Тема №2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока

Раздел №1. Электротехника.

Тема №1. Линейные электрические цепи постоянного тока

1.1.Элементы электрических цепей постоянного тока

Электромагнитные устройства с происходящими в них физическими процессами можно заменить некоторым расчетным эквивалентом – электрической цепью (ЭЦ).

Электрической цепью называют совокупность источников электрической энергии, соединенных с нагрузками. Электромагнитные процессы в ЭЦ можно описать с помощью понятий: ток – I (А), напряжение – U (В), электродвижущая сила (ЭДС) – Е (В), электрический потенциал в точке а – φ_a, сопротивление – R (Ом), проводимость – g (См), индуктивность – L (Гн), емкость – С (Ф).

Постоянный ток, не изменяющийся во времени ни по величине, ни по направлению, представляет собой упорядоченное «направленное» движение электрических зарядов. Носителями зарядов в металлах являются электроны, в полупроводниках – дырки и электроны, в жидкостях – ионы, в газовом разряде – электроны и ионы. Упорядоченное движение носителей зарядов в проводнике вызывается электрическим полем, создаваемым источниками электрической энергии.

Источник энергии характеризуется величиной и направлением ЭДС и величиной внутреннего сопротивления.

На рис. 1.1а)изображена схема неразветвленной электрической цепи.

в)

а)

б)

Рис. 1.1.

Зависимость протекающего по сопротивлению R тока от напряжения на этом сопротивлении I=f(U), называется вольтамперной характеристикой (ВАХ). Сопротивления, ВАХ которых – прямые линии (рис.1.1.б.), называются линейными, а электрические цепи с такими сопротивлениями – линейными электрическими цепями. Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями, называют нелинейными (рис. 1.1.в.), а электрические цепи с таким сопротивлениями − нелинейными. В неразветвленной цепи через каждый участок протекает один и тот же ток. В разветвленной цепи, представленной на рис.1.2., в каждой ветви протекает свой ток.

Рис. 1.2.

Ветвью называется участок цепи, образованный последовательно соединенными элементами, заключенными между двумя узлами а и b (рис.1.2.). Узел – это точка цепи, в которой сходится не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий нет электрического соединения, то точка не ставится.

1.2. Закон Ома для участка цепи

Напряжение U_ab на участке a-b ЭЦ (рис.1.3.) понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. Ток I течет от точки «а» большего потенциала к точке «b» меньшего потенциала, т.е. на величину падения напряжения на сопротивлении R

Рис. 1.3.

В соответствии с определением напряжение между точками а и b:

Тогда напряжение на сопротивлении R равно произведению протекающего по нему тока на величину этого сопротивления. Так определяется закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС, который можно записать как

Рассмотрим участок цепи, содержащий помимо сопротивления ЭДС, Е.

б)

а)

Рис. 1.4.

На рис. 1.4. (а и б) показаны участки цепей с источником ЭДС, по которым протекает ток I. Найдем разность потенциалов (напряжение) между точками «а» и «с». Согласно определению в обоих случаях имеем

На рис.1.4.а) перемещение от точки «с» к точке «b» является встречным направлению ЭДС Е, поэтому на величину Е

Потенциал в точке «b» на рис. 1.4.б)оказывается выше, чем в точке с на величину ЭДС Е

Поскольку ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах а и b рис. 1.4. потенциал точки а выше потенциала точки b на величину падения напряжения на сопротивлении R

Таким образом, на рис. 1.4.а)

а на рис. 1.4.б).

, или .

Т.о., для участка цепи, содержащего источник ЭДС, можно найти ток этого участка по разности потенциалов .

Ток для схемы рис. 1.4.а) ,

для схемы рис.1.4.б) .

Полученные уравнения выражают закон Ома для участков цепи, включающих источники ЭДС, направленные по току и против тока.

1.3. Источник ЭДС и источник тока

Источник энергии в схеме рис. 1.5.а), очерченный пунктирной линией, включает источник ЭДС Е и внутреннее сопротивление r_вт.

Внешняя характеристика источника напряжения (или ВАХ) в общем случае определяется как ,

где U_xx − напряжение при разомкнутой цепи нагрузки. Этому выражению соответствует прямая наклонная линия на рис. 1.5.а).

а)

б)

Рис. 1. 5.

в)

б)

а)

Рис. 1.6.

Рассмотрим два крайних случая.

1) При и , получим , тогда ВАХ − прямая линия, источник ЭДС (рис. 1.6.б) представляет собой идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого не зависит от величины тока.

2) Если у источника питания повышается ЭДС и внутреннее сопротивление , , то , тогда . Ток источника тока , и ВАХ примет вид, показанный на рис.1.6.в).

Следовательно, источник тока представляет собой идеализированный источник питания, в котором ток не зависит от сопротивления нагрузки.

При построении эквивалентных схем замещения ветви, содержащие источники напряжения, замыкают накоротко (r_вт=0), а ветви с источниками тока ликвидируют (т. к. ). Ток в нагрузке для схем рис. 1.6.б)и в) одинаков;

для источника ЭДС , для источника тока .

Осуществим переход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. Пусть в схеме б) =50 А, =2 Ом, в схеме а) ЭДС =100 В. Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис.1.5.а) равны = 100 В, = 2 Ом.

Можно пользоваться любым эквивалентом, но в основном пользуются источником напряжения.

1.4. Методы расчета электрических цепей постоянного тока

1.4.1.Расчет по законам Кирхгофа

Все ЭЦ подчиняются первому и второму законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма токов, приходящих к любому узлу схемы, равна нулю. Сумма токов, приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла.

