Импликацией двух высказываний называется новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе – ложно
Импликация обозначается 
или 
, читается «Если А, то В» («Когда А, тогда В», «А, следовательно В»).
Таблица истинности импликации выглядит так:
| А | В |
|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Компоненты импликации имеют свои собственные «имена»: предложение А называется посылкой или антецедентом, предложение В – заключением или консеквентом.
Пример 6: Чтобы запомнить правило нахождения значения истинности импликации, удобно воспользоваться следующими высказываниями: «Дождь идет», «Асфальт мокрый», «Дождь не идет», «Асфальт сухой».
1) = «Если дождь идет, то асфальт мокрый» = 1;
2) = «Если дождь идет, то асфальт сухой» = 0;
3) = «Если дождь не идет, то асфальт мокрый» = 1 (прошла поливальная машина или растаял снег);
4) = «Если дождь не идет, то асфальт сухой» = 1.
Принятое определение импликации соответствует употреблению союза «если…, то…» не только в математике, но и в обыденной, повседневной речи. Так, например, обращение приятеля «Если будет хорошая погода, то я приду к тебе в гости» вы расцените как ложь в том и только в том случае, если погода будет хорошая, а приятель к вам в гости не придет.
Вместе с тем определение импликации вынуждает считать истинными высказываниями такие предложения, как «Если 2×2 = 4, то Москва – столица России» или «Если 2×2 = 5, то существуют ведьмы». Эти предложения, вероятно, кажутся бессмысленными. Дело в том, что мы привыкли соединять союзом «если…, то…» (так же, как и другими союзами) предложения, связанные по смыслу. Но определениями логических операций смысл составляющих высказываний никак не учитывается; они рассматриваются как объекты, обладающие единственным свойством – быть истинными либо ложными. Поэтому не стоит смущаться «бессмысленностью» некоторых составных высказываний, их смысл не входит в предмет нашего рассмотрения.
|
|
|
5. Эквиваленция (логическая равносильность).
Эквиваленцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны либо ложны.
Эквиваленция обозначается 
или 
, читается «А тогда и только тогда, когдаВ».
Таблица истинности для эквиваленции выглядит так:
| А | В |
|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
В форме эквиваленции, как правило, формулируются определения (например, определения логических операций).
Пример 7:Пусть через А обозначено высказывание «9 делится на 3», а через В – высказывание «10 делится на 3». Составьте высказывания, имеющие логическую структуру: а) ; б) 
; в) ; г) 
; д) 
; е) 
и определите их значения истинности.
Решение. а) = «Если 9 делится на 3, то 10 делится на 3» = 0, т.к. А = 1, а В = 0. б) = «Если 10 делится на 3, то 9 делится на 3» = 1. в) = «9 делится на 3 тогда и только тогда, когда 10 делится на 3» = 0. г) = «10 делится на 3 тогда и только тогда, когда 9 делится на 3» = 0. д) = «Если 9 не делится на 3, то 10 делится на 3» = 1 (т.к. А = 1, то 
= 0 и В = 0, следовательно, = 1). е) = «9 делится на 3 тогда и только тогда, когда 10 не делится на 3» = 1 (А = 1 и 
= 1, тогда = 1).
|
|
|
Формулы алгебры высказываний
Логика высказываний интересуется единственным свойством элементарных высказываний – их значением истинности; составные же высказывания изучаются ею со стороны их логической структуры, отражающей способ, которым они образованы. Структура составных высказываний определяет зависимость их значений истинности от значений истинности составляющих элементарных высказываний.
Так как смысл высказываний математическую логику не интересует, их вполне можно заменить переменными.
Пусть X, Y,…, Z,…, Xi, Yi,…, Zi – переменные, вместо которых можно подставить любые элементарные высказывания (или их значения истинности). Такие переменные называют пропозициональными или высказывательными переменными. С помощью высказывательных переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, т.е. заменить формулой, отражающей его логическую структуру.
|
|
|
Начнем с того, что уточним понятие формулы логики высказываний. Для этого зададим алфавит, т.е. набор символов, которые мы будем употреблять в логике высказываний:
1. Х, Y,…, Z,…, Xi, Yi,…, Zi (i – натуральное число) – символы для обозначения высказывательных переменных;
2. И, Л, 1, 0 – символы, обозначающие логические константы «истина» и «ложь»;
3. 
