Аналитическая формула общей полезности

Общая полезность определяется по формуле Но при интегрировании нижний предел принимается Q=0 и начальным условиям TU_0, верхним пределом является переменная величина – Q. Таким образом, формула общей полезности должна учитывать постоянную величину TU_0, в данном варианте она равна нулю. Если величина общей полезности отлична от нуля, это означает, что потребитель, получив благо, но не приступил к его потреблению, уже получил полезность равную TU_0. Таким образом, формула общей полезности выглядит следующим образом: T U=10Q – 0,5Q² + TU_0.

 

 

 

 

 

Таблица вариантов заданий к задаче 1

Вариант
Функция предельной полезности MU	10 - Q	10 – 2Q	10 – 3Q	12 – 4Q	15 – 5Q	12 – 6Q	10 – 5Q
Пределы потребления блага Q	0 - 12	0 - 12	0 -12	0 - 10	0 - 15	0 - 12	0 - 10
Начальные условия при Q=0
Вариант
Функция предельной полезности MU	12 - Q	12 – 2Q	12 – 3Q	12 – 4Q	15 – 5Q	12 – 6Q	12 – 5Q
Пределы потребления блага Q	0 - 12	0 - 12	0 -12	0 - 10	0 - 15	0 - 12	0 - 10
Начальные условия при Q=0
Вариант
Функция предельной полезности MU	10 - Q	10 – 2Q	10 – 3Q	12 – 4Q	15 – 5Q	12 – 6Q	10 – 5Q
Пределы потребления блага Q	0 - 12	0 - 12	0 -12	0 - 10	0 - 15	0 - 12	0 - 10
Начальные условия при Q=0
Вариант
Функция предельной полезности MU	12 - Q	12 – 2Q	12 – 3Q	12 – 4Q	15 – 5Q	12 – 6Q	15 – 5Q
Пределы потребления блага Q	0 - 12	0 - 12	0 -12	0 - 10	0 - 15	0 - 12	0 - 10
Начальные условия при Q=0

Вариант
Функция предельной полезности MU	12 - Q	12 – 2Q	12 – 3Q	12 – 4Q	15 – 5Q	12 – 6Q	15 – 5Q
Пределы потребления блага Q	0 - 12	0 - 12	0 -12	0 - 10	0 - 15	0 - 12	0 - 10
Начальные условия при Q=0

Задача.2

Для условий, изложенных в задании 1, определить линию нулевого потребительского излишка графическим и аналитическим способами. Рассчитать максимальную рыночную цену, при которой будет куплено 4 единицы блага.

Решение:

График функции предельной полезности представляет собой линию с отрицательным наклоном, построенную в координатах MU,Q. Подобным же образом изображается и линия индивидуального спроса, которая выражает зависимость объема спроса на определенное благо от уровня его цены для конкретного индивида (в координатах P,Q).

Отрицательный наклон и той и другой линии дает возможность предположить то, что предельная полезность измеряется в денежных единицах. Однако линии индивидуального спроса и предельной полезности обладают определенной самостоятельностью и некоторой независимостью друг от друга. И тем не мене между ними существует косвенная связь. Одним из проводников этой связи является линия нулевого потребительского излишка.

Под потребительским излишком понимается превышение общей полезности (в денежном выражении) некоторого количества данного блага над общими расходами индивидуума на его покупку. Графически потребительский излишек это площадь треугольника Р₁АВ.

 

При его определении предполагается, что линия индивидуального спроса АС полностью совпадает с линией предельной полезности. Если общая полезность Q₁ единиц рассматриваемого блага, приобретенных индивидом, соответствует площади фигуры OABQ₁, то его расходы на их покупку измеряются площадью прямоугольника OP₁BQ₁.Отсюда следует, что величина потребительского излишка тождественна площади треугольника Р₁АВ.

Линия нулевого потребительского излишка представляет собой геометрическое место точек, в каждой из которых общая полезность соответствующего количества блага, приобретенного индивидуумом, совпадает с общими затратами на его покупку.

Общие затраты на покупку исчисляются по формуле:

ТС = Р*Q,

где Р – рыночная цена за единицу блага;

Q – объем покупки.

Общая полезность определяется по формуле На данной кривой TU есть точка, которой соответствует объем Q₀, обеспечивающий полное насыщение конкретной потребности индивидуума. На приобретения данного количества блага он израсходует денежную сумму ТС_0, а общая полезность составит TU_0. Оба показателя равны между собой. Это значит, что в точке Q₀ мы имеем дело с нулевым потребительским излишком:

ПИ = TU₀ - ТС₀ = 0,

где ПИ – потребительский излишек, получаемый индивидуумом при потреблении Q₀ единиц блага.