Если токи, приходящие к узлу, на рис. 1.7. считать положительными, а токи, уходящие от узла, отрицательными, то, согласно первой формулировке, получим

;

где n – число ветвей, образующих узел.

Рис. 1.7.

Согласно 2-й формулировке

Физически 1-й закон Кирхгофа означает, что при движении электронов по цепи ни в одном из узлов заряды не накапливаются.

Второй закон Кирхгофа так же можно сформулировать двояко. Алгебраическая сумма падений напряжений на резистивных элементах в любом замкнутом контуре равно алгебраической сумме ЭДС. .

В каждую из сумм составляющие слагаемые входят со знаком «+», если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком «-», если не совпадают.

Алгебраическая сумма напряжений участков вдоль любого замкнутого контура равна нулю ,

где m – число участков контура, так, для периферийного контура схемы рис.1.8. имеем .

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменений токов и напряжений во времени.

При составлении уравнений для расчетов токов в ветвях схемы с помощью законов Кирхгофа учитываем, что в каждой ветви течет свой ток.

Рис. 1.8.

Обозначим число всех ветвей схемы через «б», число ветвей, содержащих источники тока, через «б_ист.т», и число узлов – через «у». Так как токи в ветвях с источниками тока неизвестны, то число неизвестных токов запишем как «б» - «б_ист.т».

Перед тем как составить уравнения, необходимо а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) выбрать положительные направления контуров для составления уравнений по 2-ому закону Кирхгофа.

Желательно во всех контурах положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например, по часовой стрелке, как показано на рис. 1.9.

Чтобы получить независимые уравнения, по 1-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т.е. «у-1». По 2-ому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока б - б_ист.т, за вычетом числа уравнений, составленных по 1- му закону Кирхгофа. В рассмотренном (б - б_ист.т)-(у -1) = 3 – 2 + 1 = 2.

При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в контуры, для которых уже записаны уравнения. Такие контуры условно можно назвать независимыми.

По 1- ому закону Кирхгофа составляем одно уравнение .

По 2-ому закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Для контура , знак «+» взят перед , потому что направление тока совпадает с направлением обхода контура; знак «-» перед показывает, что направление встречно обходу контура.

Для контура .

Используя законы Кирхгофа, можно для любой разветвленной электрической цепи составить необходимое число уравнений, путем совместного решения которых можно найти все определяемые величины (например, токи), а также установить зависимости между ними.

1.4.2. Преобразование ЭЦ с различным соединением сопротивлений

1. Последовательным соединением сопротивлений называется такое, когда конец первого сопротивления соединяется с началом второго, конец второго сопротивления с началом третьего и т.д. Начало первого сопротивления и конец последнего подключаются к источнику питания или к каким-либо точкам ЭЦ (рис. 1. 9.). Во всех сопротивлениях протекает один и

Рис. 1.9.

тот же ток.

Рис. 1. 9.

Ток в цепи, напряжения на сопротивлениях и потребляемые ими мощности определяются следующими соотношениями.

1. Эквивалентное сопротивление электрической цепи .

2. Ток в сопротивлениях цепи .

3. Напряжение и мощность, подводимые к электрической цепи с последовательным соединением сопротивлений равны, соответственно, сумме напряжений и мощностей ,

4. Напряжение и мощности распределяются пропорционально сопротивлениям .

2. При параллельном соединении сопротивлений соединяются между собой как начало всех сопротивлений, так и их концы (рис. 1.10.).

Характерным для параллельного соединения является одно и то же напряжение на зажимах всех сопротивлений. Параллельно соединяются обычно различные приемники электрической энергии, рассчитанные на одно и то же напряжение. При параллельном соединении не требуется согласовывать номинальные данные приемников, возможно включение и отключение любых приемников независимо от остальных, а при выходе из строя любого из них остальные остаются включенными.

б)

а)

Рис. 1. 10.

Параллельное соединение можно применить, если требуется уменьшить сопротивления какого-либо участка электрической цепи, как показано на рис. 1.10.б).

Токи и мощности параллельно соединенных ветвей рис.1.10.а) при не зависят друг от друга.

1. Общий ток равен сумме токов параллельно соединенных ветвей

где: − эквивалентная проводимость, равная

− эквивалентное сопротивление, .

2. Токи и мощности в ветвях в ветвях вычисляются по формулам ; ; ; .

3. Отношение токов и мощностей равно отношению проводимостей и обратно пропорционально отношению сопротивлений

При увеличении параллельно соединенных сопротивлений эквивалентная проводимость ЭЦ увеличивается, а эквивалентное сопротивление уменьшается, что приводит к увеличению тока. Если напряжение остается const, то увеличивается также общая мощность.

, или .

3. Смешанным или последовательно-параллельным называется такое соединение сопротивлений, при котором на одних участках ЭЦ сопротивления соединены параллельно, а на других последовательно.

Анализ и расчет ЭЦ со смешанным соединением сопротивлений производится методом преобразований. Электрическая цепь (рис. 1.11.а) заменяется последовательно эквивалентными цепями до образования схемы, изображенной на рис. 1.11.б).

б)

а)

Рис. 1.11.

В соединении «треугольником» конец одного из сопротивлений соединяется с началом следующего и т.д., а узлы a,b,c подключаются к остальной части ЭЦ. В соединении «звездой» все концы соединяются вместе, а начала фаз подключаются к схеме. Если заменить сопротивление , , , соединенные в треугольник, эквивалентными сопротивлениями, соединенными звездой, то получим цепи со смешанным соединением сопротивлений.

Преобразование «звезды» в «треугольник»

б)

а)

Рис. 1. 12.

