Дифференциальное уравнение теплопроводности
Процесс распространения тепла теплопроводностью может быть описан математически дифференциальным уравнением. Это уравнение выводят на основе закона сохранения энергии, при этом предполагают, что физические свойства среды одинаковы по всем направлениям параллелепипеда и не меняются с течением времени.
Количество тепла, которое поступает за счет переноса теплопроводностью через левую грань параллелепипеда:  .
| 
|
Количество тепла, выходящее из параллелепипеда: 
.
Приращение тепла в объеме параллелепипеда за счет переноса по оси 
:
.
По аналогии приращение тепла за счет переноса по оси y и по оси z:
, 
.
Полное приращение тепла в объеме параллелепипеда: 
,
. (1)
По закону сохранения энергии за счет приращения тепла в объеме параллелепипеда энтальпия в объеме параллелепипеда изменится.
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2): 
.
Обозначив 
и произведя сокращения, получим: 
- дифференциальное уравнение неустановившейся теплопроводности, показывающее, насколько быстро нагревается или охлаждается тело за счет теплопроводности (уравнение Фурье).
- температуропроводность , 
.
Для установившегося процесса 
:
, т.к. 
, то 
, т.е. 
.
Теплопроводность однослойной и многослойной плоской стенки
Однослойной
Теплопроводность однослойной плоской стенки
При установившемся процессе (  ) количество тепла, подведенного к стенке и отведенного от нее, должны быть равны между собой и не должны изменяться во времени. Примем, что температура изменяется только в направлении оси х (  ), т.е. температурное поле одномерное (  ).
| 
|
Тогда 
. Интегрируя уравнение, получим: 
,
|
|
|
где С1 и С2 – константы интегрирования.
Константы интегрирования определяют, исходя из граничных условий: при х=0 
; при 
.
Отсюда: 
- градиент температуры.
Так как условия переноса тепла одинаковы для всех точек поверхности и не меняются с течением времени, тогда согласно закону Фурье: 
Или 
. Для непрерывного процесса при 
: 
.
Теплопроводность многослойной плоской стенки
| Как правило, на производстве чаще всего встречаются многослойные стенки. Примеры многослойных стенок: - многослойные материалы: сталь с плакирующим слоем из нержавейки, покрытие из эмали, разных полимеров, краска, теплоизоляция; - загрязнения на поверхности: механические примеси, продукты коррозии, накипь, кокс, продукты побочных реакций и разложения сырья. | 
|
Если плоская стенка состоит из нескольких слоев, отличающихся друг от друга теплопроводностью и толщиной, то при установившемся процессе через каждый слой стенки пройдет одно и тоже количество тепла 
, которое может быть выражено для различных слоев уравнениями: 
- для первого слоя,
|
|
|
- для второго слоя, 
- для третьего слоя
или 
, 
, 
.
Складывая левые и правые части этих уравнений, получим: 
.
- расчетное уравнение для определения количества тепла, которое передается через многослойную плоскую стенку.
- термическое сопротивление многослойной стенки.
Термическое сопротивление загрязнений в процессе эксплуатации увеличивается.
При расчете оборудования применяются постоянные величины 
и 
- термические сопротивления загрязнений данного вида (приводятся в справочниках).
.
По этому же уравнению рассчитываются цилиндрические стенки тонкостенных аппаратов.
Если соотношение наружного 
и внутреннего 
диаметров 
, то ошибка при определении теплопроводности»4 %.
Когда в процессе эксплуатации толщина отложений на поверхности достигает проектного значения, в теплообменнике не будет обеспечиваться нагревание и охлаждение до необходимой температуры. После этого необходимо производить чистку.
Теплоотдача. Закон Ньютона
Закон Ньютона:количество тепла 
, передаваемое от стенки к жидкости или наоборот, пропорционально разности температур на поверхности и в жидкости 
, величине поверхности 
и времени 
: 
,
|
|
|
где  - коэффициент теплоотдачи.
Коэффициент теплоотдачи показывает, какое количество тепла передается в единицу времени через единицу поверхности при разности температур в один градус.
Коэффициент теплоотдачи может быть разным для разных участков поверхности. Его величина зависит от большого числа
| 
|
параметров:теплофизических свойств, наличия или отсутствия фазового перехода, режима течения среды, формы и расположения поверхности в пространстве:
.
Определяющий линейный размер 
может быть внутренним или внешним диаметром трубы для горизонтальных аппаратов, высотой трубы или пластины для вертикальных аппаратов, толщиной пленки для пленочных аппаратов и т.д.
Если коэффициент теплоотдачи для всех участков одинаков (режим установившийся 
), то в интегральной форме уравнение будет выглядеть так:
.
Процесс теплоотдачи дувхстадийный: в пограничном слое тепло передается теплопроводностью, а в основном объеме среды - конвекцией. При конвекции среда движется со скоростью 
.
Тепловое подобие
Так как дифференциальное уравнение Фурье-Кирхгофа, не интегрируется, решение находят в виде критериальной зависимости.
|
|
|
Записываем уравнение Фурье-Кирхгофа для оси z:
. (1)
Граничные условия формулируем, используя законы Фурье и Ньютона:
, 
, 
. (2)
Проводим подобное преобразование уравнений (1) и (2). Используем формальный способ вывода критериев. Снимаем знаки математических операторов:
; 
; 
- из уравнения (1), 
; 
- из уравнения (2).
За масштаб из уравнения (1) выбираем 
: 
Þ 
.
Критерий Фурье – критерий временного подобия или безразмерное время неустановившегося теплового процесса.
: 
- критерий Пекле.
Физический смысл критерия Пекле: отношение интенсивностей (скоростей) переноса тепла за счет движения среды и теплопроводности. 
| Критерий Прандтля характеризует поле теплофизических величин: | :  Þ  .
|
Из уравнения (2) делением обеих его частей на левую часть получают безразмерный комплекс (критерий Нуссельта) 
: 
.
Физический смысл критерия Нуссельта: отношение интенсивностей теплоотдачи и передачи тепла теплопроводностью через пограничный слой.
Для свободного движения (естественная конвекция) скорость движения жидкости при эксперименте определить практически невозможно.
Величина этой скорости зависит от разности плотностей в разных точках объема жидкости. Чем больше разность температур, тем больше скорость. В критериальном уравнении для свободного движения вместо критерия Рейнольдса 
используют производный критерий Грасгофа 
: 
,
где 
- плотности соответственно холодной и нагретой жидкости в объеме и у стенки; b - коэффициент объемного расширения.
.
Критерий Грасгофа характеризует гидродинамический режим потока жидкости в условиях естественной конвекции.
Если теплоотдача происходит с фазовым переходом, то иногда в критериальном уравнении фигурирует критерий конденсации.
- количество теплоты, которое выделяется при фазовом переходе.
- критерий конденсации,
где 
- теплота парообразования.
Критерий конденсации характеризует отношение тепла конденсации и тепла нагревания пленки конденсата.
Полученные критерии входят в критериальное уравнение подобия конвективного переноса тепла:
.
Критериальное уравнение конвективного переноса тепла составляют в виде степенного одночлена.
Явный вид этого уравнения получают экспериментально, т.е. находят коэффициенты А, m, n, k, s.
При решении конкретных задач по найденному значению критерия Нуссельта можно найти коэффициент теплоотдачи 
.
Средняя разность температур
Прямоток.
При прямотоке потоки идут в одном направлении параллельно друг другу, разность температур уменьшается от входа к выходу.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 710; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!