Критические значения критерия Пирсона

ОБРАБОТКА ЭЕСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ РЕЗУЛЬТАТА МНОГОКРАТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ

 

    Цель работы: записать результаты измерения по 50 точкам и представить его графически

    Дано:

Таблица 1 - Результаты измерения длины стержня, мм

55,1	55,6	55,3	55,5	55,2
55,4	55,2	55,2	55,3	55,3
55,2	55,5	55,4	55,4	55,4
55,5	55,3	55,1	55,1	55,3
55,2	55,6	55,3	55,3	55,2
55,4	55,3	55,3	55,2	55,1
55,4	55,3	55,3	55,5	55,4
55,6	55,3	55,1	55,1	55,5
55,4	55,6	55,5	55,5	55,2
55,6	55,3	55,2	55,5	55,4

    Обработка результата ведётся в три этапа:

1. Обнаружение и исключение ошибок.

2. Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения.

3. Вычисление доверительного интервала математического ожидания ε и построение карты процесса.

 

1. Обнаружение и исключение ошибок.

В системах при измерениях могут происходить сбои, отказы аппаратуры, скачки напряжения, ошибки в записях данных. Появляются ошибки, вероятность которых не так мала. Необходимо пользоваться правилом, с помощью которого можно отбросить сомнительные результаты.

Это правило 3σ:Если при многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера сомнительные значения результата измерения отличаются от среднего больше чем на 3σ, то с вероятностью больше 0,997 они являются ошибочными и их следует отбросить. σ – дисперсия.

              -3σ        +3σ                   

   х                                       х 

При расчётах принимать σ=s, так как среднее квадратичное отклонение является оценкой дисперсии. Ошибочными будут те значения, которые не входят в интервал :

[ -3s; +3s].

 Для проведения анализа результатов измерений занесём вспомогательные расчёты в таблицу 2.

 

Таблица 2 – Вспомогательные расчёты

xi	mi	mi· xi	xi-	(xi- )2	(xi- )2·mi
55,1	6	330,6	-0,24	0,0576	0,346
55,2	9	496,8	-0,14	0,0196	0,176
55,3	13	718,9	-0,04	0,0016	0,021
55,4	9	498,6	0,06	0,0036	0,0324
55,5	8	44	0,16	0,0256	0,205
55,6	5	278	0,26	0,0676	0,338
Σ	50	2766,9			1,118

 m_i – количество раз, которое x_i повторяется в массиве

 - среднее арифметическое результатов измерений.

=  мм,                                     (1)

где k – кол-во интервалов.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

= мм.                                         (2)

Найдём границы интервала [ -3s; +3s].

Все полученные значения входят в доверительный интервал [54,89; 55,79], следовательно, ошибочных значений нет.

Если какие-либо значения оказываются ошибочными, их отбрасывают, и проверка на ошибки проводится снова.

Если все значения попали в данный интервал, делаем вывод, что грубых ошибок нет и можно приступить к проверке на нормальность закона распределения.

 

2. Проверка нормальности закона распределения результата измерений

При обработке экспериментальных данных возникает вопрос, подчиняются результаты измерения нормальному закону. Не противоречивость такой гипотезы должна быть обязательно проверена, т.к. большинство классических методов математической статистики, используемых в задачах обработки измерений, могут быть применимы, только если распределение нормальное.

Для проверки гипотезы о нормальности построим по результатам экспериментальных данных гистограмму (рисунок 1). Для этого разбиваем наш массив на интервалы. При числе измерений 40-100 число интервалов 6-9.

 

Рисунок 1 – Гистограмма результатов измерений

 

    Математическая статистика даёт несколько показателей, по которым можно судить, насколько фактическое значение согласуется с нормальным распределением. Известны критерии Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

    В данном случае согласованность статистического и выбранного теоретического распределения проверим с помощью  критерия Пирсона .

