ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Магнитогорский государственный технический университет

им. Г. И. Носова»

(ФГБОУ ВО «МГТУ им. Г.И. Носова»)

Кафедра прикладной математики и информатики

Реферат

по дисциплине "Обратные задачи спектрального анализа"

на тему: "Постановка обратных задач. Теоремы единственности".

Выполнила: Путенихина Анна Сергеевна, ТПМм-17-1

Проверил: Кадченко Сергей Иванович, доктор физико-математических наук, профессор

Магнитогорск, 2017

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.. 3

1. ТЕОРЕМА АМБАРЦУМЯНА.. 4

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ... 5

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО ДВУМ СПЕКТРАМ... 9

4. ФУНКЦИЯ ВЕЙЛЯ.. 12

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 15

ВВЕДЕНИЕ

Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления возмущающего оператора по его некоторым заданным спектральным характеристикам, к которым можно отнести спектры при различных краевых условиях, спектральную функцию, нормировочные числа.

Главное место в исследовании обратных задач занимают проблемы существования и единственности решения. Что касается проблемы существования, то и до настоящего времени нет четких критериев глобального решения данного вопроса. Имеются ряд теорем существования для малых потенциалов, но даже в этом случае задачи не были полностью решены. Это связано со значительными математическими трудностями, вызванными нелинейностью уравнений, к которым сводятся обратные задачи. Многие обратные задачи имеют неединственное решение. Поэтому одним из основных вопросов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий, обеспечивающих единственность решения обратной задачи.

Основная идея приложений обратных задач заключается в следующем: по результатам измерений определенных спектральных характеристик пытаются получить информацию об интересующих физических величинах. Обратные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании, в квантовой механике, в радиоэлектронике, теории упругости, в геофизике и т. д.

В настоящее время теория обратных спектральных задач интенсивно развивается благодаря появлению новых приложений в естественных науках.

ТЕОРЕМА АМБАРЦУМЯНА

(1.1)

(1.)

Первый результат в теории обратных спектральных задач принадлежит Амбарцумяну. Рассмотрим краевую задачу

, т.е.

(1.)

ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНЫМ ДАННЫМ

Результат Амбарцумяна является исключением из правил. Вообще говоря, задание спектра не определяет оператор однозначно. в пунктах 2-4 приведены три теоремы единственности, в которых указаны спектральные характеристики, однозначно определяющие оператор.

Мы дадим 2 доказательства теоремы 2. Первое принадлежит Марченко и использует оператор преобразования и равенство Парсеваля. Метод Марченко работает также и для операторов Штурма - Лиувилля на полуоси и позволяет доказать теорему единственности восстановления оператора по его спектральной функции. Второй метод принадлежит Левинсону и опирается на метод контурного интеграла. Отметим, что Левинсон первым применил идеи метода контурного интеграла к исследованию обратных спектральных задач. Доказательство (Марченко). Согласно имеем