После замены токи и направления должны остаться без изменений.

Для «треугольника» ;

Для соединения звездой

По условию эквивалентности эквивалентные сопротивление обеих схем равны , следовательно, можно записать

1) ;

Структуры соединением «треугольник» и «звезда» по отношению к узлам симметричны, поэтому циклично запишем

2) ;

3) .

Сложим 1) и 3), вычтем 2), всё поделим на 2, получим

, , .

Если в «треугольнике» равны, то и в «звезде» равны: .

Возможно обратное преобразование звезды из резистивных элементов в эквивалентный треугольник. Для этого надо попарно перемножить 1) и 3) и сложить, затем вынести общий множитель и полученное уравнение разделить на 3)уравнение, т.е. . Далее поочередно поделить то же уравнение на и .

Путем циклической подстановки индексов при преобразовании звезды в треугольник получим

, , .

На рис. 1.13. поясняется упрощение схемы путем последовательной замены эквивалентными цепями при преобразовании «треугольника» в «звезду».

а)

б)

Рис. 1.13.

в)

г)

1.4.3. Метод контурных токов

При расчете методом контурных токов за искомое принимают контурные токи. Число неизвестных равно числу уравнений, которые необходимо было составить по II закону Кирхгофа. Следовательно, в методе контурных токов меньшее число уравнений, чем в методе на основе законов Кирхгофа.

Рис. 1. 14.

Рис. 1.14

В схеме рис. 1.14.два независимых контура. Допустим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток

, в правом – контурный ток

. Для каждого из контуров составим уравнение по II закону Кирхгофа.

Рис. 1.14.

Для первого контура , или

Для второго контура , или

В уравнении для 1-го контура множитель при токе , являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через . Множитель при токе , взятый со знаком «-», обозначим через . Уравнения для 1-го и 2-го контуров примут вид , , здесь

; ;

где − полное или собственное сопротивление первого и второго контуров, соответственно.

− взаимное сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятые со знаком «-».

− контурные ЭДС первого и второго контуров, равные алгебраической сумме ЭДС, входящих в эти контуры.

Со знаком «+» входят ЭДС, направление которых совпадает с направлением обхода контура.

Отметим, что члены, содержащие полные контурные сопротивления, положительны, а взаимные – отрицательны.

Если в схеме будет три контура, то система уравнений примет вид

;

Или в матричной форме

, , .

Если в электрической цепи имеется «n» независимых контуров, то количество уравнений тоже равно n. Решение удобно проверить методами Крамера и Гаусса.

Общее решение системы n уравнений относительного тока

где и − определители системы.

По найденным токам ищем действительные токи ; ; ; ; , находим из 1-го закона Кирхгофа.

1.4.4. Метод узловых потенциалов.

а)

б)

в)

Рис.1.15

Рис. 1. 15.

По 1-му закону Кирхгофа для 1-го узла

, ;

или через проводимости

для 2-го узла

, ,

1) Узловая проводимость узла − это сумма проводимости ветвей, сходящихся в данном узле.

; ; .

2) Взаимная проводимость двух любых узлов − сумма проводимости ветвей, включённых между этими узлами.

; ; ; ; .

3) Узловой ток − сумма произведений ЭДС на проводимости ( ) ветвей, сходящихся в данном узле. Если ЭДС направлена к узлу, то берем ее как «+»; от узла «−».

; ; .

4) В системе уравнений все члены, содержащие узловые проводимости берутся со знаком «+», а содержащие взаимные проводимости − со знаком «-».

Решив систему уравнений, найдем потенциалы всех узлов. По этим потенциалам определяем токи ветви ,

если ток получился со знаком «-», значит в действительности он направлен в противоположную сторону.

; ; ; ; .

1.4.5. Метод узлового напряжения (2-х узлов)

Метод узлового напряжения − это частный случай метода узловых потенциалов, дает возможность упрощенного расчета ЭЦ, содержащей несколько параллельно соединенных ветвей (рис. 1.16.а).

Поскольку в верхних и нижних шинах схемы не включено каких-либо сопротивлений, то электрическую цепь рис.1.16.а) можно заменить цепью, изображенной на рис. 1.16.б).

В зависимости от величин и направлений ЭДС между узловыми точками а) и б) установится определенное узловое напряжение U. Если оно известно, то легко найти токи между двумя узлами а и б.

Выберем условные положительные направления токов, как показано на рис. 1.16. По 2-ому закону Кирхгофа для контура, включающего 1-ю ветвь

, .

Так же найдем токи ветвей и

, .

По закону Ома найдем ток для 4-ой ветви .

Рис. 1. 16.

б)

а)

Для вывода формулы, позволяющей определить напряжение U, запишем уравнение по 1- му закону Кирхгофа для узла а

Заменим токи полученными выражениями

После группировки членов получим формулу узлового напряжения

, или в общем виде .

1.4.6. Метод наложения токов

а)

Метод наложения токов называют также методом суперпозиции или эквивалентных сопротивлений.

Принцип наложения заключается в следующем: при воздействии 2-х источников ток каждой ветви определяется как сумма токов от действия каждого из источников (рис. 1.17.а). При определении токов в каждой ветви

I₁

оставляем один источник Е, в 1-й ветви, остальными пренебрегаем. Затем также поступаем с источником Е в другой ветви.

а) б) в)

Рис. 1.17.

б)

В схеме рис. 1.17.б)

б)

. Оставляем

Это приведенные токи.

в)

В схеме рис. 1.17.в)

. Оставляем

, остальных нет.

Рис. 1. 17.

; .