– символы логических операций;
4. (, ), [, ] – скобки (вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения операций).
Дадим теперь строгое определение формулы логики высказываний (будем говорить формула ЛВ):
1. Всякая высказывательная переменная – формула ЛВ.
2. Символы И, Л, 1, 0 – формулы ЛВ.
3. Если F – формула ЛВ, то 
– формула ЛВ.
4. Если F1 и F2 – формулы ЛВ, то 
, 
, 
и 
– формулы ЛВ.
5. Никаких других формул в логике высказываний нет.
Определение такого вида называется индуктивным. В п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.
Условимся для упрощения записей не заключать в скобки формулы, не являющиеся частями других формул или стоящие под знаком отрицания. Заметим, что в формуле число левых скобок всегда должно быть равно числу правых скобок.
|
|
|
Опишем процедуру формализации высказываний:
1. Если высказывание – простое, то ему ставится в соответствие элементарная формула.
2. Если высказывание – составное, то для составления соответствующей формулы нужно: а) выделить все элементарные высказывания и логические связки, образующие данное составное высказывание; б) заменить их соответствующими символами; в) расставить скобки в соответствии со смыслом данного высказывания.
Пример 8:Определите логическую структуру высказываний (формализуйте высказывания):
1. Е = «Ваш приезд не является ни необходимым, ни желательным».
Составляющие простые высказывания: А = Ваш приезд необходим; В = Ваш приезд желателен. Они соединены между собой неявно имеющимся в высказывании Е союзом «и» и, кроме того, к каждому из них относится частица «не». Таким образом, форма сложного высказывания имеет вид: 
2. Е = «Поиски врага длились уже три часа, но результатов не было, притаившийся враг ничем себя не выдал».
Переформулируем высказывание таким образом, чтобы выделить логические связки, неявно соединяющие простые высказывания: «Если притаившийся враг ничем себя не выдал, то его поиски длились уже три часа и результатов небыло». Теперь можно выделить простые высказывания: А = Враг себя выдал; В = Поиски врага длились уже три часа и С = Результат был. Теперь можно формализовать сложное высказывание: 
.
Замечание: Символ импликации ставится там, где подразумевается вторая часть союза «если…, то…», т.е. на месте «то». Таким образом, формула, полученная во втором примере, читается: «Если не А, то В и не С».
3. Е = «Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6».
В этом высказывании можно выделить следующие элементарные высказывания: А = Число делится на 2, В = Число делится на 3 и С = Число делится на 6. Тогда формула, соответствующая сложному высказыванию, имеет вид: 
.
Последний пример наглядно показывает, почему математическую логику интересует только логическая структура высказываний. Точно такую же логическую структуру, как в третьем примере имеет большое количество, например, математических теорем: «Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм» или «Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу» («Если 
и 
, то 
»).
Пример 9: По форме высказываний и выраженным на естественном языке составляющим его простым высказываниям получить фразу на естественном языке.
1. 
.
Составляющие простые высказывания:
А = Человек с детства давал нервам властвовать над собой.
В = Человек в юности давал нервам властвовать над собой.
С = Нервы привыкнут раздражаться.
D = Нервы будут послушны.
Для начала прочитаем формулу с использованием логических связок, не обращая внимания на смысл составляющих простых высказываний: «Если не А и не В, то не С и D». Теперь подставим вместо букв соответствующие высказывания, не произнося повторяющиеся части или заменяя их синонимами (местоимениями). Получим следующую фразу на естественном языке:
Е = Если человек с детства и юности своей не давал нервам властвовать над собой, то они не привыкнут раздражаться и будут ему послушны. (К.Д. Ушинский)
2. 
.
Составляющие простые высказывания:
А = Некто является врачом.
В = Больной поговорил с врачом.
С = Больному стало легче.
Фраза на естественном языке:
Е = Если больному после разговора с врачом не становится легче, то это не врач. (В.М. Бехтерев)
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1404; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!