Рыночная цена, при которой достигается нулевой потребительский излишек, равна средней полезности AU₀:

P₀ = TC₀ / Q₀ = TU₀ / Q₀ = AU_0.

Это значит, что линия нулевого потребительского излишка является одновременно и линией средней полезности, она фиксирует максимально допустимый для данного индивида уровень рыночной цены при соответствующем объеме спроса. Если рыночная цена превысит этот рубеж, то индивидуум получит уже не нулевой, а отрицательный потребительский излишек.

В общем случае величина рыночной цены для конкретного объема покупки определяется по формуле:

Р = TU / Q.

При данных вкусах и предпочтениях количество приобретаемых благ Q не может превышать Q_0, для нашего индивидуума.

По результату из задания 1.1 формула значения общей полезности имеет вид:

T U=10Q – 0,5Q² + TU_0.

Тогда линия нулевого потребительского излишка будет иметь вид:

P = 10 – 0,5Q + TU₀ / Q.

Таким образом, для варианта 0 максимальная рыночная цена, при которой будет куплено 4 единицы блага, составит 8 денежных единиц.

 

Задача 3

Потребитель располагает ограниченным денежным доходом (Д), который он расходует на приобретение двух товаров А и В по ценам Р_а и Р_б соответственно. Определить оптимальную комбинацию покупки товаров А и В, при условии, что потребитель расходует весь доход только на покупку данных товаров. Общая полезность зависит от комбинации данных товаров, количественное значение которой определяется по формуле:

TU = aX + bY - cX² - dY²,

где a,b,c,d – параметры функции полезности;

X – количество купленного товара А;

Y – количество купленного товара В.

 

Таблица параметров для вариантов задания к задаче 1.3

 

Вариант	Д	a	b	c	d	Pa	Pb
				0,5	0,5
Вариант	Д	a	b	c	d	Pa	Pb

 

Решение:

Вариант 0

С учетом наличной суммы денежных средств, потребитель будет стремиться приобрести такую комбинацию товаров и услуг, которая максимизирует совокупную полезность. Потребитель использует так называемый «порядковый подход». Сначала он покупает благо, которое на один рубль его цены приносит наибольшую предельную полезность. По мере увеличения количества потребления первого блага, его предельная полезность уменьшается и может стать ниже предельной полезности второго блага. Потребитель, если у него еще есть денежные средства, будет приобретать второе благо, у которого так же будет уменьшаться предельная полезность – потребитель перейдет к покупке следующего по порядку блага, и так до тех пор, пока не будут израсходованы все денежные средства. Порядок или очередность приобретения благ выстраивается по величине убывания их предельной полезности. l

Определим максимизирующую комбинацию благ методом множителей Лагранжа. Пусть Р_а, и Р_б – цены на товары соответственно А и В. D – денежный доход потребителя, а TU = f(X,Y) – функция потребительской полезности от потребления товара А в количестве Х и товара В в количестве Y. Кривая безразличия определяется путем

TU = f(X,Y) = C, где С – постоянная величина. Найдем полный дифференциал функции полезности

= 0,

поскольку TU = C. Решая полный дифференциал относительно dY / dX, получим следующее или

Отсюда, dY / dX есть наклон кривой безразличия или MRS_xy. Отрицательный знак отражает отрицательный наклон кривой безразличия.

Все денежные средства потребитель затрачивает на покупку товаров А и В, поэтому уравнение бюджетного ограничения выглядит следующим образом:

D= Р_аX+Р_бY. Сбережения есть один из видов товаров.

Генерируется новая функция, которая соединяет в себе функцию полезности и уравнения ограничения. Для того, чтобы решение было определенным (с учетом множества неизвестных), вводится искусственное неизвестное, называемое множителем Лагранжа - l.

Z=f(X,Y)+ l(D - P_aX - P_bY),

где l - множитель Лагранжа. Частные производные от Z находятся для каждой переменной и приравниваются к нулю для установления условий первого порядка:

 

 

.

Эти уравнения могут быть решены одновременно для определения максимизирующих полезность уровней покупок X,Y. Из данных уравнений следует:

То есть отношение предельных полезностей товаров к их ценам равняется множителю Лагранжа l. Согласно второму закону Госсена эти соотношения являются необходимыми условиями для максимизации потребителем совокупной полезности, а значение l. есть предельная полезность сбережений.

Для данного варианта решений имеем:

TU=20X+30Y-0,5X²-0,5Y².

Если P_a=4, P_b=5, D=148, то.

Z=20X+30Y-0,5X²-0,5Y²+ l(148-4X-5Y).

20-X-4 l=0,

30-Y-5l=0,

148-4X-5Y=0.

Решая систему линейных уравнений, получим:

X=12, Y=20, l=2.

 

 

---

Дата добавления: 2015-12-20; просмотров: 61; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!