Это приведенные токи.

Чтобы найти действительные токи произведем наложение. Найдем алгебраическую сумму токов в ветвях.

Если составляющие токов в ветви направлены в одну сторону, то действительный ток ветви равен их сумме; если встречно – то действительный ток равен их разности ; ; .

1.4.7. Метод эквивалентного генератора

Удобен, если необходимо найти ток в одной ветви сложной ЭЦ, не рассчитывая токи в других ветвях. Принцип метода состоит в замене сложной ЭЦ активным 2-х полюсником А – эквивалентным источником энергии.

Действуем методом наложения, цепь разбиваем на 2 части по сечению ab (рис.1.18.а.).

а) б) в) г)

Рис.1.18.

Имеем:

А – активный 2-х полюсник (с источником ЭДС), с 2-мя выводами a, b, который подсоединен к R_H. Требуется найти ток в цепи R_H_.

б)

Чтобы найти ток, заменим R_H на источник ЭДС, равный падению напряжения на этом сопротивлении, согласно теореме компенсации.

в)

Ток не изменился, так как U_ab=U=const. Источник E_H работает в режиме потребителя. Для определения тока в цепи используем метод наложения. Активный 2-х полюсник А работает в режиме короткого замыкания, так как источник Е_Н не действует,

г)

Если

, то есть все ЭДС в активном 2-х полюснике равны 0, то активный 2-х полюсник А не действует и становится пассивным 2-х полюсником П с R_вх. Действует только Е_Н=U. Ток пассивного 2-х полюсника

Рис. 1. 18.

Проведем наложение , .

Если 2-х полюсник работает в режиме холостого хода, когда ,

; .

Т.о., активный 2-х полюсник А можно заменить эквивалентным источником напряжения, ЭДС которого равна U_хх активного 2-х полюсника (Е_г=U_хх), а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению активного 2-х полюсника R_вт = R_вх..

г)

1.5. Энергетический баланс в электрических цепях

При протекании токов по сопротивлениям в них выделяется тепло. На основании закона сохранения энергии количество тепла, выделяемого в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источниками питания.

В случаях, когда направление тока I, протекающего через источник ЭДС Е, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС поставляет в цепь в единицу времени энергию, и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Если направление тока I встречно направлению ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккомулятор) и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.

Уравнение энергетического баланса при питании ото всех источников ЭДС имеет вид

Общий вид уравнения энергетического баланса с учетом энергии, доставляемой источниками тока, выражается как .

Тема №2. Электрические цепи однофазного синусоидального тока

2.1. Получение синусоидальной ЭДС, основные соотношения.

Электрические цепи, в которых величины и направления ЭДС, напряжения и тока периодически изменяются во времени по синусоидальному закону, называют цепями синусоидального тока или цепями переменного тока.

В генераторах электростанций возникающая в их обмотках ЭДС изменяется по синусоидальному закону. ЭДС в линейных цепях, где содержатся активные сопротивления, индуктивности и емкости, возбуждает ток, изменяющийся по закону синуса. Возбуждающиеся при этом ЭДС самоиндукции в катушках и напряжения на конденсаторах также изменяются по закону синуса, так как производная синусоидальной функции есть функция синусоидальная

Любая другая периодическая функция имеет производную, отличную от исходной.

Необходимость использования синусоидального тока обусловлена тем, что коэффициент полезного действия генераторов, двигателей, трансформаторов и линий электропередач получается большим по сравнению с несинусоидальным током. Кроме того, расчет цепей, где ЭДС напряжение и ток изменяются по закону синуса, значительно проще.

Рассмотрим получение ЭДС и основные соотношения, характерные для синусоидальной ЭДС. Для этого используем модель – проводник, вращающийся в равномерном магнитном поле c угловой скоростью за время .

Проводники рамки, перемещаясь в магнитном поле, пересекают его, и в них на основании закона электромагнитной индукции возникает ЭДС (рис.2.1.а). Величина ЭДС пропорциональна магнитной индукции В, длине проводника и скорости перемещения проводника относительно поля V_t, или окружной скорости V.

Наибольшее значение ЭДС в проводнике, возникает при

мгновенное значение ЭДС, возникающей в проводнике рамки в любой момент времени, равно

где – максимальное или амплитудное значение ЭДС.

Рис. 2. 1.

За один оборот рамки происходит полный цикл изменения ЭДС.

Если при t = 0 значение ЭДС не равно нулю, то , где аргумент синуса или фаза, характеризующая значение ЭДС в данный момент времени; начальная фаза, определяющая значение ЭДС при t=0.

Время, в течение которого совершается один цикл периодического процесса, называется периодом Т, а число периодов в секунду − частотой f, f = 1/T.

Единицей измерения f является 1/c, или Герц (Гц), − рад/сек.

Выбор частоты промышленных установок в РФ и странах Европы 50Гц обусловлен технико-экономическими соображениями. При меньших частотах габариты, вес и стоимость трансформаторов и машин выше, заметнее пульсации источников света. При увеличении частоты в электрических машинах увеличиваются потери энергии, повышается падение напряжения в проводах.

Волновой график зависимости ЭДС от времени изображен на рис.2.1.в) сплошной линией для , пунктирной – для .

Синусоидальный ток изменяется во времени по синусоидальному закону: .

Т.о., любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой скоростью , начальной фазой .

2.2. Представление синусоидальной функции в комплексной форме.

На рис. 2.2. дана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа.

Комплексное число А имеет действительную (вещественную) часть, которую откладывают по оси абсцисс комплексной плоскости, и мнимую, которую откладывают по оси ординат.

Рис. 2. 2.