    .                                                                 (3)

    При использовании этого критерия за меру расхождения экспериментальных данных с теоретическими применяется сумма квадратов отклонений частности  (вероятность появления  i числа в этом интервале) от теоретической вероятности попадания отдельного результата измерения в i интервал. Причём каждое слагаемое берётся с коэффициентом .

    Если , то гипотеза о нормальном законе распределения вероятности результатов измерения принимается.

Расчёт значений частот теоретического ряда распределения для собранных данных представлен в таблице 3.

    Таблица 3 – Расчёт значений частот теоретического ряда распределения для собранных данных     

i	Интервалы		mi		Ф(ti)
0	-	-	-	-	-0,5	-	-
1	(-∞	55,15]	6	-1,27	-0,3980	0,102	0,159
2	(55,15	55,25]	9	-0,6	-0,2257	0,172	0,019
3	(55,25	55,35]	13	0,07	0,0279	0,254	0,007
4	(55,35	55,45]	9	0,73	0,2673	0,239	0,728
5	(55,45	55,55]	8	1,4	0,4192	0,152	0,02
6	(55,55	+∞)	5	+∞	0,5	0,081	0,223
Σ			50				1,22

 - показывает, на сколько стандартных отклонений  s отстоит от среднего арифметического значения правая граница  каждого интервала;  и s берём из предыдущего пункта.

Ф(t_i)– функции Лапласа. Значения берутся из статистической таблицы в зависимости от  (приложение А). Причём, если  отрицательная, то и функция Лапласа берётся с минусом.

 - теоретическая вероятность попадания в i интервал отдельного значения.

Суммирование чисел в последнем столбце даёт критерий Пирсона  для нашего массива данных.

Сравнивая его с табличным  подтвердим или опровергнем гипотезу о нормальном распределении результатов измерения. В соответствии с таблицей критических значений критерия Пирсона (приложение Б) найдём табличное значение  для уровня значимости α =0,05 и степени свободы r=k-3, где k - число интервалов.

В данном примере =7,81

Фактическое значение  меньше табличного. Гипотезу о нормальном распределении принимаем. После это можно применить формулы для расчёта доверительного интервала.

 

3. Вычисление доверительного интервала математического ожидания ε и построение карты процесса.

Результат измерений записывается в следующем виде:

;                                                                              (4)

где  =- предельное отклонение,

t – коэффициент Стьюдента, который зависит от доверительной вероятности (в нашем случае Р=0,95) и числа степеней свободы f=n-1 в нашем случае равен 2,0086 (приложение В).

Таким образом, результат измерений:

.

Контрольную карту процесса мы получаем подставив значения измерений (рисунок 2).

-ε

Номер измерения

x

+ε

-ε

n

Рисунок 2 – Контрольная карта процесса измерений

 

Приложение А

Значения интегральной функции Лапласа Ф(t)

