Порядок выполнения работы.

Свободные напряжения и токи в цепи, состоящей из последовательно включенных элементов r, L и С, могут возникнуть, напри­мер, при подключении конденсатора С, предварительно заряжен­ного до величины источника э. д. с. E, к цепи с последовательным соединением элементов r и L (рис. 1.1).

Рис.1.1

В соответствии со вто­рым законом Кирхгофа для получившейся при этом цепи можно записать

Учитывая, что , и , получим

Разделив это уравнение на LC, будем иметь

(1)

Обычно вводят обозначения:

При этом уравнение (1) будет иметь вид

(2)

Характеристическое уравнение, соответствующее выраже­нию (2),

имеет корни

, (3)

а решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями: u _с(0)=Е и i (0)=0.

Подставив первое начальное условие u_c(0)=E в выраже­ние (4), при i =0 получим

. (5)

Для того чтобы использовать второе начальное условие, за­пишем выражение для тока в цепи с учетом формулы (4):

Подставив сюда i (0) =0, при t =0 получим

. (6)

Решив систему уравнений, состоящую из выражений (5) и(6), будем иметь;-

Подставив это вформулу (4), получим

(7)

Ток в цепи

Так как произведение корней р ₁и р ₂характеристического уравнения равно его свободному члену, т. е. р ₁ р₂= 1/ LC, то

(8)

При этом напряжение на индуктивности

(9)

Характер изменения свободного тока i, напряжений на емко­сти и_с и на индуктивности u_l зависит от вида корней р ₁и р₂, ко­торые определяются параметрами цепи и могут быть:

1) вещественными и разными, если δ>ω₀ или r/2L> , откуда r >2ρ, где ;

2) комплексно-сопряженными, если δ<ω₀ или r <2ρ;

3) вещественными и равными, если δ= ω₀ или r =2ρ.

Рассмотрим эти возможные три случая.

1. r >2ρ. В этом случае, как видно из выражений (7-9), свободные напряжения и ток являются суммами двух экспонент (рис. 1.2). Ток не меняет знака, т.е. является аперио­дическим. Поэтому и рассматриваемую цепь в этом случае назы­вают апериодической.

2. r <2ρ. Для получения закона изменения тока в этом случае в выражении для корней характеристического уравнения (3) введем обозначение .

При этом получим

. (10)

Подставив это в формулу (8), будем иметь

Обозначив , получим

. (11)

Из полученного выражения, а также из графика, приведенного на рис. 1.3, видно, что свободный ток в цепи в рассматриваемом случае изменяется по закону затухающих колебаний. Поэтому и контур rLC в рассматриваемом случае называют колебательным контуром. Скорость затухания колебаний определяется экспонен­циальным множителем , где коэффициент является коэффи­циентом затухания.

Частота колебаний свободного тока в контуре, называемая также собственной частотой контура, зависит от параметров контура:

где -резонансная частота;

— затухание.

Рис.1.2 Рис.1.3

Затухание d контуров, применяемых на практике, обычно мало. Поэтому в большинстве случаев можно считать, что , т. е. частота свободных колебаний контура равна его резонансной частоте.

Отношение двух следующих друг за другом максимальных зна­чений тока одного знака (см. рис. 1.3) называют декрементом колебания:

где —период свободных колебаний..

Величину, равную натуральному логарифму от декремента ко­лебания, называют логарифмическим декрементом колебания:

.

З. r = 2ρ.

Графики , i и , в рассматриваемом случае будут иметь та­кой же вид, как и в первом случае (см. рис. 1.2). Ток не меняет знака, поэтому процесс в цепи является апериодическим. Рассмат­риваемый процесс в цепи называют критическим, так как он яв­ляется граничным между апериодическим и колебательным про­цессами. Длительность переходных процессов в этом режиме бу­дет наименьшей. Сопротивление r =2ρ называют критическим сопротивлением.