Рис.2.2.

На оси действительных значений ставим +1, а на оси мнимых значений +j (j = ). Геометрическое изображение числа А – (а+jb).

Из курса математики известна формула Эйлера

Комплексное число изображают на комплексной плоскости вектором 0А, численно равным 1 и составляющим угол с осью вещественных значений (осью +1). Угол отсчитывают против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции находим, используя теорему Пифагора .

Проекция множителя вращения вектора на оси +1 равна , а на оси +j равна . Умножив обе части формулы Эйлера на амплитудное значение тока , получим .

2.3. Векторные диаграммы.

В электротехнике векторами изображаются ЭДС, напряжения и токи, изменяющиеся по закону синуса.

Рис.2.3.

Радиус - вектор 0А (рис.2.3.а) представляющий собой амплитудное значение Е_m, вращается с постоянной угловой скоростью против часовой стрелки. Проекция вектора 0А на вертикальную ось Y равна .

Выразив 0А через амплитудное значение ЭДС E_m и через t, получим выражение мгновенного значения ЭДС, изменяющейся по закону синуса

комплекс тока при t = 0 запишется как I = I_m sin = I_m

На графике мгновенных значений ЭДС (рис.2.3.б) за начало отсчета выбран момент времени, когда радиус-вектор совпадает с горизонтальной осью Х.

Если в момент t = 0 радиус вектор ОА на рис.2.3.а) расположен под углом к оси Х , то проекция Оа’ и, следовательно, e равны

, .

Аналогичным образом можно представить в виде вектора, вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью. Мгновенные значения тока и напряжения _, , где I _m, U_m – комплекс амплитуды.

Если сложить два тока i₁ и i₂с одинаковой частотой, сумма их даст вектор тока с такой же частотой ; ; .

Для нахождения амплитуды I_m и начальной фазы тока на комплексной плоскости (рис. 2.4.а) ток обозначим вектором ₁_m= I₁_m , а ток вектором ₂_m= I₂_m .

Рис. 2.4.

Геометрическая сумма векторов ₁_m и ₂_m дает комплексную амплитуду суммарного тока _m= I_m.

Амплитуда тока _m определяется длинной суммарного вектора, а начальная фаза углом, образованным этим вектором и осью +1. При построении векторных диаграмм исходный вектор (рис.2.4.б) располагают на плоскости произвольно (под углом ), остальные векторы под соответствующими углами ( и ). Величина и направление векторов сохраняются при последующем построении до получения суммарного вектора под углом .

Если бы векторы I₁_m, I₂_m, I_m, изображенные на рис. 2.4. стали вращаться вокруг начала координат с одинаковой угловой скоростью , то взаимное расположение векторов по отношению друг с другом осталось бы без изменений.

Обычно векторные диаграммы строят не для амплитудных, а для действующих значений, отличающиеся только масштабами, так как .

Итак, векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени с одинаковой частотой и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе, или более компактное определение это совокупность нескольких векторов. При построении векторных диаграмм один из нескольких векторов (рис.2.4.б) располагают на плоскости произвольно, остальные векторы под соответствующими углами к исходному.

2.4. Среднее и действующее значение синусоидально изменяющейся

величины

Под средним значением синусоидально изменяющееся величины понимают среднее арифметическое значение ее за полпериода (т.к. среднее значение за период равно 0). Среднее значение тока может быть найдено из равенства количества тепла Q, выделяющегося за полупериод при переменном и постоянном токе (соответственно, Q₁ и Q₂). Q₁= Q₂=I_{ср .}

Приравняв Q₁ и Q₂, получим , то есть среднее значение синусоидального тока составляет = 0,637 от амплитудного. Аналогично, , _.

Количество тепла, выделенное за период синусоидальным током, равно

Количество тепла, выделенное за то же время постоянным током, равно RI²_постТ.

Приравняв количество тепла, выделенного переменным и постоянным током за период, получим , или .

Т.о., действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток. Когда говорят о величинах напряжения, ЭДС, тока в цепях переменного тока имеют в виду их действующее значение. Действующему значению тока пропорциональна сила, действующая на подвижную рамку измерительного прибора. Шкалы измерительных приборов переменного тока и напряжения градуируются в действующих значениях. Например, если прибор показывает 10 А, то это значит, что амплитуда тока А.

Отношение действующего значения к среднему значению какой-либо периодически изменяющейся величины называется коэффициентом формы кривой. Для синусоидального тока .

2.5. Синусоидальный ток в активном сопротивлении.

Сопротивление переменному току, в котором выделяется энергия в виде тепла, называется активным. Сопротивления, в которых энергия запасается в электрическом или магнитном полях, называют реактивными. Реактивными сопротивлениями обладают индуктивности и емкости. Рассмотрим цепь, содержащую только активное сопротивление.

Рис. 2.5.

Выразив мгновенное значение напряжения через амплитудное, получим откуда .

Разделив левую и правую части на , получим закон Ома для цепи с активным сопротивлением, выраженный действующими значения напряжения и тока .

В активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма цепи изображена на рис. 2.5.б), а осциллограммы, напряжения и мощности на рис. 2.5.в).

Мгновенная мощность в цепи с активным сопротивлением равна произведению мгновенных значений тока и напряжения

Мгновенная мощность изменяется от 0 до , оставаясь все время положительной. Это означает, что в цепи с активным сопротивлением мощность P все время поступает из сети к потребителю r.

Среднее значение мощности за период

Средняя мощность Р_ср преобразуется в активном сопротивлении в тепло, называется активной, и измеряется ваттметром в Вт.