t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)
0,00	0,0000	0,48	0,1844	0,96	0,3315	1,44	0,4251	1,92	0,4726	2,80	0,4974
0,01	0,0040	0,49	0,1879	0,97	0,3340	1,45	0,4265	1,93	0,4732	2,90	0,4981
0,02	0,0080	0,50	0,1915	0,98	0,3365	1,46	0,4279	1,94	0,4738	2,92	0,4982
0,03	0,0120	0,51	0,1950	0,99	0,3389	1,47	0,4292	1,95	0,4744	2,94	0,4984
0,04	0,0160	0,52	0,1985	1,00	0,3413	1,48	0,4306	1,96	0,4750	2,96	0,4985
0,05	0,0199	0,53	0,2019	1,01	0,3438	1,49	0,4319	1,97	0,4756	2,98	0,4986
0,06	0,0239	0,54	0,2054	1,02	0,3461	1,50	0,4332	1,98	0,4761	3,00	0,49865
0,07	0,0279	0,55	0,2088	1,03	0,3485	1,51	0,4345	1,99	0,4767	3,20	0,49931
0,08	0,0319	0,56	0,2123	1,04	0,3508	1,52	0,4357	2,00	0,4772	3,40	0,49966
0,09	0,0359	0,57	0,2157	1,05	0,3531	1,53	0,4370	2,02	0,4783	3,60	0,499841
0,10	0,0398	0,58	0,2190	1,06	0,3554	1,54	0,4382	2,04	0,4793	3,80	0,499928
0,11	0,0438	0,59	0,2224	1,07	0,3577	1,55	0,4394	2,06	0,4803	4,00	0,499968
0,12	0,0478	0,60	0,2257	1,08	0,3599	1,56	0,4406	2,08	0,4812	4,50	0,499997
0,13	0,0517	0,61	0,2291	1,09	0,3621	1,57	0,4418	2,10	0,4821	5,00	0,499997
0,14	0,0557	0,62	0,2324	1,10	0,3643	1,58	0,4429	2,12	0,4830
0,15	0,0596	0,63	0,2357	1,11	0,3665	1,59	0,4441	2,14	0,4838
0,16	0,0636	0,64	0,2389	1,12	0,3686	1,60	0,4452	2,16	0,4846
0,17	0,0675	0,65	0,2422	1,13	0,3708	1,61	0,4463	2,18	0,4854
0,18	0,0714	0,66	0,2454	1,14	0,3729	1,62	0,4474	2,20	0,4861
0,19	0,0753	0,67	0,2486	1,15	0,3749	1,63	0,4484	2,22	0,4868
0,20	0,0793	0,68	0,2517	1,16	0,3770	1,64	0,4495	2,24	0,4875
0,21	0,0832	0,69	0,2549	1,17	0,3790	1,65	0,4505	2,26	0,4881
0,22	0,0871	0,70	0,2580	1,18	0,3810	1,66	0,4515	2,28	0,4887
0,23	0,0910	0,71	0,2611	1,19	0,3830	1,67	0,4525	2,30	0,4893
0,24	0,0948	0,72	0,2642	1,20	0,3849	1,68	0,4535	2,32	0,4898
0,25	0,0987	0,73	0,2673	1,21	0,3869	1,69	0,4545	2,34	0,4904
0,26	0,1026	0,74	0,2703	1,22	0,3883	1,70	0,4554	2,36	0,4909
0,27	0,1064	0,75	0,2734	1,23	0,3907	1,71	0,4564	2,38	0,4913
0,28	0,1103	0,76	0,2764	1,24	0,3925	1,72	0,4573	2,40	0,4918
0,29	0,1141	0,77	0,2794	1,25	0,3944	1,73	0,4582	2,42	0,4922
0,30	0,1179	0,78	0,2823	1,26	0,3962	1,74	0,4591	2,44	0,4927
0,31	0,1217	0,79	0,2852	1,27	0,3980	1,75	0,4599	2,46	0,4931
0,32	0,1255	0,80	0,2881	1,28	0,3997	1,76	0,4608	2,48	0,4934
0,33	0,1293	0,81	0,2910	1,29	0,4015	1,77	0,4616	2,50	0,4938
0,34	0,1331	0,82	0,2939	1,30	0,4032	1,78	0,4625	2,52	0,4941
0,35	0,1368	0,83	0,2967	1,31	0,4049	1,79	0,4633	2,54	0,4945
0,36	0,1406	0,84	0,2995	1,32	0,4066	1,80	0,4641	2,56	0,4948
0,37	0,1443	0,85	0,3023	1,33	0,4082	1,81	0,4649	2,58	0,4951
0,38	0,1480	0,86	0,3051	1,34	0,4099	1,82	0,4656	2,60	0,4953
0,39	0,1517	0,87	0,3078	1,35	0,4115	1,83	0,4664	2,62	0,4956
0,40	0,1554	0,88	0,3106	1,36	0,4131	1,84	0,4671	2,64	0,4959
0,41	0,1591	0,89	0,3133	1,37	0,4147	1,85	0,4678	2,66	0,4961
0,42	0,1628	0,90	0,3159	1,38	0,4162	1,86	0,4686	2,68	0,4963
0,43	0,1664	0,91	0,3186	1,39	0,4177	1,87	0,4693	2,70	0,4965
0,44	0,1700	0,92	0,3212	1,40	0,4192	1,88	0,4699	2,72	0,4967
0,45	0,1736	0,93	0,3238	1,41	0,4207	1,89	0,4706	2,74	0,4969
0,46	0,1772	0,94	0,3264	1,42	0,4222	1,90	0,4713	2,76	0,4971
0,47	0,1808	0,95	0,3289	1,43	0,4236	1,91	0,4719	2,78	0,4973

