів як елементарні складові використовують гармонічні функції часу, які досить просто можна генерувати на практиці, що й зумовило їх широке застосування для розкладання складних сигналів. Отже, у цьому випадку під спектром конкретного складного сигналу розуміють сукупність елементарних гармонічних коливань з різними частотами, амплітудами та початковими фазами, які в сумі утворюють даний сигнал.

Періодичні сигнали - це клас сигналів, які створюють різноманітні генератори, та які часто використовують на практиці як тестові сигнали при дослідженнях характеристик електронних кіл. Типовим прикладом такого сигналу є періодичний бінарний сигнал (періодична послідовність однополярних або різнополярних прямокутних імпульсів).

Якщо складний періодичний сигнал (напруга, струм, заряд, напруженість поля тощо) задовольняє умови Діріхле (протягом періоду повторення Тмає скінченну кількість розривів першого роду і скінченну кількість максимумів та мінімумів) і умову абсолютної інтегрованості , то він може бути представлений рядом Фур'є в базисі ортогональних гармонічних функцій з кратними частотами у так званій тригонометричній формі:

(1)

або

, (2)

де – основна частота (частота першої гармоніки); А₀– постійна складова (середнє значення сигналу за період); та – амплітуди косинусних та синусних складових розкладу n-го порядкового номера; – амплітуда та початкова фаза n-ої гармонічної складової.

Ці величини знаходять з виразів:

(3)

Амплітуду та початкову фазу n-ої гармонічної складової визначають через та :

; (4)

Зауважимо, що практично всі реальні сигнали задовольняють умови Діріхле, тому на практиці при розкладанні сигналів ці умови спеціально не акцентують.

Із виразів (1, 2) випливає, що спектр складного періодичного сигналу в загальному випадку складається з постійної складової A₀та нескінченної кількості гармонічних складових, частоти яких становлять дискретний ряд значень (n = 1, 2, 3...), кратних основній частоті . Ці складові називають гармоніками періодичного сигналу. Спектр, який складається з окремих складових, називають дискретним або лінійчатим. Гармоніку, яка відповідає номерові n=1, називають першою або основною гармонікою. При n=2 маємо другу гармоніку, при n=3 – третю і т.д. Амплітуди відповідних гармонік дорівнюють A_n, а їх початкові фази дорівнюють j_n . Постійну складову також можна розглядати як гармоніку з нульовою частотою та амплітудою, що дорівнює А₀. У загальному випадку гармоніки, які входять до складу спектра, мають різні амплітуди та початкові фази.

Щоб отримати наочне уявлення про спектр, використовують графічне представлення спектра у вигляді однієї (комплексної) спектральної діаграми або двох спектральних діаграм: амплітудної та фазової. При їх побудові на осі абсцис відкладають частоту або номер гармоніки, а на осі ординат – відповідно величини амплітуд A_n гармонік та їх початкові фази j_n.

Для прикладу визначимо спектр періодичної послідовності однополярних прямокутних імпульсів (бінарний сигнал) з амплітудою А_m та тривалістю t_i, які повторюються з частотою (рис. 2, а), причому .

Відомо, що відношення називається коефіцієнтом заповнення, і ця величина обернена до щілинності імпульсів q. Тоді q =1/g = 4.

Математичну модель такого сигналу описує вираз:

При вибраній системі відліку сигнал є парною функцією часу, тому його спектр складається лише з косинусних складових та постійної складової ( ).

Постійна складова сигналу:

(5)

Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам косинусних складових:

(6)

Отже, гармонічний спектр заданого сигналу має вигляд:

(7)

Амплітуди гармонік залежать від величини . Із збільшенням номеру гармоніки n знаменник даного виразу зростає по лінійному закону, а чисельник змінюється по закону синуса, який не може бути більшим одиниці. Тому із збільшенням номеру гармоніки їх амплітуди мають тенденцію до зменшення.

Із виразу (6) бачимо, що нулеві дорівнюватимуть амплітуди гармонік для тих номерів n, які задовольняють умову:

, (k = 1,2,3....). (8)

Номери нульових гармонік

n_0k = k / g = k q

Для випадку q =1/g = 4 із (8) одержуємо: n₀_k = 4 k, (9)

тобто четверта, восьма, дванадцята і т.д. гармоніки матимуть нульову амплітуду.