2.6. Электрическая цепь с индуктивностью

Обмотки электрических машин, трансформаторов, магнитных усилителей, электромагнитов, реле, контакторов, индукторов электрических нагревательных устройств, печей переменного тока и др. обладают значительной индуктивностью. Параметрами катушек являются активное сопротивление R и индуктивность L. Изменяющийся во времени ток наводит в этих катушках ЭДС самоиндукции, которая затягивает нарастание тока и его спад.

Рассмотрим катушку, в которой сопротивление мало и им можно пренебречь.

Рис. 2.6.

Если ток в цепи изменяется по синусоидальному закону, то ЭДС самоиндукции

Уравнение, составленное по 2- ому закону Кирхгофа, для цепи? изображенной на рис. 2.6.а), имеет вид

тогда

Продифференцировав полученное выражение, получим

Таким образом, в цепи с индуктивностью, напряжение на индуктивности изменяется по синусоидальному закону, и опережает по фазе ток на .

Напряжение и ток в цепи с индуктивностью связаны соотношениями

Разделив левую и правую части на , получим закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью где индуктивное сопротивление, Ом.

Уравнение цепи для действующих значений .

Т.о., ЭДС самоиндукции может быть определена через ток и индуктивное сопротивление.

Мгновенная мощность в цепи с индуктивностью равна

откуда следует, что мгновенная мощность при чисто индуктивной нагрузке изменяется по закону синуса с частотой, в 2 раза большей частоты тока. Амплитудное значение мощности .

Осциллограмма рис. 2.7. показывает, что среднее значение мощности за период (активная мощность) равно нулю

Рис. 2.7.

В интервале от t = 0 (точка 1) до t = 1/4 (точка 2), когда ток в цепи возрастает от 0 до , электрическая энергия из сети поступает в индуктивность, где преобразуется и накапливается в виде магнитного поля. Эта энергия обозначена заштрихованной площадью p и отмечена знаком «+».

В интервале времени между точками 2 и 3 ток в цепи убывает. Энергия магнитного поля преобразуется в электрическую и возвращается в сеть. Эта мощность на временном графике р отмечена знаком «-». В точке 3 ток и энергия магнитного поля равна 0.

Из временного графика на рис. 2.7. видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергию, равны. Следовательно, энергия, накопленная в магнитном поле индуктивностью L в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

В следующую четверть периода в интервале времени между точками 3 и 4 изменяется направление тока и магнитного потока. Происходящий процесс, аналогичен процессу в первой четверти периода.

Т.о., в цепи с индуктивностью происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между источником энергии и индуктивностью, причем потерь энергии при этом не возникает.

2.7. Цепь, содержащая сопротивление- r и индуктивность- L

Катушка любого электротехнического устройства обладает активным сопротивлением R и индуктивностью L. При анализе таких цепей катушку обычно изображают в виде двух идеальных элементов r и L, соединенных последовательно (рис. 2.8.а).

Рис. 2.8.

Уравнение напряжений, составленное по второму закону Кирхгофа для rL-цепи, имеет вид: u = u_r + u_L_,или в тригонометрической форме: u = I_m r , где u_r = I_m r напряжение на активном сопротивлении, совпадающее по фазе с током;

u_L = напряжение на индуктивном сопротивлении, опережающее по фазе ток на 90°.

На векторной диаграмме (рис. 2.9.б) вектор , совпадает с вектором тока, а вектор опережает вектор тока на 90°. Из треугольника напряжений следует, что вектор напряжения сети равен геометрической сумме векторов и . = + ,

а его величина ,

откуда ,

где полное сопротивление цепи, Ом.

а) б)

Рис. 2. 9.

Из векторной диаграммы следует, что напряжение rL- цепи опережает по фазе ток на угол ; мгновенное значение напряжения ,

угол определяют из отношения

Следовательно, угол зависит только от параметров цепи r и . Умножив стороны треугольника на ток, получим треугольник мощностей (рис.2.9.в), а разделив стороны треугольника напряжений на ток, получим треугольник сопротивления (рис.2.9.г). Стороны треугольника сопротивлений представляют собой отрезки, а не векторы, так как сопротивления есть постоянные, не изменяющиеся по закону синуса величины. Пользуясь треугольником сопротивлений, без расчета и построения векторной диаграммы легко определить .

Мгновенная мощность в r L - цепи с равна произведению мгновенных значений напряжения и тока

Средняя мощность за период

Выразив произведение синусов через разность косинусов, после интегрирования получим

Полученное выражение показывает, что средняя мощность в rL - цепи есть активная мощность, которая выделяется в активном сопротивлении r в виде тепла. График мгновенных значений напряжения и мощности изображен на рис. 2.9.а). Мгновенную мощность удобно представлять в виде суммы мгновенных значений активной и реактивной (индуктивной) мощностей

Временные диаграммы , изображены на рис. 2.9.б).

Т.о., энергетические процессы в rL- цепи можно рассматривать как совокупность процессов, происходящих в цепях только с активным сопротивлением r и только с индуктивностью L.

Из временного графика (рис. 2.7.) видно, что активная мощность непрерывно поступает из сети, она выделяется в активном сопротивлении в виде тепла .

Мгновенная мощность , обусловленная индуктивностью, непрерывно циркулирует между сетью и катушкой. Её среднее значение за период равно нулю.

2.8. Цепь, содержащая емкость -С.