Приложение Б

Критические значения критерия Пирсона

 

 

Приложение В

Критические значения коэффициента Стьюдента (t-критерия) для различной доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f=n-1

f=n-1	P
	0.80	0.90	0.95	0.98	0.99	0.995	0.998	0.999
1	3.0770	6.3130	12.7060	31.820	63.656	127.656	318.306	636.619
2	1.8850	2.9200	4.3020	6.964	9.924	14.089	22.327	31.599
3	1.6377	2.35340	3.182	4.540	5.840	7.458	10.214	12.924
4	1.5332	2.13180	2.776	3.746	4.604	5.597	7.173	8.610
5	1.4759	2.01500	2.570	3.649	4.0321	4.773	5.893	6.863
6	1.4390	1.943	2.4460	3.1420	3.7070	4.316	5.2070	5.958
7	1.4149	1.8946	2.3646	2.998	3.4995	4.2293	4.785	5.4079
8	1.3968	1.8596	2.3060	2.8965	3.3554	3.832	4.5008	5.0413
9	1.3830	1.8331	2.2622	2.8214	3.2498	3.6897	4.2968	4.780
10	1.3720	1.8125	2.2281	2.7638	3.1693	3.5814	4.1437	4.5869
11	1.363	1.795	2.201	2.718	3.105	3.496	4.024	4.437
12	1.3562	1.7823	2.1788	2.6810	3.0845	3.4284	3.929	4.178
13	1.3502	1.7709	2.1604	2.6503	3.1123	3.3725	3.852	4.220
14	1.3450	1.7613	2.1448	2.6245	2.976	3.3257	3.787	4.140
15	1.3406	1.7530	2.1314	2.6025	2.9467	3.2860	3.732	4.072
16	1.3360	1.7450	2.1190	2.5830	2.9200	3.2520	3.6860	4.0150
17	1.3334	1.7396	2.1098	2.5668	2.8982	3.2224	3.6458	3.965
18	1.3304	1.7341	2.1009	2.5514	2.8784	3.1966	3.6105	3.9216
19	1.3277	1.7291	2.0930	2.5395	2.8609	3.1737	3.5794	3.8834
20	1.3253	1.7247	2.08600	2.5280	2.8453	3.1534	3.5518	3.8495
30	1.3104	1.6973	2.0423	2.4573	2.7500	3.0298	3.3852	3.6460
40	1.303	1.6839	2.0211	2.4233	2.7045	3.9712	3.3069	3.5510
50	1.298	1.6759	2.0086	2.4033	2.6778	3.9370	3.2614	3.4060
100	1.2901	1.6602	1.9840	2.3642	2.6259	2.8707	3.1737	3.3905
150	1.2872	1.6551	1.9759	2.3515	2.6090	2.8482	3.1455	3.3566
200	1.2858	1.6525	1.9719	2.3451	2.6006	2.8385	3.1315	3.3398
250	1.2849	1.6510	1.9695	2.3414	2.5966	2.8222	3.1232	3.3299
300	1.2844	1.6499	1.9679	2.3388	2.5923	2.8279	3.1176	3.3233

 

---

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1501; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!