Частоти цих гармонік обернено пропорційні тривалості імпульсу

F ₀_k = n ₀_k f₁ = k q =

Початкові фази гармонік визначаються знаком функції . Легко переконатися, що при n < n₀₁ (F < F₀₁) значення sin npg додатні, а при n₀₂ > n > n₀₁ (F₀₂ >F > F₀₁) значення sin npg від’ємні. Очевидно, така зміна знаку sin npg буде відбуватися кожен раз після того, як амплітуда гармоніки обернеться в нуль.

Із виразу (5) бачимо, що постійна складова сигналу (А₀) при малих співвідношеннях g значно менша від амплітуди імпульсу (A_m).

Амплітудна та фазова спектральні діаграми розглянутого сигналу зображені відповідно на рис. 2, б та 2, в.

Рис. 2. Періодичний однополярний бінарний сигнал (а) та його амплітудна (б) і фазова (в) спектральні діаграми при співвідношенні

Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте під час практичних розрахунків задля спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від f =0 до частоти, яка відповідає другому нулеві амплітудної спектральної діаграми ( ). Можна показати, що саме ці гармоніки містять 95% енергії сигналу і визначають активну ширину спектрасигналу П_са» 2/t_і.

Іншим прикладом бінарного сигналу може бути послідовність різнополярних імпульсів прямокутної форми з q = 2 або прямокутний меандр (рис. 3, а). При q = Т/t_i = 2 тривалість імпульсу t_і= Т/2, тобто дорівнює половині періоду сигналу.

Рис. 3. Часова (а) і спектральна (б) діаграми прямокутного меандру

Симетрія такого сигналу відносно початку координат приводить до того, що в розкладі в ряд Фур'є не буде косинусних гармонік та постійної складової А₀, а симетрія його відносно осі абсцис обумовлює відсутність гармонік парних номерів. Тому розклад буде містити тільки синусні складові непарних номерів.

Математичну модель такого сигналу описує вираз:

Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам синусних складових:

(10)

Очевидно, що при n = 1, 3, 5 і т.д. cos np = -1, U_mn = 4U_m / np, а при n = 2, 4, 6 і т.д. cos np = 1, U_mn = 0, тобто гармоніки парних номерів, як було зазначено вище, відсутні.

Таким чином, спектр прямокутного меандру складається з безмежної кількості непарних синусних складових, амплітуди яких обернено пропорційні номеру гармоніки. Із збільшенням його вони зменшуються по гіперболічному закону, що відображено на спектральній діаграмі (рис. 3, б).

Гармоніки різних частот по різному впливають на форму імпульсів. Низькочастотні складові в основному визначають формування плоскої вершини імпульсу. Високочастотні гармоніки переважно визначають фронти імпульсу. Якщо електронний пристрій при передачі сигналу погано пропускає низькочастотні складові спектру, то це проявляється в спотворенні вершини імпульсу на виході пристрою (спаді плоскої частини); спотворення (затягування) фронтів імпульсів на виході пов’язане з обмеженим проходженням через пристрій високочастотних складових спектру сигналу.

Дискретність спектру імпульсів дозволяє один канал зв’язку використати для передачі декількох повідомлень, тобто ущільнити його (часове ущільнення каналу).

Завдання до розрахунку

3.1. Для двох типів бінарного сигналу (рис. 2, а та рис. 3, а) згідно індивідуаль-ного завдання розрахувати спектральну характеристику.

3.2. Використовуючи електронні таблиці, побудувати спектральні діаграми заданих сигналів.

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКУ

Задано:

Завдання 1. Однополярний бінарний сигнал (рис. 4) Т = 100 мкс, t_і= 20мкс, U_m =10 В, n_max = 50.

Рис. 4. Однополярний бінарний сигнал

Завдання 2. Різнополярний бінарний сигнал (прямокутний меандр) (рис. 5) Т = 100 мкс, U_m =10 В.