В радиоэлектронных устройствах емкость является элементом колебательных контуров, фильтров, элементом связи между контурами и т. д. В силовых установках конденсаторы используют для улучшения коэффициента мощности. В электрических установках емкости образуются между проводами, проводами и землей и другими элементами токоведущих конструкций. При большой протяженности проводов емкость может оказаться значительной и при расчете цепей даже с низкой, например, промышленной частотой, ее необходимо учитывать. В высокочастотных цепях небольшие емкости оказывают существенное влияние на режим работы цепи и их надо учитывать.

Ток в цепи с емкостью С рис. 2.10.а) представляет собой движение зарядов к ее обкладкам .

Выразив заряд q через емкость С и напряжение на емкости : , получим , напряжение на емкости изменяется по закону синуса тогда ток в цепи .

Взяв производную, получим мгновенное значение тока в цепи с емкостью , то есть ток в цепи с емкостью и напряжение на емкости изменяются по закону синуса, но напряжение отстает по фазе от тока на угол 90 ^о.

Рис. 2.10.

Векторная диаграмма цепи с емкостью приведена на рис. 2.10.б), а график мгновенных значений тока и напряжения на рис. 2.10.в). Напряжение и ток в цепи с емкостью связаны соотношением

Напряжение на емкости в цепи переменного тока может быть выражено через произведение тока на емкостное сопротивление .

Мгновенная мощность в цепи с емкостью равна произведению мгновенных значений напряжении и тока

Из полученного выражения вытекает, что мгновенная мощность изменяется по закону синуса с частотой в два раза большей частоты тока.

Среднее значение мощности за период (активная мощность), равно нулю .

На временных графиках рис. 2.10.в) в первую четверть периода в интервале между точками 1 и 2, происходит заряд конденсатора: электрическая энергия из сети поступает к конденсатору, преобразуясь и накапливаясь в нем в виде энергии электрического поля. Накопленная энергия равна площади, ограниченной кривой p(t) (отмечена знаком «+») и составляет

В следующую четверть между точками 2 и 3 происходит разряд конденсатора, энергия электрического поля возвращается в сеть. Энергия, возвращенная в сеть, равна площади ограниченной кривой p(t) (отмеченная знаком «-»).

Из графиков рис. 2.10.в) видно, что площади, определяющие запасенную и отданную энергии, равны. Следовательно, энергия, накопленная в электрическом поле емкости в первую четверть периода, полностью возвращается в сеть во вторую четверть периода.

Таким образом, в цепи с емкостью, также как и в цепи с индуктивностью, происходит непрерывный периодический процесс обмена энергией между сетью и конденсатором, причем потерь энергии при этом не возникает.

2.9. Цепь, содержащая сопротивление- r и емкость-С.

rС-цепь представим как участок, обладающий емкостным сопротивлением . В этом случае уравнение напряжений цепи имеет вид . полная (кажущаяся) мощность цепи, ВА, коэффициент мощности цепи.

Косинус угла сдвига фаз между током и напряжением можно выразить также через сопротивления .

Мгновенная мощность цепи .

Средняя мощность за период .

Мгновенное напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током

Мгновенное напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол 90⁰

Мгновенное напряжение, приложенное к цепи

На диаграмме треугольника напряжений вектор совпадает с вектором тока, вектор отстает от вектора тока на угол ; вектор напряжения, приложенного к цепи, равен геометрической сумме векторов и

= + , а его величина , откуда или .

Полученное выражение представляет закон Ома rС- цепи.

Таким образом, средняя мощность в цепи, содержащей r и С, такая же, как и в r L- цепи и представляет собой активную мощностью, которая выделяется в активном сопротивлении r в виде тепла. Это иллюстрирует график мгновенной мощности цепи с r, С (рис. 2.11.в). Стороны треугольника мощностей (рис. 2. 11.б), представляют

активная мощность цепи, Вт;

реактивная (емкостная) мощность цепи, ВАр;

полная (кажущаяся) мощность цепи, ВА;

− коэффициент мощности цепи.

Рис. 2.11.

Измерения активной, реактивной, полной мощностей и , а также параметров r, С можно произвести с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра.

2.10. Построение диаграммы при параллельном соединении потребителей

Рассмотрим графоаналитический метод расчета цепи с параллельным соединением потребителей (рис. 2.12.а).

В параллельной цепи напряжения на каждой ветви одинаковы, общий ток равен векторной сумме токов ветвей

; ; .

Угол сдвига φ между током в каждой ветви и напряжением определяются с помощью сos φ

; ; .

а)

Рис. 2.12.

Общий ток в цепи, как следует из первого закона Кирхгоффа, равен геометрической сумме токов .

Значение общего тока определяют графически из векторной диаграммы (рис 2.12.б).

Для анализа разветвленных цепей переменного тока также можно использовать проводимости, с помощью которых разветвлённую цепь можно преобразовать в простейшую цепь и аналитически рассчитать токи и напряжения всех ее участках.

При этом необходимо учитывать, что в цепях переменного тока в отличие от цепей постоянного тока, существует три проводимости – полная, активная и реактивная, причем только полная проводимость является величиной обратной полному сопротивлению последовательного участка цепи.

2.11. Резонанс напряжений

Явления резонанса широко используются в электронных устройствах. Резонанс наступает при равенстве собственной частоты колебаний системы и частоты колебаний возмущающей силы, действующей на систему. Резонанс может возникнуть в цепях переменного тока, где одновременно есть индуктивность и емкость. Собственная частота для идеального контура LC без потерь, когда r = 0

В общем случае резонансная частота контура не равна .

При резонансе в электрической цепи ток и напряжение совпадают по фазе, и эквивалентная схема представляет собой активное сопротивление (рис.2.13.а). Такое состояние цепи имеет место при равенстве резонансной частоты контура частоте напряжения, подведенного к контуру, малые напряжения, приложенные к цепи, могут вызывать значительные токи и напряжения на отдельных ее участках.

