Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Линейные операторы
Основные определения. Матрица линейного оператора
Говорят, что в векторном пространстве L задан оператор (или преобразование) , если каждому вектору поставлен в соответствие определенный вектор .
Определение. Оператор (преобразование) называется линейным, если и произвольного числа :
1) ;
2) .
Вектор называется образом вектора , а вектор – прообразом вектора при преобразовании .
Выберем в L базис , , ... , . Тогда, если
,
то в силу линейности оператора имеем:
.
Но , , ... , также векторы из L, поэтому
Тогда
Группируя по «столбцам», получим:
.
Если , , …, – координаты вектора в том же базисе , , ... , , т.е. если
,
то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем:
Таким образом, каждому линейному оператору в данном базисе , , ... , отвечает матрица
,
столбцы которой образованы коэффициентами разложения векторов , , ... , по базису , , ... , .
При этом коэффициенты разложений координат , , …, вектора по координатам вектора образуют строки матрицы A.
Верно и обратное: если в n-мерном векторном пространстве L задан базис, то каждая квадратная матрица A n-го порядка может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора.
Действительно, пусть , , ... , – базис L и пусть дана матрица A n-го порядка. Обозначим через оператор, переводящий произвольный вектор в вектор , где
|
|
Покажем, что оператор – линейный. В самом деле, произвольный вектор он переводит в вектор , где
вектор – в вектор , где
, .
Поэтому .
Далее, имеем и , где
, .
Следовательно, . А значит, оператор – линейный.
Итак, если в векторном пространстве L задан базис, то каждому линейному оператору отвечает определенная квадратная матрица n-го порядка и, обратно, каждой подобной матрице отвечает определенный линейный оператор.
Матрица A называется матрицей линейного оператора .
Замечание. Очевидно, что . При этом, если только при , то оператор называется невырожденным, если же найдется такой вектор , что , то оператор – вырожденный.
Пусть A – матрица линейного оператора . Рассмотрим однородную систему линейных уравнений
Для существования ненулевого решения этой системы (а значит, для существования ненулевого вектора такого, что ) необходимо и достаточно, чтобы .
Итак, оператор – невырожденный Û , где A – матрица этого оператора в любом базисе.
Пример 1. В четырехмерном векторном пространстве дано линейное преобразование . Записать это преобразование в координатной форме, если , , , .
|
|
Решение. Матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по столбцам!):
.
Поэтому , , , .
Пример 2. В трехмерном векторном пространстве дано линейное преобразование , которое в координатной форме имеет следующий вид:
, , .
Является ли данное линейное преобразование вырожденным?
Решение. Матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по строкам!):
.
Поскольку , то данное линейное преобразование является невырожденным.
Пример 3. Линейное преобразование совокупности всех векторов на плоскости Oxy (в правом ортонормированном базисе , ) заключается в повороте каждого вектора против часовой стрелки на угол . Найти матрицу этого линейного преобразования и записать в координатной форме.
Решение. Напишем формулы преобразования векторов базиса , , опираясь на определение синуса и косинуса:
,
.
Тогда матрица A линейного оператора имеет следующий вид (Записывается по столбцам!):
.
Отметим, что полученную матрицу A называют матрицей поворота.
Тогда в координатной форме преобразование имеет следующий вид:
,
.
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
Пусть линейный оператор , действующий в линейном пространстве L, в базисе , , ... , имеет матрицу A, а в базисе , , ... , – другую матрицу B. Установим связь между A и B.
|
|
Пусть C – матрица перехода от базиса , , ... , к базису , , ... , . Положим далее, что:
и – вектор-столбцы, составленные из координат какого-либо вектора L соответственно в «старом» , , ... , и «новом» , , ... , базисах;
и – вектор-столбцы из координат вектора L, записанные соответственно в «старом» , , ... , и «новом» , , ... , базисах.
При этом
, .
Тогда
, .
Следовательно,
,
или
.
Но C – невырожденная матрица, поэтому
,
или
.
Однако, как указывалось,
.
Значит,
.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1240; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!