Рис. 5. Різнополярний бінарний сигнал

Розрахувати:

1. Спектральні характеристики сигналів.

2. За допомогою табличного процесора Excel обчислити амплітуди гармонік (n_max =50) та побудувати спектральні діаграми сигналів.

Завдання 1.

1. Коефіцієнт заповнення g = t_i / T =20 / 100 = 0,2.

Щілинність сигналу q =1/g = 1 / 0,2 = 5.

Частота першої (основної) гармоніки

Кругова частота першої гармоніки

Постійна складова U₀= U_m ×g = 10×0,2 = 2 В.

Амплітуди гармонік

; ; ; ;

і т.д.……

Отже, розклад заданої функції в ряд Фур’є має вигляд:

2. Спектральна діаграма однополярного бінарного сигналу показана на рис. 6. В середовищі MS Excel розраховані амплітуди гармонічних складових U_mn (стовпчик D) включно до n_max = 50. По розрахованим значенням амплітуд гармонік програма будує графік спектральної характеристики сигналу в залежності від номера гармоніки. В рядку формул вікна програми рис. 6 записаний вираз (6) для розрахунку амплітуд гармонічних складових.

Графік спектральної характеристики показує, що при q = 5 кожна п’ята гармоніка однополярного бінарного сигналу практично дорівнює нулеві (4,1*10^-15В). Спектральні складові 2, 4, 6 і т. д. пелюстків діаграми мають від’ємну амплітуду.

Рис. 6. Спектральна діаграма однополярного бінарного сигналу

Завдання 2.

1. Частота першої (основної) гармоніки

Кругова частота першої гармоніки

Постійна складова U₀= 0.

Амплітуди гармонік

U_m₁= 4U_m / p = 40 / p; U_m₂= 0; U_m₃= 4U_m / 3p = 40 / 3p; U_m₄= 0;

U_m₅= 4U_m / 5p = 8 / p; U_m₆= 0; U_m₇= 4U_m / 7p = 40 / 7p і т. д.

Отже, розклад заданої функції в ряд Фур’є має вигляд:

u(t) = (40/p)×sin w₁t + (40/3p)×sin 3w₁t + (8/p)×sin 5w₁t + (40/7p)×sin 7w₁t + і т. д.

2. Спектральна діаграма різнополярного бінарного сигналу показана на рис. 7. В середовищі MS Excel розраховані амплітуди гармонічних складових U_mn (стовпчик С) включно до n_max = 50. По розрахованим значенням амплітуд гармонік програма будує гістограму спектральної характеристики сигналу в залежності від номера гармоніки. В рядку формул вікна програми рис. 7 записаний вираз (10) для розрахунку амплітуд гармонічних складових.

Графік спектральної характеристики показує, що всі парні гармоніки бінарного різнополярного сигналу дорівнюють нулеві. Амплітуди всіх непарних гармонік – додатні (їх початкові фази дорівнюють нулеві) та обернено пропорційні номеру гармоніки. Із збільшенням його вони зменшуються по гіперболічному закону.

Висновки

Результати розрахунків та спектральні діаграми періодичної послідовності бінарних сигналів різного типу показують, що спектри таких сигналів є дискретними (лінійчатим). Густина спектру (кількість спектральних ліній в діаграмі) зростає із збільшенням періоду сигналу, тобто зменшується інтервал між сусідніми гармоніками, що дорівнює частоті першої гармоніки (f₁= 1/Т). Якщо, збільшуючи період, перейти до граничного випадку Т®¥ (f₁®0), тобто від послідовності перейти до одиночного імпульсу, то його спектр буде містити складові всіх частот і стане суцільним. В цьому випадку, як випливає з виразів (3), (4), при Т®¥ амплітуди гармонік будуть нескінченно малими.

Навпаки, якщо при зменшенні періоду перейти до другого граничного випадку Т®0 (f₁®¥), то всі імпульси на часовій діаграмі зіллються і являтимуть собою пряму, паралельну осі абсцис, тобто в їх спектрі залишиться тільки постійна складова. Ці властивості спектру імпульсів мають велике практичне значення.

Рис. 7. Спектральна діаграма різнополярнго бінарного сигналу

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1381; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!