а) б)

Рис. 2.13.

Резонанс напряжений возникает в цепи, где r, L, C соединены последовательно, рассмотрим резонанс напряжений на примере цепи рис. 2.13.б).

Вектор напряжения на активном сопротивлении совпадает с вектором тока. Вектор напряжения на индуктивности опережает вектор тока на . Поэтому между векторами напряжений на индуктивности и емкости образуется угол (рис.2.14.а).

Если , то и , и векторная диаграмма будет иметь вид, изображенный на рис. 2.14.б).

Если , то векторная диаграмма будет иметь вид, изображенный на рис. 2.14.в).

При построении диаграмм на рис. 2.14.б) в активное сопротивление катушки неучитывалось, принималось r = 0, . При резонансе ток контура и напряжение сети совпадают по фазе, угол , полное сопротивление цепи равно ее активному сопротивлению r

При реактивное сопротивление цепи равно нулю, и согласно рис.2.14.а) а Z = r.

Рис. 2.14.

Выразив и через L, C, , получим , или

Т.о., частота напряжения, подведенного к контуру, равна резонансной частоте, а есть условие резонанса напряжений в цепи при последовательном соединении R, L, C.

Из выражения закона Ома для последовательной цепи вытекает, что ток в цепи при резонансе равен напряжению, деленному на активное сопротивление r = U/r. При резонансе напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости .

При больших значениях и относительно r эти напряжения могут во много раз превышать напряжения сети.

Рис. 2.15.

При резонансе реактивная энергия циркулирует внутри контура от индуктивности к емкости и обратно, обмена реактивной энергии между источником и цепью не происходит. Ток в проводниках, соединяющих источник с цепью, обусловлен только активной мощностью.

Для анализа цепей часто используют метод частотных характеристик.

На рис. 2.15. изображены графики зависимости U_x, U_с, U_L, I, r, X_c, X_L от частоты при неизменном напряжении сети.

При f=0: X₁= ; X_c= = , I=0; U_r=I_r=0; U_L=I X_L=0; U₀= U;

При f = f_рез: X_L = X_c; I = ; U_L= U_c ; U_r= U;

При : X; X_с ; I ; U_r; U_с; U_L_.

В интервале частот от f = 0 до f = f_резнагрузка имеет емкостный характер, ток опережает по фазе напряжение сети, в диапазоне f_рез →∞ возрастает роль индуктивной нагрузки. Наибольшее значение напряжения на емкости получается при частоте несколько меньшей резонансной, на индуктивности − при частоте несколько большей резонансной.

2.12. Резонанс токов

Резонансом токов называется резонанс в цепи при параллельном соединении потребителей. При резонансе токов общий ток всей цепи совпадает по фазе с напряжением, реактивная мощность равна нулю, цепь потребляет только активную мощность. Резонанс токов может возникнуть в параллельной цепи (рис. 2.16.а), одна из ветвей которой содержит L и r, а другая С и r.

На рис. 2.16.б) изображена векторная диаграмма ЭЦ. На ЭЦ рис. 2.16.а) при резонансе токов, из которой видно, что общий ток цепи совпадает по фазе с напряжением, если реактивные составляющие токов ветвей с индуктивностью и емкостью равны по величине ._.

Рис. 2. 16.

Общий реактивный ток цепи, равный разности реактивных токов, в этом случае и имеет только активную составляющую, равную сумме активных составляющих токов ветвей .

Выразив реактивные токи через напряжения и реактивные проводимости, получим , откуда .

Как видно, при резонансе токов реактивная проводимость ветви с индуктивностью равна реактивной проводимости ветви с емкостью.

Чтобы определить резонансную частоту контура, выразим и g_счерез сопротивления соответствующей ветви, для этого запишем

Поскольку , , то можно записать или При резонансе х_L=х_C. Если принять r₂ =0, , то , откуда , тогда резонансная частота контура определится как _.

При резонансе токов коэффициент мощности . Полная мощность равна активной мощности S = P. Реактивная мощность равна нулю, т.к.

Энергетические процессы в цепи при резонансе токов аналогичны процессам, происходящим при резонансе напряжений. На рис. 2.18. приведены частотные характеристики ЭЦ с параллельно включенными rL и rC – цепями.

При f = 0: , ;

При : , ;

При : , , , .

Рис. 2.18.

Реактивная энергия циркулирует внутри цепи; в одну часть периода энергия магнитного поля индуктивности переходит в энергию электрического пол емкости, в следующую часть периода энергия электрического поля емкости переходит в энергию магнитного поля индуктивности. Обмена реактивной энергией между потребителями цепи и источником питания не происходит. Ток в проводах, соединяющих цепь с источником, обусловлен только активной мощностью.

Для резонанса токов характерно, что общий ток при определенном сочетании параметров цепи может быть значительно меньше токов в каждой ветви. Например, в идеальной цепи r₁= r₂ = 0; общий ток равен нулю, так как цепь не потребляет активной мощности, а токи ветвей с емкостью и индуктивностью равны по величине и противоположны по знаку, сдвинуты по фазе на 180°. Резонанс токов может быть получен путем подбора параметров цепи с параллельном соединении потребителей при заданной частоте источника питания.

Ток в ветви с индуктивностью обратно пропорционален частоте I_L = , а ток ветви с емкостью прямо пропорционален частоте I_c = U . Для уменьшения реактивной мощности и повышения коэффициента мощности параллельно активно-индуктивной нагрузке подключают конденсаторы.

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 678; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!